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2020_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6.2直线与平面垂直一同步练习含解析新人教A版必修第二册20210413139.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册同步练习含解析打包50套新人教A版必修第二册
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2020_2021学年新教材高中数学全一册同步练习含解析打包50套新人教a版必修第二册,文本
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课时素养评价 三十直线与平面垂直(一) (15分钟30分)1.已知m和n是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中,一定能推出m的是()a.,且mb.mn,且nc.mn,且nd.mn,且n【解析】选b.a中,由,且m,知m;b中,由n,知n垂直于平面内的任意直线,再由mn,知m也垂直于内的任意直线,所以m,b符合题意;c,d中,m或m或m与相交,不符合题意.2.若斜线段ab是它在平面内射影长的2倍,则ab与平面所成角的大小为()a.60b.45c.30d.90【解析】选a.斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形.如图所示,abo即是斜线段与平面所成的角.又ab=2bo,所以cos abo=,所以abo=60.3.若三条直线oa,ob,oc两两垂直,则直线oa垂直于()a.平面oabb.平面oacc.平面obcd.平面abc【解析】选c.因为oaob,oaoc,oboc=o,ob,oc平面obc,所以oa平面obc.4.如图所示,在正方体abcd -a1b1c1d1中,o是底面abcd的中心,m,n分别是棱dd1,d1c1的中点,则平面ab1c,平面acc1a1,平面ocn,平面a1c1d中,与直线om垂直的是.【解析】因为ac平面bdd1,所以acom,同理可证b1com,acb1c=c,所以om平面ab1c;同理,om平面a1c1d.答案:平面ab1c,平面a1c1d5.如图,在直三棱柱abc -a1b1c1中,abac,ab=aa1,ab1a1b=m.求证:a1b平面mac.【证明】因为在直三棱柱abc -a1b1c1中,abac,ab=aa1,a1bab1=m,所以a1bam,acaa1,因为abaa1=a,所以ac平面abb1a1,所以acab1,因为amac=a,所以a1b平面mac. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知直线m,n是异面直线,则过直线n且与直线m垂直的平面()a.有且只有一个b.至多一个c.有一个或无数个d.不存在【解析】选b.若异面直线m,n垂直,则符合要求的平面有一个,否则不存在.2.在正方体abcd -a1b1c1d1中,直线b1c1与平面ab1d1所成角的正弦值为()a.b.c.d.【解析】选c.如图,连接a1c交平面ab1d1于o,o为体对角线a1c的三等分点,直线b1c1与平面ab1d1所成角就是直线a1d1与平面ab1d1所成角,a1o平面ab1d1,因为b1c1a1d1,所以a1d1o即为直线b1c1与平面ab1d1所成角,设正方体的棱长为a,则a1c=a,a1o=a,sin a1d1o=.3.若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等,则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为()a.30b.45c.60d.90【解析】选b.正四棱锥s-abcd的侧棱和底面边长相等,作so底面abcd,垂足为o,所以sbo是该正四棱锥的侧棱和底面所成的角,设ab=a,则sb=a,ob=bd=,所以cos sbo=,所以sbo=45,所以该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为45.4.(2020南昌高一检测)如图,在正方形abcd中,e、f分别是bc、cd的中点,g是ef的中点,现在沿ae、af及ef把这个正方形折成一个空间图形,使b、c、d三点重合,重合后的点记为h,那么,在这个空间图形中必有()a.agefh所在平面b.ahefh 所在平面c.hfaef所在平面d.hgaef所在平面【解析】选b.根据折叠前、后ahhe,ahhf不变,所以ah平面efh,b正确;因为过a只有一条直线与平面efh垂直,所以a不正确;因为agef,efah,所以ef平面hag,所以平面hag平面aef,过h作直线垂直于平面aef,一定在平面hag内,所以c不正确;因为hg不垂直于ag,所以hg平面aef不正确,d不正确.【补偿训练】在四面体p-abc中,pa=pb=pc=ab=bc=ca,d,e,f分别为ab,bc,ca的中点,下列结论中不成立的是()a.bc平面pdfb.bc平面paec.df平面paed.ae平面apc【解析】选d.因为d,f分别为ab,ac的中点,所以dfbc,故bc平面pdf,故a项正确.又ab=ac,pb=pc,e为bc的中点,所以aebc,pebc,所以bc平面pae,又dfbc,所以df平面pae,故b、c项正确.由于ae与ap不垂直(否则,等腰三角形pae将有两个直角),故ae与平面apc不垂直.