2013高中数学 同步导学案（1-3章打包23套） 北师大版必修5
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2013高中数学 同步导学案（1-3章打包23套） 北师大版必修5,高中数学,同步,导学案,打包,23,北师大,必修
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1 第一章 数 列 本章概述 课程目标 （ 1）通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊的 函数； （ 2）通过实例，理解等差数列、等比数列的概念； （ 3）探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 在公式的推导过程中，通过观察、实验、猜想、归纳、类比、抽象、概括等过程，经过反思、交流，培养学生观察、分析、探索、归纳的能力，体会由特殊到一般，由一般到特殊的思想方法； （ 4）体会等差数列与一次函数，等比数列与指数函数的 关系； （ 5） 能在具体问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能运用有关知识解决相应的问题 . （ 1）通过本章学习提高观察、分析、归纳、猜想的能力 . （ 2）“兴趣是最好的老师”，数列中的奥妙与趣味定会激发你去学习，去思考，去探索 . （ 3）通过建立数列模型，以及应用数列模型解决实际问题的过程，培养学生提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学 基础 . 重点难点 重点：等差数列与等比数列的通项公式 . 前 差数列的性质及判定，等比数列的性质及应用 . 难点：等差数 列、等比数列的性质及应用 . 方法探究 过观察、分析、归纳、猜想，让学生经历数列概念、公式、性质的发现和推证过程，发现数列的递推公式，体会递推方法是给出数列和研究有关数列问题的重要方法 . 比，体会数列是一种特殊的函数 用函数的思想方法解决数列问题，对比等差数列研究等比数列，对比一次函数、二次函数、指数函数研究等差数列、等比数列的过程 . 历发现等差（等比）关系，建立等差数列和等比数列的模型的过程，探索它们的概念、通项公式、前 会它们的广泛应用 . 理和体验本章蕴含着的丰富的数学思想方法，设计适当的训练，进一步感受“观察、试验、归纳、猜想、证明”的方法和模型化思想，函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想，体验叠加、累乘、迭代、倒序相加、乘以公比错位相减等具体方法 . 本章注意问题： （ 1）多结合实例，通过实例去理解数列的有关概念 角度比较两者之间的异同，加深对两方面内容的理解 自觉地运用函数的思想方法去思考和解决数列问题，特别是对等差数列或等比数 列的问题 仅可以深化对数列知识的理解，而且可使这类问题的解答更为快速、合理 . （ 2）善于对比学习 学等比数列时，可以把等差数列作为模型，从等差数列研究过的问题入手，再探求出等比数列的相应问题，两相对照，可以发现，在这两种数列的定义、一般形式、通项 2 形式、中项及性质中，用了一些相类似的语句和公式形式，但内容却不相同，之所以有这样的区别，原因在于“差”与“比”不同 深了对两种特殊数列本质的理解，会收到事半功倍的效果 . （ 3）要重视数学 思想方法的指导作用 学思想和方法，学习时应给予充分注意，解题时多考虑与之相联系的数学思想方法 . 1 数 列 第 1课时 数列的概念 知能目标解读 解数列的概念 . 列通项公式、递推公式的概念，能区分项和项数，并能根据数列的前几项写出它的一个通项公式，能根据数列的递推公式写出数列的前几项 . 表法、图像法、通项公式法、递推公式法 . 重点难点点拨 重点：了解数列的概念和简单表示方法，体会数列是 反映自然规律的数学模型 . 难点：将数列作为一种函数去认识、了解 . 学习方法指导 (1)数列与数集是不同的，有序性是数列的基本属性 于排列的顺序不一样，就构成了不同的数列 示数列时，不能把 成一个集合，这是因为：数列 的项是有序的，而集合中的元素是无序的；数列 的数是可以重复的，即数列 可以有相等的项，如1,1,2,2,，但集合中的元素是互异的；数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数以外的其他事物 . (2)数列中的项的表示通常用英文字母加右下角标来表示，如 (3) 示数列 a1,a2, ,，而 数列的项与它的项数是两个不同的概念，数列的项是指出现在这个数列中的某一个确定的数 于数列每一项的序号 数列中的项是一个函数值，即 f(n)是这个函数值 f(n)对应的自变量的值 ，即 其子集） . 判断一个数列是有穷数列还是无穷数列，应明确数列元素的构成以及影响构成元素的要素是有限还是无限的 . (1)由于数列可看做是定义域为正整数集 N+(或它的有限子集 )的函数，数列中的各项为当自变量从小到大依次取值时，该函数所对应的一列函数值，所以数列的通项公式就是相应的函数解析式，项数 (2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用 1,2,3去替代公式中的 时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中 的项，如果是的话，是第几项 . 3 (3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式 . 如 2 的近似值，精确到 1,所构成的数列 1,就没有通项公式 . 注意： (1)一个数列的通项公式不唯一，可以有不同的形式，如 n，可以写成 n+2，还 可以写成 ，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列 . 