2013高中数学 同步导学案（1-3章打包23套） 北师大版必修5
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2013高中数学 同步导学案（1-3章打包23套） 北师大版必修5,高中数学,同步,导学案,打包,23,北师大,必修
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1 3 解三角形的实际应用举例 第 1 课时 距离和高度问题 知能目标解读 弦定理等知识和方法求解不可到达的两点之间的距离 . 量高度等解三角形的实际问题 . 强应用数学建模意识，培养自己分析问题和解决实际问题的能力 . 重点难点点拨 重点：分析测量的实际情景，找出解决测量距离的方法 . 难点：分析如何运用学过的解三角形知识解决实际问题中距离测量和高度问题 . 学习方法指导 解三角形应用题要注意两点： （ 1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称 (2)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求 . 正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等 . （ 1）测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而得 到运用正弦定理去解决的方法 . （ 2）测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题 后运用正弦定理解决 . 知能自主梳理 实际问题中的 名词、术语 指 北方向 时针转到目标方向 的水平角 1)所示 . 2 对于某一正方向（东、西、南、北）的水平角 . 北偏东，即由指北方向 旋转到达目标方向，如图（ 2） . 北偏 西，即是由指北方向 旋转到达目标方向 . 测量上，我们根据测量的需要适当确定的线段叫做基线 线越 ，测量的精确度越高 . 于底部不可到达，这类问题不能直接用解三角形的方法解决，但常用 和 ，计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的 . 标方向线（视线）与水平线的夹角中，当目标（视线）在水平线 时，称为仰角， 在水平线 时，称为俯角，如图 . 答案 逆时针 余弦定理 下方 思路方法技巧 命题方向 测量高度问题 例 1 如图，测量人员沿直线 得塔 仰角分别是 30， 5 0，且 N=500m，求塔高 . 3 分析 解题的关键是读懂立体图形 . 解析 设 为 x. BM=x 3 x,BN=x x, BP=x =33x. 在 由余弦定理，得 在 余弦定理，得 又 P=500， 350000+500x 3150000+500x +，得31000000+2 x=250 6 . 答：塔高 250 6 m. 说明 在测量高度时，要理解仰角和俯角的概念，区别在于视线在水平线的上方还是下方，一般步骤是： 根据已知条件画出示意图； 分析与问题有关的三角形； 运用正、余弦定 理，有序地解相关的三角形，逐步求解； 把解出答案还原到实际问题中 . 还要注意综合运用平面几何和立体几何知识以及方程的思想 . 变式应用 1 如图，在塔底 的仰角为 60，在山顶 C 测得塔顶 5，已知塔高 0m，求山高 确到 . 4 分析 如图， ， 0，只需求出边 长，即可求出 在斜三角形 据条件由正弦定理可求出 解析 由已知条件，得 0 , 5 ,则在 0 - 60 =30 , 0 =15 , 80 -（ =135 . 在 15 13202641222015s 在 C 0( 3 +1)23 答：山高约为 命题方向 测量距离问题 例 2 要测量河对岸两 地 A、 B 之间的距离，在岸边选取相距 100 3 米的 C、 D 两点，并测得5 , 5 , 0 , 5（ A、 B、 C、 求 A、 分析 此题是测量计算河对岸两点间的距离，给出的角度较多，涉及几个三角形，重点应注意依次解哪几个三角形才较为简便 . 解析 如图所示，在 80 -（ 120 +30） =30 , D=100 3 . 在 80 -（ 45 +75） =60 . 由正弦定理 ,得 75s 060s 5s 0. 在 余弦定理 ,得 5 100 3 ） 2+（ 200) 2100 3 200 =1002(3+4 1 50s 50c 1002 5, 00 5 . 答： A、 00 5 米 . 说明 （ 1）求解三角形中的基本元素，应由确定三角形的条件个数，选择合适的三角形求解，如本题选择的是 （ 2）本题是测量都不能到达的两点间的距离，它是测量学中应用非常广泛的三角网测量方法的原理，其中 视为基线 . （ 3）在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如本例的 根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度 线越长，测量的精确度 越高 . 