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.在正方体abcd -a1b1c1d1中,下列判断正确的是()a.a1c平面ab1d1b.a1c平面ab1c1dc.a1b平面ab1d1d.a1b平面ab1c1d【解析】选ad.在正方体abcd -a1b1c1d1中,a1c1b1d1,又cc1b1d1,且a1c1cc1=c1,所以b1d1平面a1c1c,则a1cb1d1,同理a1cab1,则a1c平面ab1d1,故a正确,b不正确;因为a1bab1,a1bad,所以a1b平面ab1c1d,所以d正确,c不正确.6.如图,在下列四个正方体中,a,b为正方体的两个顶点,m,n,q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线ab与平面mnq垂直的是()【解析】选abc.对于a,ab为体对角线,mn,mq,nq分别为棱的中点,由中位线定理可得它们平行于面对角线,连接另一条面对角线,可得ab垂直于mn,mq,nq,可得ab垂直于平面mnq;对于b,ab为上底面的对角线,显然ab垂直于mn,与ab相对的下底面的面对角线平行,且与直线nq垂直,可得ab垂直于平面mnq;对于c,ab为前面的面对角线,显然ab垂直于mn,qn在下底面且与棱平行,此棱垂直于ab所在的面,即有ab垂直于qn,可得ab垂直于平面mnq;对于d,ab为上底面的对角线,mn平行于前面的一条对角线,此对角线与ab所成角为60,则ab不垂直于平面mnq.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图所示,在正方体abcd -a1b1c1d1中,直线a1b与直线ac所成角的大小为;直线a1b和平面a1b1cd所成角的大小为.【解析】连接a1c1,bc1,ba1c1为等边三角形,所以直线a1b与直线ac所成角的大小为,因为四边形bcc1b1是正方形,所以bc1b1c,又dc平面bcc1b1,所以bc1cd,又因为cdb1c=c,所以bc1平面a1b1cd.设bc1交b1c于o,则oa1b为直线a1b和平面a1b1cd所成的角,在rtoa1b中,sin oa1b=,所以直线a1b和平面a1b1cd所成角的大小为.答案:8.等腰直角三角形abc的斜边ab在平面内,若ac与所成的角为30,则斜边上的中线cm与所成的角为.【解析】如图,设c在平面内的射影为点o,连接ao,mo,则cao=30,cmo就是cm与所成的角.设ac=bc=1,则ab=,所以cm=,co=,所以sin cmo=,所以cmo=45.答案:45四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,abcd是圆柱的一个轴截面,点e是上底面圆周上的一点,已知ab=bc=5,ae=3.(1)求证:de平面abe.(2)求直线be与平面ade所成角的正切值.【解析】(1)abcd是圆柱的一个轴截面,ab平面ade,因为ed平面ade,所以abed,又e在底面圆上,ad为直径,所以aede,又aeab=a,所以de平面abe.(2)因为ab平面ade,所以aeb为直线be与平面ade所成角,在rtabe中,ab=5,ae=3,所以tan aeb=.10.如图,正三棱柱abc -a1b1c1中,底面边长为2,点d,e分别是bc,ab1的中点.(1)求证:de平面acc1a1;(2)若bb1=1,求证:c1d平面ade.【证明】(1)连接a1b,a1c,因为侧面abb1a1是矩形,点e是ab1的中点,所以点e是a1b的中点,又因为点d是bc的中点,所以dea1c,因为de平面acc1a1,a1c平面acc1a1,所以de平面acc1a1.(2)连接b1d,在正三棱柱abc -a1b1c1中,因为bb1平面abc,ad平面abc,所以 bb1ad,又因为底面abc是等边三角形,d为bc的中点,所以bcad,又bcbb1=b,所以ad平面b1bcc1,又c1d平面b1bcc1,所以adc1d,由bc=2,得bd=1,又bb1=cc1=1,所以db1=c1d=,所以d+c1d2=b1,所以c1ddb1,db1ad=d,所以c1d平面adb1,即c1d平面ade.【补偿训练】已知四棱柱abcd -a1b1c1d1中,aa1底面abcd,且底面abcd为菱形,f为bb1的中点,m为线段ac1的中点.求证:mf平面a1acc1.【证明】取ac的中点o,连接mo,因为m,o分别为ac1,ac的中点,所以mocc1.又f为bb1的中点,所以bfcc1,所以mobf,所以四边形mobf为平行四边形,所以mfbo,因为f为bb1的中点,易得af=c1f,又m为ac1的中点,所以mfac1.又四边形abcd为菱形,所以boac.又mfbo,所以mfac.又ac1ac=a,所以mf平面a1acc1. 1.如图所示,pa平面abc,abc中,bcac,pba=1,pbc=2,abc=3.则下列关系一定成立的是()a.cos 1cos 2=cos 3b.cos 1cos 3=cos 2c.sin 1sin 2=sin 3d.sin 1sin 3=sin 2【解析】选b.bc平面pac bcpc,所以cos 1=,cos 2=,cos 3=.则有cos 1cos 3=cos 2.2.如图,正方体abcd -a1b1c1d1中,e为棱c1d1的中点,f为棱bc的中点.(1)求证:直线ae直线a1d;(2)在线段a
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