1 (, (2)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一 ,4,8,根据有限项可以写成 n，也可以写成 an= (1)递推公式：如果已知数列的第 1 项 (或前几项 )，且从第二项（或第二项以后的某一项）开始的任一项或前几项 )间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种重要方法 . (2)关于递推公式及应用需注意的几个问题： 通项公式和递推公式的区别 通项公式直接反映 道任意一个具体的 过通项公式就可以求出该项的值 递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不能由 如何用递推公式给出一个数列 用递推公式给出一个数列，必须给出“基础” 数列 第 1项或前几项；递推关系 数列 任一项 或前几项 )之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示 . 注意： (1)并不是任何数列都能写出通项公式或递推公式 . (2)以后学习或研究的数列往往以递推公式的方式给出定义或提供信息 . (3)根据数列的递推公式可求数列中的任一项 . 例如：设数列 足： ，写出这个数的前 5项 . +11na(n1) 由题意可知 ,+11a =1+1=2,+21a =1+21 =23 ， +31a =1+32 =35 ， +41a =1+53 =58 . 此数列前 5项分别为： 1， 2，23，35，58. 本例显示，递推公式和通项公式是反映数列构成规律的两个不同形式 虽然揭示了一些数列的性质，但要了解数列的全貌，还需要进行计算，它的计算并不方便 用通项公式可求出数列中的任意一项 . 4 知能自主梳理 （ 1）数列：一般地，按照一定 排列的一列数叫做数列 . （ 2）项：数列中的每个数都叫做这个数列的 . （ 3）数 列的表示：数列的一般形式可以写成 a1,a2, , ,简记为： 项 称 ， 数列的 . 项数有限的数列叫作 ，项数无限的数列叫作 . 如果数列 第 n 项 n 之间的函数关系可以用一个式子表示成 an=f(n)，那么式子叫作数列 . 数列的表示方法一般有三种： 、 、 . 答案 1.(1)次序 (2)项 (3) 首项 通项 无穷数列 图像法 解析法 思路方法技巧 命题方向 数列的概念 例 1 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ (1)0,1,2,3,4;(2)0,1,2,3,4; (3)0,1,2,3,4;(4)1, , (5)6,6,6,6,6. 分析 此类问题的解决，必须要对数列及其有关概念理解认识到位，结合有关概念及定义来解决 . 解析 （ 1）是集合，不是数列；（ 2）、（ 3）、（ 4）、（ 5）是数列 . 其中（ 3）、（ 4）是 无穷数列，（ 2）、（ 5）是有穷数列 . 变式应用 1 下列说法正确的是 ( ) ,3,4与数列 4,3,2是同一数列 ,2,3与数列 1,2,3,是同一数列 C. 1,4,2, 31， 5 不是数列 2 ,3,5,不一定是同一数列 答案 D 解析由数列的概念知 A 中的两个数列中的数虽然相同，但排列顺序不一样， B 中的两个数列前者为有穷数列，后者为无穷数列，故 A、 是数列， 列 2确定数列，通项公式为 ,3,5，前 4 项符合 后面的项不一定符合此规律，故不一定是同一数列 . 命题方向 数列的通项公式 5 例 2 写出下面各数列的一个通项公式 (1)3,5,9,17,33,; (2) 32，154，356，638，； (3) 21,2, 29， 8，225， ; (4) 1122 ，3 232 ，5 342 ，7 452 ， . 分析 通过观察，找出所给出的项与项数 写通项公式 . 解析 (1)通过观察，发现各项分别减去 1，变为 2,4,8,16,32,其通项公式为 2n，故原数列的一 个通项公式为 n+1. (2)通过观察，发现分子部分为正偶数数列 2n，分母各项分解因式： 1 3,3 5， 5 7， 7 9,为相邻奇数的乘积，即 (2 (2n+1)，故原数列的一个通项公式为 12)(12( 2 nn n. (3)由于在所给数列的项中，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数，再观察，在数列21,24，29，216，225，中，分母为 2，分子为 2n . (4)数列中每一项由三部分组成，分母是从 1开始的奇数列，其通项公式为 2子的前 一部分是从 2开始的自然数的平方，其通项公式为 (n+1) 2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为 n，综合得原数列的一个通项公式为 2 )1(2 n 2 12说明 在根据数列的 前 n 项求数列的一个通项公式时，要注意观察每一项的特点 察这几项的表示式中哪些部分是变化的，哪些部分是不变的，再探索各项中变化部分与对应的项数之间的关系，从而归纳出项与项数关系的规律，写出通项公式 . 变式应用 2 写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： （ 1） 1， 3， 7， 15， 31， ; （ 2） 1，21，31，41，； （ 3） ， 0. 9999 个项有第 . 解析 （ 1）注意观察各项发现各项分别加上 1，变为 2,4,8,16,32, ,其通项公式为 2n,故原数列通项公式为 n N+; （ 2）调整为11，21，31，41，它的前几项都是自然数的倒数， an= （ 3） 第 n项 . 9n 999个 =1 0. 0n 000个 1=1 6 命题方向 数列通项公式的简单应用 例 3 在数列 通项公式是 1)(12(2 写出该数列的前 5项，并判断 17081 是否是该数列中的 项？如果是，是第几项，如果不是，请说明理由 . 分析 由通项公式写出数列的前 5项，令 7081,判断是否有正整数解即可 . 解析 0211221， 1332294， 24532209. 357423516， 469525425. 