变式应用 2 如图所示，货轮在海上以 40km/h 的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为 140的方向航行，为了确定船位，船在 的方位角为 110，航行半小时后船到达 测灯塔 5 点时与灯塔 分析 根据所给图形可以看出，在 知 要根据所给的方位角数据，求出 的大小，由正弦定理可得出 长 . 解析 在 021=20, 40 =30 , 180 )+65 =105 , A=180 -(30 +105 )=45 , 由正弦定理，得 = 21045s 0s ( 答：货轮到达 的距离是 10 2 探索延拓创新 命题方向 综合应用问题 例 3 如下图所示，甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 船位于甲船的北偏西 105的方向 时两船相距 20海里 20 分钟到达 船航行到甲船的北偏西 120方向的 时两船相距 10 2 海里，问乙船每小时航行多少海里？ 分析 甲、乙两船航行时间相同，要求得乙船的速度，只需求得乙船航行的距离 可 化为在 解析 如上图，连结 0 2 ， 020 30 2 =10 2 . 05 =45 . 在 余弦定理得 11 =202+(10 2 )220 10 2 22=200, 则 0 2 . 因此乙船的速度的大小为20210 60=30 2 . 即乙船每小时航行 30 2 海里 . 说明 仔细观察图形，充分利用图形的几何性质挖掘隐含条件，并通过添加适当的辅助线将问题纳入到三角形中去解决是 解此类问题的关键 . 变式应用 3 海中有小岛 A，已知 A 岛四周 8 海里内有暗礁 见 A 岛在北偏东 75，航行 20 2 海里后见此岛在北偏东 30 有无触礁的危险？ 7 如图所示，要判断有无触焦危险，只要看 长与 8的大小，若 8，则无触礁危险，否则有触礁危险 . 解析 如图所示，作 延长线于 D， 由已知 5 , 0 ,0 2 . 由正弦定理，得 12015180s 2015s 0( 6 - 2 ), C =15 2 8. 无触礁危险 . 说明 本题中理解方位角是解题的关键 5是指以正北方向为始边，顺时针方向转 75 . 名师辨误做答 例 4 某观测站 的南偏西 20的 方向，由城 向是南偏东 40，在C 处测得公路上 1 千米，正沿公路向 A 城走去，走了 20千米后到达 时 1 千米，问：这人还要走多少千米才能到达 误解 本题为解斜三角形的应用问题，要求这人走多少路才可到达 A 城，即求长， 在 知 1千米， 0，只需再求出一个量即可 . 如图，设 , , 在 余弦定理，得 7121202 3121202222222 734. 在 ， 0s 即 212 242+2421 整理，得 35=0, 解得 5或 ， 答：这个人再走 15千米或 9千米就可到达 辨析 本题在解 ，利用余弦定理求 生了增解，应用正 弦定理来求解 . 8 正解 如图，令 , ,在 余弦定理得 2222 7121202 312120222 ， 734. 又 ) =73421+23711435， 在 D, 60=15(千米 ). 答：这个人再走 15千米就可以到达 课堂巩固训练 一、选择题 河岸 C，测量下列四组数据，较适宜的是 ( ) c b 答案 D 解析 在 够测量到的边和角分别为 . D、 C、 10m，从 D、 点的仰角分别为 30和 45，则 B 等于 ( ) 9 m 3 -1)m 3 +1） m 答案 D 解析 在 正弦定理得 131015s 35s 在 =5( 3 +1)(m). 3.(2012福州高二质检 )如图所示，为了测量隧道口 长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据 ( ) a,b ,a C.a,b, ,b 答案 C 解析 根据实际情况， 、 都是不易测量的数据，而 a, 也可以测得，根据余弦定理 a2+直接求出 选 C. 4.(2011上海理， 6)在相距 2千米的 A、 ，若 5 , 60，则 A、 千米 . 答案 6 解析 本题考查正弦定理等解三角形的知识，在三角形中，已知两角和一边可求第三个角以及利用正弦定理求其它两边 . 5 , 0 , C=180 =45 , 由正弦定理： s 4560 6 . 二、填空题 图所示，施工人员欲在山坡上 A、 B 两点处测量与地面垂直的塔 高，由 A、 B 两地测得塔顶 C 的仰角分别为 60和 45，又知 长为 40 米，斜坡与水平面成30角，则该转播塔的高度是 米 . 10 答案 3340解析 如图所示， 由题意，得 5 15 , 0 =30 . 50 , 5 , B=40米， 20 , 0 , 在 正弦定理，得 1200403340. 