2013高中数学 同步导学案（1-3章打包23套） 北师大版必修5
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2013高中数学 同步导学案（1-3章打包23套） 北师大版必修5,高中数学,同步,导学案,打包,23,北师大,必修
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1 4 数列在日常经济生活中的应用 知能目标解读 期自动转存、分期付款及利息的计算方法，能够抽象出所对应的数列模型，并能用数列知识求解相关问题 . 业股金、产品利润、人口增长、工作效率等实际问题，抽象出数列模型，将实际问题解决 . 重点难点点拨 重点：用数列知识解决日常经济生活中的实际问题 . 难点：将现实生活中的问题抽象出数列模型，使问题得以解决 . 学习方法指导 银行有一种叫做零存整取的业务，即每月定时存入一笔数目相同的资金，这 叫做零存；到约定日期，可以取出全部的本利和，这叫做整取 利的计算是指仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息 息 =本金利率存期 代表本金，n 代表存期， 以下简称本利和 )，则有 S=P(1+ （ 1）银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存 户某月存入一笔 1 年期定期存款， 1 年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第 2年的本金就是第 1年的本利和，即定期自动转存按复利 计算 . （ 2）何谓复利？ 所谓复利，就是把上期的本利和作为下一期的本金，在计算时，每一期的本金的数额是不同的，复利的计算公式为 S=P(1+r) n. 一般地，一年期满后，借贷者 (银行 )收到的款额 v1=+a)，其中 a 为每年的利率；假若一年期满后，银行又把 率不变，银行在下一年期满后可收取的款额为 v2=+a)=+a) 2;依次类推，若 t 年，利率每年为 a，这批款额到期后就会增到 vt=+a) 为年复 利 . 分期付款是数列知识的一个重要的实际应用，在现实生活中是几乎涉及到每个人的问题，要在平时的学习中及时发现问题，学会用数学的方法去分析，解决问题，关于分期付款应注意以下问题： (1)分期付款分若干次付款，每次付款的款额相同，各次付款的时间间隔相同； (2)分期付款中双方的每月 (年 )利息均按复利计算，即上月 (年 )的利息要计入下月（年）的本金； (3)分期付款中规定：各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和，这在市场经济中是相对公平的 . (4)分期付款总额要大于一次性付款总额，二者的差额与多少次付款有关，分期付款的次数（大于或等于 2）越多，差额越大，即付款总额越多 . 注意： 目前银行规定有两种付款方式： (1)等额本息还款法； (2)等额本金还款法 期还款额递减，利息总支出比等额款法少，等额本金还款法还可以按月还款和按季还款，由于银行结息贯 2 例的要求，一般采用按季还款方式 . (1)银行存款中的单利是等差数列模型，本息和公式为 S=P(1+ (2)银行存款中的复利是等比数列模型，本利和公式为 S=P(1+r) n. (3)产值模型：原来产值的基础数为 N，平均增长率为 P，对于时间 y=N(1+P) x. (4)分期付款模型： b=1)1()1( 数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，在人口数量的研究中也要研究增长率问题，金融问题更要涉及利率问题等 . 解决该类题的关键是建立一个数列模型 利用该数列 的通项公式或递推公式或前 基本步骤如下表所示： 知能自主梳理 1.(1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息 ，其公式为利息 = 代表本金， 下简称本利和），则有 . （ 2）复利：把上期末的本利和作为下一期的 ，在计算时每一期本金的数额是不同的 . 2.（ 1）数列知识有着广泛的应用，特别是等差数列和等比数列 算单利时用 数列，计算复 利时用 数列，分期付款要综合运用 、 数列的知识 . （ 2）解决数列应用题的基本步骤为：仔细阅读题目，认真审题，将实际问题转化为 ；挖掘题目的条件，分析该数列是 数列，还是 数列，分清所求的是 的问题，还是 问题 .