该数列前 5项分别为：21，94，209， 425. 令 (1)(12(2 17081 得 n1且为奇数 81=0. n=项 . 说明 已知数列的通项公式可以写出该数列中的任意一项，可以判断一个数（或代数式）是否为该数列中的项 方程有正整数解，则该数是数列中的项，否则不是 . 变式应用 3 以下四个数中，哪个是数列 n（ n 1） 中的项（ ） A. 380 B. 39 C. 32 D. 23 分析 数列 通项公式 f(n)=n (n+1)，对于某个数 m，若 m 是数列 的项，则 n（ n+1） =若无正整数解，则 的项 . 答案 A 解析 依次令 n(n+1)=23或 32或 39检验知无整数解 n（ n+1） =380有整数解 n=19. 探索延拓创新 命题方向 数列的递推公式 例 4 在数列 ， ,且 =3 a6+分析 由 ， 及递推公式 =3次找出 a3,a4,a5, 解析 解法一： ,=3 1, 1, 2, 53, a6+3+25=0. 解法二： =3令 n=4,则有 a6+. 7 说明 递推公式是给出数列的一种方法， 应用递推公式可以求数列中的项，但需要一项一项递推，故在运算过程中要特别细心 . 变式应用 4 已知数列 首项 ,(n 2)，那么 . 答案 31 解析 由递推关系式 和 可得 =3,=7, =15,=31. 名师辨误做答 例 5 已知数列 前 4 项为 1,0,1,0，则下列各式可以作为数列 通项公式的有（ ） 1 1+(n+1 ; an=(n N+); 1 1+(n+1 +( n; 1 ( 0 ( A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 误解 D 辨析 误解的原因是认为通项公式只有一个而导致错误 . 正解 B 将 n=1,2,3,4分别代入验证可知均正确 不是数列的通项公式，答案选 B. 课堂巩固训练 一、选择题 ， 5 ， 2 2 ， 11 ，则 2 5 是该数列的（ ） 项 项 0项 1 项 答案 B 解析 数 列 2 ， 5 ， 2 2 ， 11 ，的一个通项公式为 13 n (n N ),令 2 5 13 n ,得 n=. ，31，21，53，32，的通项公式为（ ） 12案 C 解析 解法一：验证当 n=1时， ,排除 A、 D；当 n=2 时， 1,排除 B， 故选 C. 解法二：数列 0，31，21，53，32，即数列20，31，42，53，64， 该数列的一个通项公式为 1选 C. ， 3， 6， 10， x， 21，中， ） 8 答案 C 解析 3,6,10, , x=15. 21 二、填空题 通项公式为 n+1,则 = . 答案 2k+3 解析 n+1, =2(k+1)+1=2k+3. 通项公式 2( 1nn(n N+),则1201是这个数列的第 项 . 答案 10 解析 令 201,即)2( 1201, 解得 n=10或 n=去） . 三、解答题 出下列数列的一个通项公式 . (1),; (2)2,8; (3) 53，21,115，73; (4) 32，154，356，638. 解析 (1)各项绝对值为 1，奇数项为负，偶数项为正，故通项公式 为 n; (2)各项绝对值可以写成 3 12,3 22,3 32,3 42,，又因为奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为 (3)因为21=84,73=146，各项分母依次为 5,8,11,14，为序号 3n+2；分子依次为 3,4,5,6 为序号 n+2，故通项公式为 3 2(4)因为分母 3,15,35,63可看作 2226282通项公式为 )2( 22 n n=14 22 课后强化作业 一、选择题 2,43,54, , 1 ） 2 项 4项 6 项 8项 9 答案 B 解析 因为数列的通项公式为 n=24，故选 B. an=n2+n,那么（ ） 数列中的项 数列中的项 答案 B 解析 an=n(n+1),且 n N+, 排除 A、 C； 令 n2+n=20,即 n2+,解得 n=4或 n=去 ). 0,故 B 正确； 令 n2+n=930,即（ n+31） (0. n=30或 n=去 ) 30,故 数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集 1， 2， 3， n）上的函数 . 数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点 . 数列的项数是无限的 . 数列通项的表示式是唯一的 . 其中正确的是（ ） A. B. C. D. 答案 A 解析 数列的项数可以是有限的也可以是无限的 例如数列 1， 0， ， 1， 0， 0的通项可以是 an=n，也可以是 an=3( ， 0， 4， 0， 6， 0，的一个通项公式是（ ） n 1+(n 1n 1+(n+1 n 1+(n+1 1n 1+(n 答案 B 解析 经验证可知 3n+1( 通项公式是 ,则 ） 2 答案 C 解析 由通项公式可得 ,0, 0. 10 6.(2012天津武清区 )已知数列 通项公式为 an=5，则下列叙述正确的是（ ） 项是 20 项是 20 项、第 9项都是 20 答案 D 解析 令 0,得 5=0,解得 n=5或 n=9,故选 D. , 11 , 17 ， 23 , 29 , ,则 5 5 是它的第（ ） 答案 D 解析 观察可得 通项公式 :16 n ,(n N+),5 5 = 125 = 16 n ,所以 n=21. 任意的 p、 q N+满足 ap+q=ap+ 6，那么 ） 答案 C 解析 对任意 p、 q N+都有 ap+q=ap+ a8+a2=a4+a4+30. 二、填空题 ,3, 15 , 21 ,3 3 , , )12(3 n , ,则 9是这个数列的第 项 . 答案 14 解析 数列可写 为 3 , 33 ， 53 ， 73 ， 93 ， )12(3 n , , 所以 )12(3 n , 令 )12(3 n =9. n=14. ， =22n na 1，则 . 