三、解答题 了测量河的宽度，在一岸边选定两点 A、 B，望对岸的标记物 C，测得 45 , 5 ,20米，求河的宽度 . 解析 如图， 在 5， 5， 0 . 由正弦定理，得 60s 5s in s C 1 20（ 3 62 ） . 设 D， 则 20（ 3+ 3 ） . 答：河的宽度为 20（ 3 +3）米 . 课后强化作业 一、选择题 图，测得 m, A=30 ,则其跨度 ） m m 答案 D 解析 在 知可得 C=4, C=180 2 120 所以由余弦定理得 =42+424 4（ 48 3 (m). 处的俯角为 30 ,则从 ( ) 答案 B 、 B 两个小岛相距 10 海里，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60的视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75的视角，则 B、 ( ) 海里 海里 海里 海里 答案 D 解析 如图，由正弦定理得 45 6 . x 向右转 150，然后朝新方向走 3 果他离出发点恰好 3 么 12 x 的值为（ ） A. 3 或 3 答案 C 解析 由题意画出三角形如下图 0 , 由余弦定理得， = 392 , x=2 3 或 3 . 岛的正南 船以 8km/时乙船从 12km/h 的速度向北偏东 60方向驶去，则行驶 15分钟时，两船的距离是 （ ） A. 7 B. 13 C. 19 D. 3310 答案 B 解析 由题意知 360151226015 ，所以由余弦定理得=1+91 3 (13，所以 13 00米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30、 60，则塔高为（ ） 400米 米 答案 A 解析 如图，设 00， 0 , 0 , 00=3 3200,=3200. 400. 13 处，测得灯塔 5，与灯塔 0海里，随后货轮按北偏西 30的方向航行 30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ） 2 + 6 ）海里 /时 6 - 2 ）海里 /时 6 + 3 ）海里 /时 6 - 3 ）海里 /时 答案 解析 题意可知 5， 05， 则 80 30 . 而 0, 在 正弦定理得 105 4560s 01 0 5s 0s 30s o o 0= 261042610 =10( 6 - 2 ). 货轮的速度为 10( 6 - 2 )21=20( 6 - 2 )(海里 /时 ). 山底 的仰角 5，沿倾斜角为 30的山坡向山顶走 1 000米到达 测得山顶仰角 5，则山高 ） m m 答案 D 解析 5 =15 , 5 -（ 90 )=30 , 在 30351221000 =1 000 2 , 14 B =1 000 2 22=1 000（ m） . 二、填空题 4 km/h 的速度向正北方向航行，在点 A 处望见灯塔 S 在船的北偏东 30方向上 ， 15 到点 5方向上，则船在点 的距离是 精确到 0.1 答案 解析 作出示意图如图 46015=6， 5 ,由正弦定理得，4530 可得 2216=3 2 . 看湖泊两岸的建筑物 B、 0 ,00m,00m,则 B、 . 答案 100 3 m 解析 在 余弦定理得 1002+2002100 20021=30000 所以 100 3 m. 两楼相距 20 米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60 ，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30，则甲、乙两楼的高分别是 . 答案 20 3 米，3340米 解析 如图，依题意有甲楼的高度 0 =20 3 (米 )，又 B=20米， 15 0，所以 M =3320米， 故乙楼的高度为 0 3 340（米） . 辆汽车在一条水平的公路上从 C 处向正东行驶，到 A 处时，测量公路南侧远处一山顶 D 在东南 15的方向上，行驶 15处，测得此山顶在东偏南 30的方向上，仰角为 15，则此山的高度 答案 5（ 2- 3 ） 解析 在 A=15 , C=30 =15 , 515s 5s C D= =5 5 )= 5(2- 3 ). 三、解答题 13.（ 2012厦门高二检测）海面上相距 10 海里的 A、 B 两船， B 船在 A 船的北偏东 45方向上，两船同时接到指令同时驶向 C 岛， C 岛在 B 船的南偏东 75方向上，行驶了 80 分钟后两船同时到达 C 岛，经测算， 0 7 海里，求 解析 如图所示，在 10， 0 7 , 20由余弦定理，得 即 700 100 0 0, 设 v,则
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