2013高中数学 同步导学案（1-3章打包23套） 北师大版必修5
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2013高中数学 同步导学案（1-3章打包23套） 北师大版必修5,高中数学,同步,导学案,打包,23,北师大,必修
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1 第 2 课时 基本不等式与最大（小）值 知能目标解读 高应用数学手段解决实际问题的意识与能力 . 重点难点点拨 重点：应用基本不等式进行不等式的证明与求最值 . 难点： 学习方法指导 的形式积的形式” ,还要注意“反向”不等式2222 而通过某种形式的迭加或迭乘使问题获解 . 式与不等式之间的转化、不等式与不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等等 到化归目的 . 知能自主梳理 常见的不等式： (a、 b R). ） 2222 (a、 b R). 0,则mb 答案 . 思路方法技巧 命题方向 不等式的证明技巧 字母轮换不等式的证法 例 1 已知 a、 b、 求证：a+b+c. 分析 由可要证的不等式两边是三项，而均值不等式只有两项，故可尝试多次使用均值不等式 .证明 a、 b、 2=2c(当且仅当 即 a=b 时，取等号 ); 2=2a(当且仅当 即 b=c 时，取等号 )； 2=2b(当且仅当 即 a=c 时，取等号 ). 2 上面 3个不等式相加得 22a+2b+2c(当且仅当 a=b=等号 ). a+b+c. 说明 定要注意是否满足条件，等号能否成立 . 以考虑分段应用均值不等式或其变形，然后整体相加（乘）得结论 . 变式应用 1 已知 a,b,证： a2+b2+c2ab+bc+ 解析 a2+b2+c2+ 以上三式相加得： 2(a2+b2+2 a2+b2+c2ab+bc+命题方向 利用均值不等式证明不等式 例 2 已知 a0,b0,c0,且 a+b+c=11 9. 解析 解法一： a0,b0,c0, 11 =c =3+=3+(+(+( 3+2+2+2 9. 即11 9（当且仅当 a=b=. 解法二： a0,b0,c0, 11 （ a+b+c） (11 ) =1+ 11 +(+(+( 3+2+2+2 9. 11 9（当且仅当 a=b=. 说明 含条件的不等式证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出均值不等式，在条件“ a+b+c=1”下， 1的代换一般有上面两种情况，切忌两次使用均值不等式，用传递性证明，有时等号不能同时取到 . 变式应用 2 3 已知 a、 b、 证 :a +b +c 3. 左边 111 . a,b, 2（当且仅当 a=b 时取“”）； 2（当且仅当 a=”）； 2（当且仅当 b=”） . 从而 (+(+( 6（当且仅当 a=b . 3 3. 即a +b +c 3. 探索延拓创新 命题方向 利用基本不等式求范围 例 3 当 x0 时，求 f(x)=122x 分析 此题从形式上看，不能使用算术平均值与几何平均值定理，但通过变形之后， f(x)=分母上可以使用基本不等式 . 解析 x0, f(x)= 122x x= x+2, 00的限制，仅有 x R，那么应如下求解 . 4 当 x0时，同上 .当 , 5 (- 2 xx 4， 当且仅当 即 2,x=101时，取等号 . f(x)=3+3+（ 1. f(x)有最大值 课堂巩固训练 一、选择题 1.若 ba0,则下列不等式中一定成立的是（ ） b 2a a D.ba2 答案 C 解析 ba0,显然有 b2 a,由均值不等式有2 故选 C. a 0， b 0，且 a+b=2,则（ ） 2 2 答案 C 解析 由 a+b=2,得 2 2=1,排除 A、 B； 又222 （2 2, a2+. 4米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（ ） 答案 A 解析 解法一：设隔墙的长度为 矩形的宽为 424 x=（ 12m, 6 矩形的面积为 S=（ 12x=2x=-2(2+18, 当 x=3时， 故选 A. 解法二： (接解法一 )S（ 12 x=2(6 x 2 226 18 当且仅当 6-x=x即 x=3时取“” . 二、填空题 4.若 x0，则 3 3x+ . 答案 9 解析 x0, 3+3x+3+2 =3+2 3 9. 当且仅当 x=1时，取等号 . 5.设 x,y R，且 x+y=3，则 2x+2 . 