答案 1 解析 由 已知 266a a=21, 2. 又 25 5a a=32, . 通项公式是 12 n 它的前 4 项为 . 答案 23，37，413，521. 解析 取 n=1,2,3,4,即可计算出结果 . 当 n=1时， 1 111 =23, 当 n=2时， 2 124 =37, 11 当 n=3时， 3 139 =413, 当 n=4时， 4 1416 =521. 中正确的说法是 . 数列 a,a,a,是无穷数列； 数列 0,2,的各项不可能为正数； 数列 f(n)可 以看作是一个定义域为正整数 N+或它的有限子集 1， 2， n的函数值； 已知数列 则数列 是一个数列 . 答案 解析 题中显然正确，对于，数列只给出前四项，后面的项是不确定的，所以不正确，对于，数列可 以看作是一个定义域为正整数 N+或它的有限子集 1， 2, ,n的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以不正确 . 三、解答题 出它的前 4项： （ 1） （ 2） an=( . 解析 (1)在通项公式中依次取 n=1,2,3,4,便可得数列 前 4项为 : 1,2=21,3,4=32. (2)在通项公式中依次取 n=1,2,3,4,便可得数列 前 4 项为： 1,1,31,1. 通项公式是 an=. （ 1）这个数列的第 4项是多少？ （ 2） 150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ （ 3）该数列从第几项开始以后各项都是正数？ 解析 （ 1）当 n=4时， 27+6 6. （ 2）令 50,即 =150,解得 n=16(n=，即 150 是这个数列的第 16项 . (3)令 an=0，解得 n6 或 n1(舍 )， 从第 7项起以后各项都是正数 . ， ,6,通项公式是项数 （ 1）求数列 通项 公式； （ 2） 88 是否是数列 的项？ 解析 （ 1）设 an=an+b, a1=a+b=2, 7a+b=66, 12 -得 16a=64, a=4,b= n N+). (2)令 48， 4n=90,n=245 N+(舍去 )， 88不是数列 的项 . 16.（ 1）在数列 1, 5 ,3, 13 , 17 ,中， 3 5 是数列的第几项？ （ 2）已知无穷数列： 1 2,2 3,3 4, ,n(n+1), ,判断 420 与 421 是否为该数列的项？若是，应为第几项？ 解析 (1) = 1 ,5 = 41 , 241 ,341 , 由此归纳得 )1(41 n = 34 n . 令 34 n =3 5 , n=12. 故 3 5 是此数列的第 12 项 . (2)由 an=n(n+1)=420,解得 n=20 或 n=去），故 420是此数列的第 20项 . 由 an=n(n+1)=421,得 n2+，此方程无正整数解，故 421 不是该数列中的项 . 说明 数列 通项公式为 an=f(n)，对于一个数 m,若 方程 f(n)=之，若 f(n)= 1 第 2 课时 数列的函数特性 知能目标解读 解数列是一种特殊的函数的含义 . 法研究数列的增减性、最值、图像等问题 . 重点难点点拨 重点： 法研究数列的增减性、最值、图像等问题 . 难点：用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题 . 学习方法指导 (1)数列是一种特殊的函数，特殊在定 义域是正整数集或是它的有限子集 1,2,3, ,n，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数 . (2)数列与函数不能画等号，数列是相应函数的一系列函数值 . (3)利用函数与数列的关系，可以从函数的观点研究数列的表示方法及有关性质 . (1)数列的图像是无限个或有限个离散的孤立的点 . (2)若数列是以解析式的形式给出的，则数列的图像是相应函数图像上的一系列孤立的点 . (3)数列是一类离散函数，它是刻画离散过程的重要数学模型，有很广泛的应用 . (4)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应 关系，比较直观，但是它只能表示有限个元素间的对应关系 . （ 1）递增数列：一般地，一个数列 如果从第 2项起，每一项都大于它前面的一项，即 an(n N+)，那么这个数列叫做递增数列 . （ 2）递减数列：一般地，一个数列 如果从第 2项起，每一项都小于它前面的项，即 0 还是 增 (3)0)上的无穷多个孤立的点 . 变式应用 1 已知数列 通项公式为 出该数列的图像 . 解析 分别取 n=1,2,3, ,得到点（ 1,1） ,(2,3),(3,5), ,描点作出图像 的图像是直线 y=2 命题方向 数列单调性的判断 例 2 已知函数 f(x)=2列 足 f(=(1)求数列 通项公式； （ 2）求证数列 递减数列 . 分析 （ 1）已知函数关系式，由条件可得出 22n,解这个关于 2）只需证 4 明 )即可 . 解析 （ 1） f(x)=2f( 22n, ,解得 n 12 n . , 12 n （ 2）1)1(1)1(22 =)1(1)1(122,则数列 递增数列；若 数列 递增数列；若, 0,即 230时， 实对非零实数 a0和 an数列 递增数列 . 课堂巩固训练 一、选择题 ,n 2)，则 ） 答案 C 解析 ,n 2)， , a2=2, , a3=4, , a4=7, , a5=11, , a6=16. 2.(2012济南高二检测 )数列 ， 1n,则此数列最大项的值是（ ） A. 答案 B 7 解析 1n=-（ 2+4121, n N+,当 n=5或 6时， 0，故选 B. y=f(x)的图像在下列图中，并且对任意 (0,1),由关系式 =f(到数列 足an(n N+)，则该函数的图像是（ ） 答案 A 解析 由关系式 =f(到数列 足 得 f( f(x)y=f(x)图像上任一点（ x,y）都满足 yx,图像必在直线 y=以 说明：借用函数的图像与性质来研究数列时，要注意函数的一般性及数列的特殊性之间的关系，不可不加区分，混为一谈，表达时要清楚 明白，数列问题有时用图像来处理，往往可以使问题巧妙、简捷地获得解决 . 