2013高中数学 同步导学案（1-3章打包23套） 北师大版必修5
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2013高中数学 同步导学案（1-3章打包23套） 北师大版必修5,高中数学,同步,导学案,打包,23,北师大,必修
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1 第 2 课时 余弦定理 知能目标解读 握余弦定理，理解用数量积推导余弦定理的过程，并体会向量在解决三角形的度量问题时的作用 . 会用余弦定理解决“已知三边求三角形的三角”及“已知两边及其夹角求三角形中其他的边和角”等问题 . 重点难点点拨 重点：余弦定理的证明及其应用 . 难点：处理三角形问题恰当地选择正弦定理或余 弦定理 . 学习方法指导 一、余弦定理 ， A， B， C 的对边分别为 a， b， c，那么有如下结论：a2=b2+b2=a2+c2=a2+ 即三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 揭示了任意三角形边角之间的客观规律 注意： （ 1）在余弦定理的每一个等式中含有四个量，利用方程的思想，可以知三求一 . （ 2）余弦定理也为求三角形的 有关量（如面积，外接圆，内切圆等）提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛 . 余弦定理稍加变形，可以得到另外的形式，我们称为余弦定理的推论 以帮助我们深入理解和灵活应用余弦定理 . bc 222 ， ac 222 ， ab 222 . 由上述变形，结合余弦函数的性质，可知道：如果 一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角为锐角 弦定理可以看作勾股定理的推广，而勾股定理则是余弦定理的特例 . 二、余弦定理的证明 教材中给出了用向量的数量积证明余弦定理的方法，是平面向量知识在解三角形中的应用 余弦定理的证明，还可以应用解析法、几何法等方法证明 . 证明：方法 1：（解析法）如图所示，以 立直角坐标系 . 2 则 A（ 0,0） ,C(B(c,0), 由两点间的距离公式得 2+(2, 即 a2=b2+ 同理可证 b2=a2+ c2=a2+方法 2：（几何法）如图 D D，则 CD= AD=D= 在 a2=2. 所以 a2=b2+ 同理可证 b2=a2+c2=a2+ 如图，当 ，过 足为 D， 则 AD=D= 在 , a2= 2. 所以 a2=b2+ 同理可证： b2=a2+c2=a2+三、余弦定理的应用 余弦定理主要适用以下两种题型 : （ 1）已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解； （ 2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解 . 注意： 在应用余弦定理求三角形的边长时，容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需要特别注意三角形三边长度应满足的基本条件 . 知能自主梳理 （ 1）语言叙述： 三角形任何一边的平方等于 减去 的积的 . （ 2）公式表达 : ; 3 ; . (3)变形 : ; ; . 应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其 解三角形，另一类是已知 解三角形 . 答案 1.(1)其他两边的平方和 这两边与它们夹角的余弦 两倍 (2) b2+a2+a2+3) bc 222 ac 222 ab 222 三边 思路方法技巧 命题方向 已知三边解三角形 例 1 在 知 a=7,b=3,c=5，求最大角和 分析 在三角形中，大边对大角，所以 解析 a c b, 由余弦定理得， bc 222 =532 753222 21， 又 0 A 180 , A=120， =23. 由正弦定理 a 235=1435. 最大角 20， 435. 说明 （ 1）求 ab 222 =372 537222 =1411， = 214111 ）（1435. (2)在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理 . 变式应用 1 4 在 知 (b+c)： (c+a)： (a+b)=4： 5： 6，求 解析 设 b+c=4k,c+a=5k,a+b=6k(k 0). 则 a+b+c=得 a=b=c= 角 由余弦定理，得 bc 222 = 0 A 180 , A=120，即最大角为 120 . 命题方向 已知两边及一角解三角形 例 2 知 b=3,c=3 3 , B=30 ,解三角形 . 分析 已知两边和其中一边的对角 . 求另外的两角和另一边 . 解答本题可先由正弦定理求出角 C,然后再求其他的边和角，也可由余弦定理列出关于边长 出边 a,再由正弦定理求角 A，角 C. 解析 解法一：由余弦定理 b2=a2+ 得 32=3 3 )23 3 , 8=0,得 a=3 或 6. 当 a=3时， A=30 , C=120 . 当 a=6时，由正弦定理 b 216=1. A=90 , C=60 . 解法二：由 =3 3 21=233知本题有两解 . 由正弦定理 2133 =23, C=60或 120， 当 C=60时， A=90 , 由勾股定理 a= 22 = 22 )33(3 =6. 