检验结果，写出答案 . 答案 1.（ 1）不再计算利息 本金利率存期 S=P(1+(2)本金 S=P(1+r) n 2.(1)等差 等比 等差 等比 （ 2）数列模型 等差 等比 项 求和 思路方法技巧 命题方向 单利计算问题 例 1 有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同的金额，这是零存；到一定时期到期， 3 可以提出全部本金及利息，这是整取 本利和 =每期存入金额存期 +21存期 (存期 +1)利率 . (1)试解释这个本利公式 . (2)若每月初存入 100元，月利率 到第 12月底的本利和是多少？ (3)若每月初存入一笔金额，月利率是 希望到第 12个月底取得本利和 2000元，那么每月应存入多少金额？ 分析 存款储蓄是单利计息，若存入金额 为 A，月利率为 P，则 解析 (1)设每期存入金额 A，每期利率 P，存入期数为 n，则各期利息之和为 +1n(n+1)连同本金，就得：本利和 =1n(n+1) n+21n(n+1)P . (2)当 A=100,P=,n=12 时， 本利和 =100（ 12+21 12 13 = ). (3)将 (1)中公式变形得 A=1(21 本利和 = 0 0 ). 即每月应存入 说明 单利的计算问题，是等差数列模型的应用 . 变式应用 1 王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是 . (1)欲在 3年后一次支取本息合计 2万元，王先生每月大约存入多少元？ (2)若“教育储蓄”存款总额不超过 2 万元，零存整取 3 年期教育储蓄 每月至多存入多少元？此时 3 年后本息合计约为多少元？（精确到 1元） 解析 （ 1）设王先生每月存入 有 A(1+)+A(1+2 )+ +A(1+36 )=20000,利用等差数列前 得 A（ 36+36 +23536 =20000, 解得 A 529元 . （ 2）由于教育储蓄的存款总额不超过 2万元，所以 3年期教育储蓄每月至多存入3620000 555（元），这样， 3年后的本息和为： 555(1+555(1+2+ +555(1+36=555 （ 36+36 +23536 20978（元） . 命题方向 复利计算问题 4 例 2 某人参加工作后，计划参加养老保险 p 元，第二年年末存入 2p 元，第n 年年末存入 ，年利率为 n+1 年年初他可一次性获得养老金（按复利计算本利和）多少元？ 分析 分期存款，应利用“本利和本金 (1+利率 )”分段计算 年年末存入的 p 元，到第 n+1 年年初， 逐年获得的本利和构成公比为 1+第一年的本利和为 p(1+k) 理，第 2 年年末存入 2第 p(1+k) ,解析 设此人第 n+1年年初一次性获得养老金为 Sn=p(1+k) p(1+k) +(p(1+k) 1+ 把等式两边同时乘以 1+k,得 (1+k)Sn=p(1+k) n+2p(1+k) +(p(1+k) 2+k). -，得 p(1+k) n+p(1+k) +p(1+k)k 1)1()1( 所以 1 1)1()1(k . 故第 n+1年年初他可一次性获得养老金为21 1)1()1(k 元 . 说明 “复利计算”就是“利息生利息”，也就是在存款过程中，到约定期时，将上次存款的本利和全部转为下一次的本金 转化为求等比数列的前 复利计算是银行常用于定期自动转存业务的方法，在这里也是等比数列在实际问题中的具体应用，体现 了数学的应用价值，更是学生对知识的应用能力的体现 其他经济领域也有应用 . 变式应用 2 某家庭打算在 2017 年的年底花 40万元购一套商品房，为此，计划从 2011年年初开始，每年年初存入一笔购房专用款，使这笔款到 2017 年年底连本带利共有 40 万元 年利率 按复利计算，问每年年初应该存入多少钱？（不考虑利息税） 解析 设每年年初应存入 么 2011 2017年年底本利和依次为： x, x, +x. 若这笔款到 2017年年底连本带利共有 40万元，则有 +x=40, 运用等比数列的前 简得 x=)0 7 元 )， 所以每年年初大约应存入 命题方向 数列在分期付款中的应用 例 3 小陆计划年初向银行贷款 10 万元用于买房，他选择 10年期贷款，偿还贷款的方式为： 分 10 次等额归还，每年一次，并从贷后次年年初开始归还，若 10 年期贷款的年利率为 4%，且年利息均按复利计算，问每年应还多少元？