二、填空题 f(1)=2,f(n+1)= 2 1)( nf(n N+),则 f(4)= . 答案 89解析 f(1)=2,f(n+1)= 2 1)( nf(n N ), f(2)= 2 1)1( f=23, f(3)= 2 1)2( f=225 =45, f(4)= 2 1)3( f=2145 =89. ， an=an+m( 所以数列 递增数列 . 2.设 0n+11，则数列 最大项为（ ） 1 答案 D 解析 0n+11=-(2+36, 当 n=5时， 6. ， ，以后各项由公式 a3+ ） A. 925B. 1625C. 1661D. 1531答案 C 解析 an= , 9. 同理 625, a3+9+1625=1661. 9 通项公式 an=使得 入验证得答案为 D. ， ,， an=1na(n 3)，则 ） A. 1255B. 答案 A 解析 a3=1a =3+1=4. a4=1a =4+31 =313 . a5=1a =313 +41 =1255 . ， ,n(n 2)，则53 ） A. 21B. 32C. 43D. 54答案 C 解析 , +1=2,3=2+(1, 1, 又 4, , 5=2, 2, 53221=43. k+1= (k N+)，那么此数列是（ ） 答案 C 解析 =k+， (k N+). 可知此数列每一项均为 0， 即 是常数列 . 10 通项公式为 43） 4 3） 则关于 小项叙述正确的是（ ） 小项为 小项不存在 小项为 小项为 答案 A 解析 令 t=（43） 它在 N+上递减且 0选 A. 二、填空题 通项公式 an=n N+），则 （ 1）这个数列的第四项是 ； （ 2） 65 是这个数列的第 项； （ 3）这个数列从第 项起以后各项为正数 . 答案 12 11 7 解析 (1)24(2)令 65 , n=11或 n=去 ). 故 65是这个数列的第 11项 . （ 3） 令 ,得 n6 或 解析 a,b,c 均为实数， f(x)= (0,+ )上是增函数，故数列 an= n N+时为递增数列， 解析 由 递增数列，得 n+1) 2+ (n+1)n=2n+1+ 0恒成立， 即 n 1时恒成立， 令 f(n)=f(n) 3. 只需 f(n) 3即可 . 通项公式为 23n，关于该数列，有以下四种说法： 11 (1)该数列有无限多个正数项； (2)该数列有无限多个负数项； (3)该数列的最大项就是函数 f(x)=3(4) 其中正确的说法有 .（把所有正确的序号都填上） 答案 (2)(4) 解析 令 3n0，得 00, 递增数列 . 出数列的前 5项，并用图像表示出来 . (1)n+2; (2)an=. 解析 (1),. (2),3,4,5,. ,=2出数列的前 4项，猜想 加以证明 . 证明 由 ,=2 12 =22, 22=23, 23=24. 猜想 n(n N+). 证明如下： 由 ,=2 得11 =232. 132 2 2 2 2n. f(x)= 122 f(n)=an(n N+)1 所以数列 递增数列 . 所以 1,即 1. 所以21 . 1 2 等 差 数 列 第 1 课时 等差数列的概念及通项公式 知能目标解读 解等差数列的概念，并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列 . 用函数的观点解决等差数列问题 . 能运用它们解决问题 . 重点难点点拨 重点：等差数列的概念 . 难点：等差数列的通项公式及其运用 . 学习方法指导 （ 1）关于等差数列定义的理解，关键注意以下 几个方面： 如果一个数列，不是从第 2项起，而是从第 3项起或第 4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列 . 一个数列从第 2项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列 . 求公差时，要注意相邻两项相减的顺序 .d=n N+)或者 d=n N+且 n 2). （ 2）如何证明一个数列是等差数列 ? 要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只需证明对任意正整数 n,一个常数 (或 n1)是同一个常数 ) 注意 :判断一个数列是等差数列的定义式： d(举一个特例进行否定，也可以证明 n1)不是常数，而是一个与 （ 1）通项公式的推导常用方法： 方法一（叠加法）： 等差数列， d,d, d, , d,d. 将以上各式相加得： d, an=d. 方法二 (迭代法 )： 等差数列， an=d=d+d=d=d= =d. 即 an=d. 方法三（逐差法）： 等差数列，则有 ( +(a1=d. 注意：等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法，应注意体会并应用 . 2 （ 2）通项公式的变形公式 在等差数列 ，若 m， n N+，则 an=对任意的 m,n N+，在等差数列中，有 am=d an=d 由 -得 d, an=d. 注意：将等差数列的通项公式 an=an=dn+函数角度来看， an=关于 d 0时 )或常数函数 (d=0 时 )，其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中公差 在直线的斜率，从上面的变形公式可以知道， d=mn aa (n m). （ 3）通项公式的应用 利用通项公式可以求出首项与公差 ; 可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项 ; 若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数 . 由 an=f(n)=d=可知其图像是直线 y=的一些等间隔的点，这些点的横坐标是些正整数，其中公差 自变量每增加 1，函数值增加 d. 