2013高中数学 同步导学案（1-3章打包23套） 北师大版必修5
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2013高中数学 同步导学案（1-3章打包23套） 北师大版必修5,高中数学,同步,导学案,打包,23,北师大,必修
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1 第一章 数 列 本章概述 课程目标 （ 1）通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊的 函数； （ 2）通过实例，理解等差数列、等比数列的概念； （ 3）探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 在公式的推导过程中，通过观察、实验、猜想、归纳、类比、抽象、概括等过程，经过反思、交流，培养学生观察、分析、探索、归纳的能力，体会由特殊到一般，由一般到特殊的思想方法； （ 4）体会等差数列与一次函数，等比数列与指数函数的 关系； （ 5） 能在具体问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能运用有关知识解决相应的问题 . （ 1）通过本章学习提高观察、分析、归纳、猜想的能力 . （ 2）“兴趣是最好的老师”，数列中的奥妙与趣味定会激发你去学习，去思考，去探索 . （ 3）通过建立数列模型，以及应用数列模型解决实际问题的过程，培养学生提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学 基础 . 重点难点 重点：等差数列与等比数列的通项公式 . 前 差数列的性质及判定，等比数列的性质及应用 . 难点：等差数 列、等比数列的性质及应用 . 方法探究 过观察、分析、归纳、猜想，让学生经历数列概念、公式、性质的发现和推证过程，发现数列的递推公式，体会递推方法是给出数列和研究有关数列问题的重要方法 . 比，体会数列是一种特殊的函数 用函数的思想方法解决数列问题，对比等差数列研究等比数列，对比一次函数、二次函数、指数函数研究等差数列、等比数列的过程 . 历发现等差（等比）关系，建立等差数列和等比数列的模型的过程，探索它们的概念、通项公式、前 会它们的广泛应用 . 理和体验本章蕴含着的丰富的数学思想方法，设计适当的训练，进一步感受“观察、试验、归纳、猜想、证明”的方法和模型化思想，函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想，体验叠加、累乘、迭代、倒序相加、乘以公比错位相减等具体方法 . 本章注意问题： （ 1）多结合实例，通过实例去理解数列的有关概念 角度比较两者之间的异同，加深对两方面内容的理解 自觉地运用函数的思想方法去思考和解决数列问题，特别是对等差数列或等比数 列的问题 仅可以深化对数列知识的理解，而且可使这类问题的解答更为快速、合理 . （ 2）善于对比学习 学等比数列时，可以把等差数列作为模型，从等差数列研究过的问题入手，再探求出等比数列的相应问题，两相对照，可以发现，在这两种数列的定义、一般形式、通项 2 形式、中项及性质中，用了一些相类似的语句和公式形式，但内容却不相同，之所以有这样的区别，原因在于“差”与“比”不同 深了对两种特殊数列本质的理解，会收到事半功倍的效果 . （ 3）要重视数学 思想方法的指导作用 学思想和方法，学习时应给予充分注意，解题时多考虑与之相联系的数学思想方法 . 1 数 列 第 1课时 数列的概念 知能目标解读 解数列的概念 . 列通项公式、递推公式的概念，能区分项和项数，并能根据数列的前几项写出它的一个通项公式，能根据数列的递推公式写出数列的前几项 . 表法、图像法、通项公式法、递推公式法 . 重点难点点拨 重点：了解数列的概念和简单表示方法，体会数列是 反映自然规律的数学模型 . 难点：将数列作为一种函数去认识、了解 . 学习方法指导 (1)数列与数集是不同的，有序性是数列的基本属性 于排列的顺序不一样，就构成了不同的数列 示数列时，不能把 成一个集合，这是因为：数列 的项是有序的，而集合中的元素是无序的；数列 的数是可以重复的，即数列 可以有相等的项，如1,1,2,2,，但集合中的元素是互异的；数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数以外的其他事物 . (2)数列中的项的表示通常用英文字母加右下角标来表示，如 (3) 示数列 a1,a2, ,，而 数列的项与它的项数是两个不同的概念，数列的项是指出现在这个数列中的某一个确定的数 于数列每一项的序号 数列中的项是一个函数值，即 f(n)是这个函数值 f(n)对应的自变量的值 ，即 其子集） . 