2022-2023学年河北省保定市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2022-2023学年河北省保定市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.设f'(x)在点x0的某邻域内存在，且f(x0)为f(x)的极大值，则等于()．A.A.2B.1C.0D.-2

2.设函数y=(2+x)3，则y'=

A.(2+x)2

B.3(2+x)2

C.(2+x)4

D.3(2+x)4

3.设f(x)在x=2处可导，且f'(2)=2，则等于()．A.A.1/2B.1C.2D.4

4.A.0B.2C.2f(-1)D.2f(1)

5.设y=5x，则y'=A.A.5xln5

B.5x/ln5

C.x5x-1

D.5xlnx

6.

7.极限等于()．A.A.e1/2B.eC.e2D.1

8.

9.

10.微分方程y"-y=ex的一个特解应具有的形式为(下列各式中α、b为常数)。A.aex

B.axex

C.aex+bx

D.axex+bx

11.方程y"+3y'=x2的待定特解y*应取()．A.A.AxB.Ax2+Bx+CC.Ax2D.x(Ax2+Bx+C)12.设y=sinx，则y'|x=0等于()．A.1B.0C.-1D.-2

13.

14.方程z=x2+y2表示的二次曲面是()．

A.球面

B.柱面

C.圆锥面

D.抛物面

15.A.A.1B.2C.3D.416.

17.若∫f(x)dx=F(x)+C，则∫f(2x)dx等于()．A.A.2F(2x)+CB.F(2x)+CC.F(x)+CD.F(2x)/2+C18.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，则在(0，1)内曲线y=f(x)的所有切线中()．A.A.至少有一条平行于x轴B.至少有一条平行于y轴C.没有一条平行于x轴D.可能有一条平行于y轴19.A.A.

B.

C.

D.

20.

二、填空题(20题)21.22.设f(x)=esinx，则=________。

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.函数f(x)=在[1，2]上符合拉格朗日中值定理的ξ=________。30.31.32.过原点（0，0，0）且垂直于向量（1，1，1）的平面方程为________。

33.

34.

35.设，则y'=________。36.

37.

38.

39.

40.

三、计算题(20题)41.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

42.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

43.求曲线在点(1，3)处的切线方程．44.求微分方程的通解．

45.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．47.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．48.

49.

50.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．51.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

52.53.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．54.

55.证明：56.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

57.

58.

59.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则60.四、解答题(10题)61.

62.

63.

64.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

65.设y=x2=lnx，求dy。

66.设y=x+arctanx，求y'．67.

68.

69.70.五、高等数学(0题)71.∫(2xex+1)dx=___________。

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.C本题考查的知识点为极值的必要条件；在一点导数的定义．

由于f(x0)为f(x)的极大值，且f'(x0)存在，由极值的必要条件可知f'(x0)=0．从而

可知应选C．

2.B本题考查了复合函数求导的知识点。因为y=(2+x)3，所以y'=3(2+x)2·(2+x)'=3(2+x)2.

3.B本题考查的知识点为导数在一点处的定义．

可知应选B．

4.C本题考查了定积分的性质的知识点。

5.A由导数公式可知(5x)'=5xln5，故选A。

6.D解析：

7.C本题考查的知识点为重要极限公式．

由于，可知应选C．

8.C

9.B解析：

10.B方程y"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根为r1=1，r2=-1。

方程y"-y=ex中自由项f1(x)=ex，α=1是特征单根，故应设定y*=αxex，因此选B。

11.D本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特解y*的取法．

由于相应齐次方程为y"+3y'0，

其特征方程为r2+3r=0，

特征根为r1=0，r2=-3，

自由项f(x)=x2，相应于Pn(x)eαx中α=0为单特征根，因此应设

故应选D．

12.A由于

可知应选A．

13.A

14.D对照标准二次曲面的方程可知z=x2+y2表示的二次曲面是抛物面，故选D．

15.A

16.D

17.D本题考查的知识点为不定积分的第一换元积分法(凑微分法)．

由题设知∫f(x)dx=F(x)+C，因此

可知应选D．

18.A本题考查的知识点有两个：罗尔中值定理；导数的几何意义．

由题设条件可知f(x)在[0，1]上满足罗尔中值定理，因此至少存在一点ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=0．这表明曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线必定平行于x轴，可知A正确，C不正确．

如果曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线平行于y轴，其中ξ∈(0，1)，这条切线的斜率为∞，这表明f'(ξ)=∞为无穷大，此时说明f(x)在点x=ξ不可导．因此可知B，D都不正确．

本题对照几何图形易于找出解答，只需依题设条件，画出一条曲线，则可以知道应该选A．

有些考生选B，D，这是由于不明确导数的几何意义而导致的错误．

19.D本题考查的知识点为偏导数的计算．是关于y的幂函数，因此故应选D．

20.B21.F(sinx)+C22.由f(x)=esinx，则f"(x)=cosxesinx。再根据导数定义有=cosπesinπ=-1。

23.

24.

本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

25.-3e-3x-3e-3x

解析：26.3x2

27.

28.＞

29.由拉格朗日中值定理有=f"(ξ)，解得ξ2=2，ξ=其中。

30.

本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系．

由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为(2，1，－1)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为

31.32.x+y+z=0

33.(2x-y)dx+(2y-x)dy(2x-y)dx+(2y-x)dy解析：

34.

35.

36.

本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．

所给级数为缺项情形，

37.

38.-ln｜3-x｜+C

39.2

40.

41.

42.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

43.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

44.

45.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

46.

47.

列表：

说明

48.

49.50.函数的定义域为

注意

51.

52.

53.54.由一阶线性微分方程通解公式有

55.

56.由二重积分物理意义知

57.

58.

则

59.由等价无穷小量的定义可知

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.67.本题考查的知识点为两个：定积分表示－个确定的数值；计算定积分．