当 d0时， 递增数列，如图（甲）所示 . 当 数列；当 d=0时， 数列；当 即从第 12年起，该公司经销这一产品将亏损 . 说明 关于数列的应用题，首先要建立数列模型将实际问题数列化 . 变式应用 4 2012年将在伦敦举办奥运会，伦敦将会有很多的体育场，为了实际效果，体育场的看台一般呈“辐射状” 体育场一角的看台座位是这样排列的：第一排有 150 个座位，从第二排起每一排都比前一排多 20 个座位，你能用 10排可坐多少人？ 分析 分 析题意知，看台上的每一排的座位数组成了一个等差数列 . 解析 由题意知，每排的座位数组成了一个首项为 50,公差为 d=20的等差数列， an=d=150+( 20=20n+130, 则 30,即第 10排可坐 330 人 . 名师辨误做答 例 5 已知数列 ,a1=,an=(n 3). （ 1）判断数列 否为等差数列？说明理由； （ 2）求 通项公式 . 误解 （ 1） an=, (为常数 )， 等差数列 . （ 2）由上述可知， +2(2辨析 忽视首项与所有项之间的整体关系，而判断特殊数列的类型是初学者易犯的错误 列 第 2 项起，以后各项组成等差数列，而 是等差数列， an=f(n)应该表示为“分段函数”型 . 正解 （ 1）当 n 3时， an=, 6 即 . 当 n=2时， 不满足上式 . 是等差数列 . （ 2） ,an=(n 3)， a3=3. . 当 n 3时， . an=d=1+2(2又 不满足此式 . 1 (n=1) . 2(n 2) 课堂巩固训练 一、选择题 1.（ 2011重庆文， 1）在等差数列 ,则 ） 答案 D 解析 该题考查等差数列的通项公式，由其两项求公差 d. 由 , 知 d=23 24=2. d=2+8 2=18. 通项公式 它的公差为（ ） C. 2 D. 3 答案 C 解析 an=d= 公差为 2，故选 C. =0的两根的等差中项为（ ） 答案 C 解 析 设方程 =0的两根为 x1+. 其等差中项为2 21 =3. 二、填空题 ， ,a4=,则 . 答案 19 解析 ,a4=, a1+d=3 1 , 解得 . 7 d=a1+d+8 d=4 a6=d=0=19. a、 b、 么二次函数 y=bx+c(a 0)的图像与 个 .答案 1 或 2 解析 a、 b、 2b=a+c, 又 =4a+c) 2 0. 三、解答题 ，已知 0,1,求通项公式 d=10 2 解析 由题意得 , 解得 . 1d=31 d=3 2+( 3 3课后强化作业 一、选择题 ， ， 的项数为（ ） 答案 C 解析 ， d=2, +( (, 由 2n+3，得 n=46. 等差数列，则（ ） 答案 B 解析 设公差为 d,则 a1+a1+, a1+a8=a4+,9,15, ,3(2 ,那么 81是它的第（ ） 答案 C 解析 由 3(281,解得 n=14. ， 5,a6=,则 ） 答案 B a1+d=解析 由题意，得 ， d=d+6 解得 8. ， ,2=2,则 ） 8 答案 D 解析 由 2=2得 1， 等差数列 ,首项 ,公差 d=21, +21( 23n, 3101=52. a=23 1,b=23 1,则 a, ） A. 3 B. 2 C. 33D. 22答案 A 解析 22231231 =2 2323 = 3 . 递增等差数列，前三项和为 12，前三项积为 48，则它的首项为（ ） 答案 B a1+a2+2 a1+ 解析 由题设 ， , , 8 2 a1,2=0 的两根， 又 . 8.首项为 ,公差 d=2 的等差数列，如果 012,则序号 ） 答案 C 解析 ,d=2, an=d=4+2(2n+2, 2n+2=2012, n=1005. 二、填空题 3 - 2 ),x,3 + 2 )成等差数列，则 x= . 答 案 0 解析 由等差中项的运算式得 x=2 )23)23 =2 )23)(23( 0. 9 项 0,且 a1+a2+,则 ,d= . 答案 a5=d=10 d=10 2 解析 由题意得 , 即 ， . a1+a1+d+d=3 a1+d=1 d=3 前三项依次为 x， 2x+1， 4x+2，则它的第 5项为 . 答案 4 解析 2(2x+1)=x+(4x+2), x=0,则 ,d=, a5=d=4. ， ，且对于任意大于 1的正整数 n，点（直线 =0上，则 答案 3解析 由题意得3 , 数列 首项为 3 ，公差为 3 的等差数列， 3 n, 三、解答题 ： (1)已知 1,求 d; (2)已知 a1+2,求 5-1)d= 5 解析 (1)由题意知 ，解得 . 8-1)d=2 d=1 a1+6-1)d=12 （ 2）由题意知 ，解得 ， 4-1)d=7， d=2 a9=9-1)d=1+8 2=17. f(x)= 33列 通项由 xn=f(n 2,且 n N+)确定 . (1)求证：是等差数列； (2)当 1时，求 解析 (1)xn=f( 331 1 n nx x(n 2,n N+)， 10 所以113 3 1+11 111(n 2,n N+). 所以是等差数 列； (2)由 (1)知 的公差为 31 . 又因为 1,即11x 2. 所以2+( 31 ， 1001x =2+(100 31 =35. 所以 51. ， a5+a6+5,5,求数列 通项公式 . 分析 显然 利用等差中项的定义求解 而求 解析 设a5=a7=a6+d, 则由 a5+a6+5,得 35, . a5+0 9 由已知可得 ，解得 或 当 时， d=4, 从而 15, 15+( 4=4 当 时， d=而 5. 5+(（ 4n+29. 所以数列 通项公式为 n 19或 4n+29. 896 年在希腊雅典举行，此后每 4 年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算 . (1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； (2)2008 年北京奥运会是第几届？ 2050年举行奥运会吗？ 