判断一个数列是有穷数列还是无穷数列，应明确数列元素的构成以及影响构成元素的要素是有限还是无限的 . (1)由于数列可看做是定义域为正整数集 N+(或它的有限子集 )的函数，数列中的各项为当自变量从小到大依次取值时，该函数所对应的一列函数值，所以数列的通项公式就是相应的函数解析式，项数 (2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用 1,2,3去替代公式中的 时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中 的项，如果是的话，是第几项 . 3 (3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式 . 如 2 的近似值，精确到 1,所构成的数列 1,就没有通项公式 . 注意： (1)一个数列的通项公式不唯一，可以有不同的形式，如 n，可以写成 n+2，还 可以写成 ，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列 . 1 (, (2)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一 ,4,8,根据有限项可以写成 n，也可以写成 an= (1)递推公式：如果已知数列的第 1 项 (或前几项 )，且从第二项（或第二项以后的某一项）开始的任一项或前几项 )间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种重要方法 . (2)关于递推公式及应用需注意的几个问题： 通项公式和递推公式的区别 通项公式直接反映 道任意一个具体的 过通项公式就可以求出该项的值 递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不能由 如何用递推公式给出一个数列 用递推公式给出一个数列，必须给出“基础” 数列 第 1项或前几项；递推关系 数列 任一项 或前几项 )之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示 . 注意： (1)并不是任何数列都能写出通项公式或递推公式 . (2)以后学习或研究的数列往往以递推公式的方式给出定义或提供信息 . (3)根据数列的递推公式可求数列中的任一项 . 例如：设数列 足： ，写出这个数的前 5项 . +11na(n1) 由题意可知 ,+11a =1+1=2,+21a =1+21 =23 ， +31a =1+32 =35 ， +41a =1+53 =58 . 此数列前 5项分别为： 1， 2，23，35，58. 本例显示，递推公式和通项公式是反映数列构成规律的两个不同形式 虽然揭示了一些数列的性质，但要了解数列的全貌，还需要进行计算，它的计算并不方便 用通项公式可求出数列中的任意一项 . 4 知能自主梳理 （ 1）数列：一般地，按照一定 排列的一列数叫做数列 . （ 2）项：数列中的每个数都叫做这个数列的 . （ 3）数 列的表示：数列的一般形式可以写成 a1,a2, , ,简记为： 项 称 ， 数列的 . 项数有限的数列叫作 ，项数无限的数列叫作 . 如果数列 第 n 项 n 之间的函数关系可以用一个式子表示成 an=f(n)，那么式子叫作数列 . 数列的表示方法一般有三种： 、 、 . 答案 1.(1)次序 (2)项 (3) 首项 通项 无穷数列 图像法 解析法 思路方法技巧 命题方向 数列的概念 例 1 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ (1)0,1,2,3,4;(2)0,1,2,3,4; (3)0,1,2,3,4;(4)1, , (5)6,6,6,6,6. 分析 此类问题的解决，必须要对数列及其有关概念理解认识到位，结合有关概念及定义来解决 . 解析 （ 1）是集合，不是数列；（ 2）、（ 3）、（ 4）、（ 5）是数列 . 其中（ 3）、（ 4）是 无穷数列，（ 2）、（ 5）是有穷数列 . 变式应用 1 下列说法正确的是 ( ) ,3,4与数列 4,3,2是同一数列 ,2,3与数列 1,2,3,是同一数列 C. 1,4,2, 31， 5 不是数列 2 ,3,5,不一定是同一数列 答案 D 解析由数列的概念知 A 中的两个数列中的数虽然相同，但排列顺序不一样， B 中的两个数列前者为有穷数列，后者为无穷数列，故 A、 是数列， 列 2确定数列，通项公式为 ,3,5，前 4 项符合 后面的项不一定符合此规律，故不一定是同一数列 . 命题方向 数列的通项公式 5 例 2 写出下面各数列的一个通项公式 (1)3,5,9,17,33,; (2) 32，154，356，638，； (3) 21,2, 29， 8，225， ; (4) 1122 ，3 232 ，5 342 ，7 452 ， . 