当 C=120时， A=30， a=3. 说明 知两边和一角解三角形时有两种方法： （ 1）利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求 出此边长 . (2)直接用正弦定理，先求角再求边 . 用方法（ 2）时要注意解的情况，用方法（ 1）就避免了取舍解的麻烦 . 变式应用 2 5 在 a、 b、 A、 B、 1,若 a=4,b+c=6,且 bbc, 最大角为 3，若 A 为锐角，则 A=60， CBA, A+B+C180，这显然不可能， A 为钝角 . 21, 设 c=x,则 b=x+2,a=x+4. 22 42222 x=3，故三边长为 3， 5， 7. 三、解答题 知 ,且 a= 6 ,7,求 面积 . 解析 , (, 解得,即 b= a2=b2+ b2+,与 b=2c 联立解得 b=4,c=2. 7, =815, S 115. 课后强化作业 一、选择题 b=5,c=5 3 ,A=30 ,则 ） 10 答案 A 解析 由余弦定理，得 2b2+ 2 5 5 3 52（ 5 3 ） 2 5, a=5. 知 a2=b2+c2+角 ） A. 3B. 6C. 32D. 3或32答案 C 解析 a2=b2+c2+ bc 222 =bc 2222 , 又 0A , A=32. a= 3 +1,b= 3 -1,c= 10 ,则 ） 答案 C 解析 显然 10 3 +1 3 13132101313 222 =- 42 21 , C=120 . 4. 、 B、 a， b， c,设向量 p=(a+c,b), q=(若 p q,则 ( ) A. 6B. 3C. 2D. 32 答案 B 解析 p=(a+c,b), q=( p q， (a+c)(b(0， 即 a2+ ab 222 =1. C=3. 知 2a2= 2 b+c) 2,则 ） 答案 D 解析 由已知得 2a2=b2+ 2 a2=b2+2 11 b2+- 2 又 b2+ 2 2 22, A=135 . 6.（ 2011重庆理， 6）若 内角 A、 B、 C 所对的边 a、 b、 c 满足 (a+b) 2，且 C=60，则 ( ) A. 34B. 8 案 A 解析 本题主要考查余弦定理的应用 . 在 C=60 , a2+ (a+b) 2a2+, 4,选 A. 边长 ,则 于 ( ) 答案 D 解析 在 B=7, 则 52 362549 =3519. 又 =- 7 53519= =41(a2+则 ） A. 4B. 6C. 3D. 2答案 A 解析 由 S=41(a2+得211 2 , C=4. 二、填空题 b=34,c=2 2 ,A=45 ,那么 . 答案 3102 12 解析 由余弦定理，得 a2=b2+16+84 2 2 22=916+8 487216 =940,所以 a=3102. ,13 ,则边 . 答案 23 3解析 如图， 4321343 222 21， 3. B 3 3. 知 ,三角形面积为 12，则 . 答案 257解析 由题意得 S 12, 即21 5 8 2,则 3. 53） 2=257. B=60 ,b2=三角形的形状为 . 答案 等边三角形 解析 由余弦定理得 b2=a2+ b2= a2+, (2=0, a=c. 又 B=60 , A=C=60 . 故 三、解答题 A+C=2B,a+c=8,5,求 b. 解析 解法一：在 A+C=2B， A+B+C=180，知 B=60 . 13 由 a+c=8,5,则 a、 5=0的两根 . 解得 a=5,c=3或 a=3,c=5. 由余弦定理，得 b2=a2+253 521 19. b= 19 . 解法二：在 A+C=2B,A+B+C=180， B=60 . 由余弦定理，得 b2=a2+a+c) 22151521 19. b 19 . 14.(2011大纲文， 18) 内角 A、 B、 a、 b、 c， (1)求 B； （ 2）若 A=75 ,b=2,求 a,c. 分析 利用三角形正弦定理，将已知条件 利用余弦定理即可 求得 后再利用正弦定理求得 a， 解析 （ 1） a2+ ac= a2+2 ac 222 =2 B=45 (2)由 (1)得 B=45 C=180 80 =60 由正弦定理a= 4524262 = 13 c= 62223245s 点评 本题主要考查正、余弦定理的综合应用， 考查考生利用所学知识解决问题的能力 体操作过程的关键是正确分析边角的关系，能依据题设条件合理的设计解题程序，进行三角形中边角关系的互化，要抓住两个定理应用的信息；当遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理，若遇到的式子含角的正弦和边的一次式，则大多用正弦定理，若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用 . 14 A=120 ,b=3,c=5. (1)求 (2)求 分析 已知两边及 其夹角，由余弦定理可求出第三边 a,再由正弦定理求出 解析 （ 1） b=3,c=5,A=120 , 由余弦定理，得 a2=b2+9+255 （ =49. 取正值 a=7. 由正弦定理，得 a 4337233 , 5a 9645. (2)由（ 1）可得 34. 0
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