答案 4 2 解析 x+y=3, y=3 2x+2y=2x+23x+ 282 =4 2 , 当且仅当 2x=即 2x=2 2 , x=23,y=23时，等号成立 . 三、解答题 6.设 a 0， b 0， 2b =1,求 a 21 b 的最大值 . 解析 2b =1, 12b =23,a 21 b = 2 a21 2b 2 4 2322322 21 22 当 2b =1且 a=21 2b , 即 a=22,b=36时， a 21 b 的最大值为423. 课后强化作业 一、选择题 7 1.设 a 0,b 0，若 3 是 31的最小值为（ ） 案 B 解析 由已知，得 3a 3b=3, 3a+b=3, a+b 1. a0,b0,1=(1)(a+b)=2+ 2+ 4， 当且仅当 a=b=21时，等号成立 . 2.若 x 0,y 0,且 x+y 4,则下列不等式中恒成立的是（ ） 1 C. 2 1 答案 B 解析 取 x=1,y=2满足 x+y 4排除 A、 C、 . 具体比较如下： 02)在 x=则 a=（ ） 2 3 答案 C 解析 该题考查均值不等式求最值，注意“一正二定三相等”属基础题 . f(x)=x+21x(x2)= 1x+2 2 212 =4. 当 且仅当 12=1, x2, , ,即 a=3. 5.设 x0,y0,且 x+y)=1,则（ ） A.x+y 2( 2 +1） 2 +1 C.x+y ( 2 +1） 2 2( 2 +1） 答案 A 解析 x0,y0, xy=x+y+1（2 2, (x+y) 2-4(x+y)0， x+y 2+2 2 . 6.若 x R，则下列不等式成立的是（ ） ) 2x x0,y0,x,a,b,x,c,d, 的最小值是（ ） 答案 D 解析 因为 x,a,b， y 成等差数列，所以 a+b=x+x,c,d,y 成等比数列，所以 cd=以 =2 =22 =2 +2. 因为 x0,y0, 所以2 +2=4,当且仅当 x=号成立 . 二、填空题 9.(2011天津文， 12)已知 1,则 3a+9 . 答案 18 解析 本题考查利用均值不等式求最值的问题，解决此类问题的关键是根据条件灵活变形，构造定值 . 1 1,2. a 2b 4, a+2b 2 4（当且仅当 a=2b=2时取“ =”） 3a+9b=3a+32b 2 33 =2 3 2 43 =18. （当且仅当 a=2b=2时取 “ =”） y=x+3)-1(a0 且 a 1)的图像恒过定点 A，若点 mx+=0上，其中 ,则m1+ . 答案 8 解析 函数 y=x+3)-1(a0,a 1)的图像恒过点 A(1),则有 2m+,即 2m+n=, 10 m1+(m1+（ 2m+n） =4+ () 4+4=8,当且仅当 2m= a、 数 y=(2+(2的最小值为 . 答 案 21(2 解析 从函数解析式的特点看，本题可化为关于 通过配方求其最小值（留给读者完成） +(定值，则用变形不等式222 (22更简捷 . y=(2+(2 2 2 2= 22. 当且仅当 x=2，上式等号成立 . 当 x=2 22. 状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是 . 7m 答案 解析 设两直角边分别为 a,b，直角三角形的框架的周长为 l,则21, ,l=a+b+ 22 2 =4+2 2 m). 够用且浪费最少，应选择 . 三、解答题 a0,b0,c0,d0,求证：ac 4. 解析 ac = 2+2 4（当且仅当 a=b且 c=“”） . a、 x、 y， 满足 a+b=10，1,x+8，求 a, 解析 x+y=(x+y) 1=(x+y) ( =a+b+ a+b+2 ( )2， 等号在 时成立 ， 11 x+ ） 2=18， 又 a+b=10, 6. a,6=0的两根 ， a=2,b=8或 a=8,b=2. ab0,求 16的最小值 . 解析 ab0, . b( (2 )2=42a , 当且仅当 b,即 a=2 等号成立 . y= 16 64a 22264=16, 当且仅当 64a ,即 a=2 2 时，等号成立 . 故当 a=2 2 ,b= 2 时， 16有最小值 16. 16.(2012郑州模拟 )某渔业公司今年初用 98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用 12 万元 万元 0万元 . (1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ （ 2）问捕捞几年后的平均利润最大，最大
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