分析 通过观察，找出所给出的项与项数 写通项公式 . 解析 (1)通过观察，发现各项分别减去 1，变为 2,4,8,16,32,其通项公式为 2n，故原数列的一 个通项公式为 n+1. (2)通过观察，发现分子部分为正偶数数列 2n，分母各项分解因式： 1 3,3 5， 5 7， 7 9,为相邻奇数的乘积，即 (2 (2n+1)，故原数列的一个通项公式为 12)(12( 2 nn n. (3)由于在所给数列的项中，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数，再观察，在数列21,24，29，216，225，中，分母为 2，分子为 2n . (4)数列中每一项由三部分组成，分母是从 1开始的奇数列，其通项公式为 2子的前 一部分是从 2开始的自然数的平方，其通项公式为 (n+1) 2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为 n，综合得原数列的一个通项公式为 2 )1(2 n 2 12说明 在根据数列的 前 n 项求数列的一个通项公式时，要注意观察每一项的特点 察这几项的表示式中哪些部分是变化的，哪些部分是不变的，再探索各项中变化部分与对应的项数之间的关系，从而归纳出项与项数关系的规律，写出通项公式 . 变式应用 2 写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： （ 1） 1， 3， 7， 15， 31， ; （ 2） 1，21，31，41，； （ 3） ， 0. 9999 个项有第 . 解析 （ 1）注意观察各项发现各项分别加上 1，变为 2,4,8,16,32, ,其通项公式为 2n,故原数列通项公式为 n N+; （ 2）调整为11，21，31，41，它的前几项都是自然数的倒数， an= （ 3） 第 n项 . 9n 999个 =1 0. 0n 000个 1=1 6 命题方向 数列通项公式的简单应用 例 3 在数列 通项公式是 1)(12(2 写出该数列的前 5项，并判断 17081 是否是该数列中的 项？如果是，是第几项，如果不是，请说明理由 . 分析 由通项公式写出数列的前 5项，令 7081,判断是否有正整数解即可 . 解析 0211221， 1332294， 24532209. 357423516， 469525425. 该数列前 5项分别为：21，94，209， 425. 令 (1)(12(2 17081 得 n1且为奇数 81=0. n=项 . 说明 已知数列的通项公式可以写出该数列中的任意一项，可以判断一个数（或代数式）是否为该数列中的项 方程有正整数解，则该数是数列中的项，否则不是 . 变式应用 3 以下四个数中，哪个是数列 n（ n 1） 中的项（ ） A. 380 B. 39 C. 32 D. 23 分析 数列 通项公式 f(n)=n (n+1)，对于某个数 m，若 m 是数列 的项，则 n（ n+1） =若无正整数解，则 的项 . 答案 A 解析 依次令 n(n+1)=23或 32或 39检验知无整数解 n（ n+1） =380有整数解 n=19. 探索延拓创新 命题方向 数列的递推公式 例 4 在数列 ， ,且 =3 a6+分析 由 ， 及递推公式 =3次找出 a3,a4,a5, 解析 解法一： ,=3 1, 1, 2, 53, a6+3+25=0. 解法二： =3令 n=4,则有 a6+. 7 说明 递推公式是给出数列的一种方法， 应用递推公式可以求数列中的项，但需要一项一项递推，故在运算过程中要特别细心 . 变式应用 4 已知数列 首项 ,(n 2)，那么 . 答案 31 解析 由递推关系式 和 可得 =3,=7, =15,=31. 名师辨误做答 例 5 已知数列 前 4 项为 1,0,1,0，则下列各式可以作为数列 通项公式的有（ ） 1 1+(n+1 ; an=(n N+); 1 1+(n+1 +( n; 1 ( 0 ( A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 误解 D 辨析 误解的原因是认为通项公式只有一个而导致错误 . 正解 B 将 n=1,2,3,4分别代入验证可知均正确 不是数列的通项公式，答案选 B. 课堂巩固训练 一、选择题 ， 5 ， 2 2 ， 11 ，则 2 5 是该数列的（ ） 项 项 0项 1 项 答案 B 解析 数 列 2 ， 5 ， 2 2 ， 11 ，的一个通项公式为 13 n (n N ),令 2 5 13 n ,得 n=. ，31，21，53，32，的通项公式为（ ） 12案 C 解析 解法一：验证当 n=1时， ,排除 A、 D；当 n=2 时， 1,排除 B， 故选 C. 