（计算结果精确到 1元） 分析 本题属于分期付款模型，如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时， 10 万元贷款的价值与还款的价值总额应该相等，则可以考虑把所有的款项都转化为同一时间来计算 0年后（即贷款全部付清时）的价值为 105(1+4%)10元 . 5 解析 设每年还款 x 元，则第 1 次偿还 x 元，在贷款全部付清时的价值为 x(1+4%)9;第 2 次偿还的 贷款全部付清时的价 值为 x(1+4%)8;第 10次偿还的 x 元，在贷款全部付清时的价值为 是有105(1+4%)10=x(1+4%)9+x(1+4%)8+x(1+4%)7+ +x. 由等比数列求和公式，得 105 x, 1+10 x 12330. 答：每年约应还 12330元 . 说明 解决分期付款问题的数学方法是等比数列求和，用到的等量关系即分期所付的款连同到最后一次 所付款时的利息之和，等于商品售价与从购物到最后一次付款时的利息之和 . 变式应用 3 某工厂为提高产品质量，扩大生产需要大量资金，其中征地需 40 万元，建新厂房需 100万元，购置新机器需 60 万元，旧设备改造及干部工作培训需 15 万元，流动资金需 40 万元，该厂现有资金 125万元，厂内干部 30 人，工人 180 人，干部每人投资 4000 元，工人每人投资 1000 元（不记利息仅在每年年底利润中分红），尚缺少资金，准备今年年底向银行贷款，按年利率 9%的复利计算，若从明年年底开始分 5年等额分期付款，还清贷款及全部利息，问该厂每年还款 多少万元？（精确到 解析 因扩大生产急需的资金共有 40+100+60+15+40=255（万元） 25+30+180=155(万元 )，资金缺口为 25500（万元） x 万元，则贷款 100 万元，五年一共还清本金和利息共计 100（ 1+9%） 5万元 x(1+9%)4万元；第二次还款到第五年年底的本利和为 x(1+9%)3万元；第三次还款到第五年年底的本利和为 x(1+9%)2万元；第四次还款到第五年年底的本利和 为 x(1+9%)万元；第五次还款（无利息）为 x 万元 x(1+9%)+x(1+9%)2+x(1+9%)3+ x(1+9%)4=100 (1+9%)x=100 以 x 元 . 探索延拓创新 命题方向 数列在日常生活中其他方面的应用 例 4 甲、乙两人连续 6年对某农村养鸡业的规模进行调查，提供了两条不同信息，如图所示 . 甲调查表明：由第 1年每个养鸡场出产 1万只鸡上升到第 6 年平均每个养鸡场出产 2万只鸡 . 乙调查表明：由第 1年 30个养鸡场减少到第 6年 10个养鸡场 （ 1）第 2年养鸡场的个数及全村出产鸡的总只数； （ 2）到第 6年这个村养鸡业的规模比第 1年扩大了还是缩小了？请说明理由 . （ 3）哪一年的规模最大？请说明理由 . 6 分析 审清题意，弄清图甲表示每个养鸡场平均出产鸡的只数（单位：万只），图乙表示该村所拥有的养鸡场的个数（单位：个） . 解析 （ 1）由图可知：第 2年养鸡场的个数是 26个，每个养鸡场平均出产 么全村出产鸡的总只数是 6 只 ). (2)第 1 年总共出产鸡的只数是 0 1=30(万只 )；第 6 年总共出产鸡的只数是 10=20(万只 )，由此得出 其中 k 为预测期内年增长率， n 为预测期间隔年数 10, 又=100 )1()1(1+ 仅当 n 4时， n. 答：至少经过 4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润 . ）款的利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利 两种方案 次性贷款 10 万元，第一年便可获利 1 万元，以后每年比前一年增加 30%的利润；乙方案：每年贷款 1 万元，第一 年便可获利 1 万元，以后每年比前年多获利 5 千元，两种方案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息 10%的复利计算，比较两种方
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