解析 (1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以 1896为首项， 4为公差的等差数列，这个数列的通项公式为 896+4(1892+4n(n N+). （ 2）假设 008，由 2008=1892+4n,得 n=29. 假设 050,2050=1892+4 11 所以 2008年北京奥运会是第 29届， 2050年不举行奥运会 . 第 2课时 等差数列的性质 知能目标解读 项的对称性 . 重点难点点拨 重点：等差数列的性质 . 难点：应用等差数列的性质解决一些实际问题 . 学习方法指导 （ 1）一次函数 f(x)=kx+b(k 0)的图像是一条直线，斜率 k=1212 )()( xx ( 当 k=0时，对于常数函数 f(x)=b,上式仍然成立 . （ 2）等差数列 公差本质上是相应直线的斜率 . 特别地，如果已知等差数列 任意两项 an, an=d,类比直线方程的斜率公式得 d=nm aa (m n). 数列”的性质 若数列 公差为 （ 1） 掉前几项后余下的项仍组成公差为 （ 2）奇数项数列 公差为 2d 的等差数列；偶数项数列 公差为 2 （ 3）若 等差数列，则 是等差数列 . 知能自主梳理 （ 1）两项关系 通项公式的推广： an= (m、 n N+). (2)多项关 系 项的运算性质： 若 m+n=p+q(m、 n、 p、 q N+)，则 =ap+特别地，若 m+n=2p(m、 n、 p N+)，则 am+ . 有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和（若有中间项则等于中间项的 2倍），即 a1+an= = =2n(其中 n 3). （ 1）若 公差为 下列数列： c+(是公差为 的等差数列； 12 c (是公差为 的等差数列； (k N+)是公差为 的等差数列 . (2)若 别是公差为 数列 (p、 是公差为 的等差 数列 . 答案 1.(d am+ 3.d cd kd 路方法技巧 命题方向 运用等差数列性质 an=d(m、 n N+)解题 例 1 若数列 等差数列， ap=q,aq=p(p q)，则 ap+ ） A.p+q C.-(p+q) 分析 本题可用通项公式求解 . 利用关系式 an= 利用一次函数图像求解 . 答案 B 解析 解法一： ap=d, aq=d, d=q d=p -，得（ d= p q, d=代入，有 q, a1=p+故 ap+q=p+d=p+p+0.应选 B. 解法二： ap=d, q=p+(d,即 d. p q, d=故 ap+q= (p+ d=q+q(0.应选 B. 解法三：不妨设 d=1,故所求的四个数为 0， 2， 4. 解法二：若设这四个数为 a,a+d,a+2d,a+3d(公差为 d)， 依题意， 2a+3d=2,且 a(a+3d)=把 a=1入 a(a+3d)=得（ 1(1+23d)= 18, 化简得 , d=2或 又知四个数成递增等差数列， d0, d=2,a=故所求的四个数为 0， 2， 4. 说明 此题设法很重要，一般地有如下规律：（ 1）若所给等差数列为 2n(n N+)项，则可设为： d, ,a+d,a+3d, ,a+(2d,此数列的公差为 2d.(2)若所给等差数列的项数为2n N+)项 ,则这个数列可设为： a-(d, ,a,a+d, ,a+(d,这个数列的公差为 d. 变式应用 3 已知 5个数成等差数列，它们的和为 5，平方和为985，求这 5个数 . 解析 设这五个数依次为 a,a+d, a+2d,由题意，得 5a=5 15 (2+(+a+d) 2+(a+2d) 2 =985a=1 解得 4a=1 d=32故这五个数为 1， 1，35，37或37，35， 1，31， 名师辨误做答 例 4 在等差数列 ，已知 ,a2+3,则 a4+a5+ . 误解 39 a2+3, a5=a2+3, a4+a5+9. 辨析 误解过程中， a2+a3=运用等数列的性质“若 m+n=p+q(m、 n、 p、 q N+)，则 am+an=ap+过程中，一定要明确条件“ m+n=p+q(m、 n、 p、 q N+)”的内在含义 . 正解 42 设公差为 d, a2+3, 2d=13,又 , d=3. a4+a5+(d)=42. 课堂巩固训练 一、选择题 等差数列， a2+2，则 ） 答案 C 解析 等差数列， a2+ 22, . ， a3+a4+2,那么 a1+ + ） 答案 C 解析 a3+a4+2， 32, . a1+ +a1+(a2+(a3+8. ， a4+5,2,则 ） 16 C. 3答案 A 解析 a4+5, a2+a7=a4+5, 又 2. . 二、填空题 ， ,a5=，则 . 答案 13 解析 设公差为 d, a5=, d=6, a6=d=7+6=13. ，若 a2+,则 . 答案 2 解析 等差数列， 2a2+ 40222 =24=2. 课后强化作业 一、选择题 ， ,则 ） 答案 C 解析 设公差为 d, d, 2d=4,又 a7=d=9+4=13. ， a3+a4+a5+a6+50，则 a2+ ） 答案 C 解析 由 a3+a7=a4+ a3+a7+a4+a6+50, 0. a2+80. ） A.若 a,b, a2,b2,B.若 a,b, 列 C.若 a,b, a+2， b+2,c+2 成等差数列 D.若 a,b, 2a， 2b,2答案 C 解析 a,b, 2b=a+c, 2b+4=a+c+4, 17 即 2（ b+2） =(a+2)+(c+2), a+2,b+2,c+2成等差数列 . ， a7+16,，则 ） 答案 A 解析 a7+6,故 . 在等差数列 ， a4,a8, 所以 65. 足 a1+a2+ +,则有（ ） 6,. d= d=2 故 10,d=2, 19 ,bn=(1)求 通项公式； （ 2）数列 否为等差数列？说明理由 . 解析 bn= b1=,b2=,， bn=(21=4(2)由 (3=4 4(44, 首项 ,公差为 4的等差数列 . 