解法二：数列 0，31，21，53，32，即数列20，31，42，53，64， 该数列的一个通项公式为 1选 C. ， 3， 6， 10， x， 21，中， ） 8 答案 C 解析 3,6,10, , x=15. 21 二、填空题 通项公式为 n+1,则 = . 答案 2k+3 解析 n+1, =2(k+1)+1=2k+3. 通项公式 2( 1nn(n N+),则1201是这个数列的第 项 . 答案 10 解析 令 201,即)2( 1201, 解得 n=10或 n=去） . 三、解答题 出下列数列的一个通项公式 . (1),; (2)2,8; (3) 53，21,115，73; (4) 32，154，356，638. 解析 (1)各项绝对值为 1，奇数项为负，偶数项为正，故通项公式 为 n; (2)各项绝对值可以写成 3 12,3 22,3 32,3 42,，又因为奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为 (3)因为21=84,73=146，各项分母依次为 5,8,11,14，为序号 3n+2；分子依次为 3,4,5,6 为序号 n+2，故通项公式为 3 2(4)因为分母 3,15,35,63可看作 2226282通项公式为 )2( 22 n n=14 22 课后强化作业 一、选择题 2,43,54, , 1 ） 2 项 4项 6 项 8项 9 答案 B 解析 因为数列的通项公式为 n=24，故选 B. an=n2+n,那么（ ） 数列中的项 数列中的项 答案 B 解析 an=n(n+1),且 n N+, 排除 A、 C； 令 n2+n=20,即 n2+,解得 n=4或 n=去 ). 0,故 B 正确； 令 n2+n=930,即（ n+31） (0. n=30或 n=去 ) 30,故 数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集 1， 2， 3， n）上的函数 . 数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点 . 数列的项数是无限的 . 数列通项的表示式是唯一的 . 其中正确的是（ ） A. B. C. D. 答案 A 解析 数列的项数可以是有限的也可以是无限的 例如数列 1， 0， ， 1， 0， 0的通项可以是 an=n，也可以是 an=3( ， 0， 4， 0， 6， 0，的一个通项公式是（ ） n 1+(n 1n 1+(n+1 n 1+(n+1 1n 1+(n 答案 B 解析 经验证可知 3n+1( 通项公式是 ,则 ） 2 答案 C 解析 由通项公式可得 ,0, 0. 10 6.(2012天津武清区 )已知数列 通项公式为 an=5，则下列叙述正确的是（ ） 项是 20 项是 20 项、第 9项都是 20 答案 D 解析 令 0,得 5=0,解得 n=5或 n=9,故选 D. , 11 , 17 ， 23 , 29 , ,则 5 5 是它的第（ ） 答案 D 解析 观察可得 通项公式 :16 n ,(n N+),5 5 = 125 = 16 n ,所以 n=21. 任意的 p、 q N+满足 ap+q=ap+ 6，那么 ） 答案 C 解析 对任意 p、 q N+都有 ap+q=ap+ a8+a2=a4+a4+30. 二、填空题 ,3, 15 , 21 ,3 3 , , )12(3 n , ,则 9是这个数列的第 项 . 答案 14 解析 数列可写 为 3 , 33 ， 53 ， 73 ， 93 ， )12(3 n , , 所以 )12(3 n , 令 )12(3 n =9. n=14. ， =22n na 1，则 . 答案 1 解析 由 已知 266a a=21, 2. 又 25 5a a=32, . 通项公式是 12 n 它的前 4 项为 . 答案 23，37，413，521. 解析 取 n=1,2,3,4,即可计算出结果 . 当 n=1时， 1 111 =23, 当 n=2时， 2 124 =37, 11 当 n=3时， 3 139 =413, 当 n=4时， 4 1416 =521. 中正确的说法是 . 数列 a,a,a,是无穷数列； 数列 0,2,的各项不可能为正数； 数列 f(n)可 以看作是一个定义域为正整数 N+或它的有限子集 1， 2， n的函数值； 已知数列 则数列 是一个数列 . 答案 解析 题中显然正确，对于，数列只给出前四项，后面的项是不确定的，所以不正确，对于，数列可 以看作是一个定义域为正整数 N+或它的有限子集 1， 2, ,n的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以不正确 . 三、解答题 出它的前 4项
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