00元，在甲、乙两家家电商场均有销售 一台单价为 780 元，买两台单 价都为 760 元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少 20 元，但每台最低价不能低于 440元；乙商场一律都按原价的 75%销售 去哪家商场买花费较少 . 解析 设单位需购买影碟机 n 台，在甲商场购买每台售价不低于 440 元，售价依台数 n 成等差数列 80+(800 解不等式 440即 800440，得 n 18. 当购买台数小于 18台时，每台售价为 800台数大于等于 18 台时，每台售价为 440 元 . 到乙商场购买，每台售价为 800 75%=600元 . 作差：（ 8000n（ 10 当 440由（ 1）知 ,86 . 所以当 n=84时， 0 84+28384 (解法二： 0n+2 )1( (2+1205032 .当 n=84时， 84=说明 求等差数列的前 方法一：根据项的正负来定 . 若 ,数列的所有负数项之和最小 . 方法二： Sn= )1( n =2d(n+)2( 21 =2d1212. 由二次函数的最大、最小值知识及 n N+知，当 n 取最接近（21正整数时， 最 24 小值），值得注意的是最接近（21正整数有时有 1个，有时有 2个 . 变式应用 3 在等差数列 ， 5,9,求 解析 解法一：利 用前 9得 2517+217(17-1)d=25 9+29(9-1)d,解得 d= 5n+2n(-(2+169, 由二次函数性质，当 n=13时， 69. 解法二：同解法一先求出 d=50, 5-2( 0 n 1321由 ，得 ， =250 n 1221所以当 n=13时， 69. 解法三：同解法一先求出 d=17= +，而 d=以 ,求数列的项数 n. 解析 由题意可知 a1+ +6, an+ +24 由 +，得 （ a1+(a2+ +(a6+216, 6(a1+216, a1+6. )( 1 =18n=324, n=18. 两物体分别从相距 70甲第 1分钟走 2m，以后每分钟比前 1分钟多走 1m，乙每分钟走 5m. （ 1）甲、乙开始运动后几分钟第一次相遇？ （ 2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前 1分钟多走 1m，乙继续每分钟走 5m，那么开始运动后几分钟第二次相遇？ 解析 （ 1）设 题意得 2n+2 )1( n 70, 整理得 3,解得 n=7,n=去 ). 甲、乙第一次相遇是在开始运动后 7分钟 . (2)设 题意，得 2n+2 )1( n=3 70， 整理得 370 0， 解得 n=15,n=去 ). 甲、乙第二次相遇是在开始运动后 15 分钟 . 前 n，已知 2, 32 13a+21213 a=12去 12a+21112d0 (2)解法一：由 a+211d0 . a+611d0，可知 a1 ，所以 2, ,6. 另法： (a6+0， 36最大 . 解法二： Sn= )1( n(12 21n(d=2524 dn，二次函数 y=2524 dx= =25 由于 , 值 . （ 1）若项数为 2n，则 S 偶 ，偶奇 . (2)若项数为 2 S 奇 ，偶奇 . 答案 二次 小 3.(1)2） 命题方向 已知 例 1 已知数列 前 n 项和 23205n,求数列 通项公式 S1(n=1) 分析 利用 ，求解 . n 2) 解析 当 n 2时， （ 205n） - 2+2205( =04. 当 n=1时， 1=205=101满足上式， 3n+104(n N+). 34 说明 由 分 n=1 和 n 2两种 情况，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示 . 变式应用 1 前 据条件求 （ 1） n 2； （ 2） 解析 （ 1）当 n=1时， 1=7, 当 n 2时， 2n 2)- 2(2+3( 2 =4n+1，又 不适合上式， 7 （ n=1） . 4n+1 (n 2) (2)当 n=1时， 1=2, 当 n 2时， 3-（ 3 =2 3然 3n N+). 命题方向 求数列 |的前 例 2 已知数列 前 n 项和 2数列 |的前 n. 分析 由 12n N+，可知 等差数列，可求出 后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出 解析 当 n=1时， 1=121. 当 n 2时， 12 12(2 =13又 n=1时适合上式， 通项公式为 3由 30得 n213， 即当 1 n 6(n N+)时， ,当 n 7时， | | +|a1+(a1+ +2(a1+0. 0n （ n 2） . 50 （ n2） 命题方向 等差数列前 例 3 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为 44，偶数项之和为 33，求这个数列的中间项及项数 . 分析 设项数为 2n 1，则奇数项有 n 项，偶数项为 ，由奇数项之和与偶数项之和 的关系，列式求解 . 解析 设等差数列共 2奇数项有 数项有 间项是第 为 公差为 d, S 奇 a1+a3+ +4 则 S 偶 a2+a4+ +3 S 奇 S 偶 an=1 即中间项 1. 又 奇 S 偶 77. 2 )(12( 121 2)12( =77 (2 11 77， 2. 即数列的中间项为 11，这 个数列共 7项 . 说明 等差数列 ，公差为 d: 若共有 2 n(an+); S 偶 S 奇 偶 ： S 奇 ： 若共有 2 2S 奇 S 偶 偶 ： S 奇 （ n. 变式应用 3 在等差数列 ，前 12项和为 354，前 12 项中奇数项的和与偶数项的和之比为 27： 32,求公差 d. 36 解析 解法一：设这个数列的首项为 差为 d,则 121112d=354. 6622 56)(611 =2732 d=5. S 奇 S 偶 354， S 偶 192， 解法二： 偶奇227S 奇 162. 又 S 偶 S 奇 6d, d=5. 探索延拓创新
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