数学高考考前串讲

需考知镇点，重点，热点，易错点，关键点

考前提醒的85个问题

I.知诙点，重点和扬错点提醒

1.对于集合A,B,当403=0时，你是否注意到一个极端情况：A=0或

6=0?求集合的子集时，是否忘记了0?当研究Aq8的时候，你是否考虑到

A=0的情形?当AU8=A时，你是否注意到8=0的情形？

【例1】已知A=｛x,+(p+2)x+1=O,xeR｝,AClR1=0,求p的

取值范围.

【分析】AniT=0,容易理解为方程x2+(p+2)x+l=0的两根为非正,

而忽视了A=0的可能，此题应分为A=0,A为单元素集合,A含有两个非正元

素三种情况讨论.(答案：pe(-4,+oo).

【例2】已知全集八艮8=卜,2+33+1口+/_1=()｝,A=｛_6,0｝,

若AU6=A，求实数a的值.

【分析】满足AU8=A,有三种可能，⑴B=｛-6,0｝,(2)集合B只有一个元

素，即8=｛-6｝或3=｛0｝,(3)8=0.(答案：,],—1U｛1｝).

2.对于含有个元素的有限集合何，其子集，真子集，非空子集，非

空真子集的个数依次为2",2"—1,2"-1,2"-2.

【例】(2006年,全国卷I,理』2)

设集合/=｛1,2,3,4,5｝。选择I的两个非空子集4和B,要使8中最小的数

大于月中最大的数，则不同的选择方法共有

(A)50种(B)49种(C)48种(D)47种

【分析及解】这是一个计数问题，.从条件(2)中的7中最小的数”入手，显然

有四种情形：

①B中最小的数为2.此时A仅有1种选法，即｛1｝的非空子集数，而B可以有8

种选法，即｛3,4,5｝的所有子集数，有1x8=8种选法.

②8中最小的数为3,此时A有3种选法，即｛1,2｝的非空子集数，而8有4种选

法，即｛4,5｝的所有子集数，有3x4=12种选法.

③B中最小的数为4,此时A有7种选法，即｛1,2,3｝的非空子集数，而B有2

种选法，即｛5｝的所有子集数，有7x2=14种选法

④B中最小的数为5,此时A有15种选法，即｛1,2,3,4｝的非空子集数，而3仅

有1种选法，即5在8中.有15x1=15种选法

由以上，不同的选择方法共有8+12+14+15=49种.

3.充要条件的概念要掌握好，特别是会用集合的子集的方法判断充要条件.

A是8的充分条件(或8是A的必要条件)即AnBoAqB

4.要区分逻辑联结词的不同用法，了解四种命题的相互关系，知覆什么时候用

反证法.

5.映射的概念你理解吗?是否注意到了在f:AfB中,A中元素的任意性和

B中元素的唯一性？

6.记住函数的几个重要性质：

(1)关于对称性.

函数图象的对称轴和对称中心举例

函数满足的条件对称轴(中心)

满足/(〃+1)=f{a-x)的函数y=/(x)的图象X-a

[或/(x)=f(2a-x),/(-x)=f(2a+x)]

满足/(4+工)=_/(。_工)的函数)，=/(X)的图象(a,0)

[或/(x)=-/(2tz-x),/(-X)=-f(2a+x)]

满足/(a+x)=—1)的函数y=/(1)的图象a+h

x=----

2

满足/(4+x)=-/伍一工)的函数y=/(x)的图象o

满足/(x)=/(-X)的函数y=/(x)的图象(偶函数)x=0

满足/(x)=-f(-x)的函数y=f(x)的图象(奇函(0,0)

数)

满足y=/(a+x)与y=/(/?一元)的两个函数的图象b-a

x=----

2

满足),=/(x)与y=/(-工)的两个函数的图象x=0

满足y=/⑴与y的两个函数的图象y=0

(2)关于奇偶性与单调性的关系.

①如果奇函数y=/(x)在区间(0,+8)上是递增的，那么函数y=在

区间(-8,0)上也是递增的；

②如果偶函数y=/(x)在区间(0,+8)上是递增的，那么函数y=/(x)在

区间(—8,0)上是递减的；

(3)关于单调性.

①证明函数的单调性的方法为定义法和导数法.

②关于复合函数的单调性.

如果函数尸=/(w),w=g(x)在区间£)上定义,

若)'=/(〃)为增函数，〃=g(x)为增函数，则y=/[g(x)]为增函数；

若)=/(〃)为增函数，〃=8(》)为减函数,则丁=/[g(x)]为减函数；

若》=/(〃)为减函数，〃=g(x)为减函数，则y=/[g(x)]为增函数;

若)'=/(")为减函数，〃=g(x)为增函数，则y=/[g(x)]为减函数;

③关于分段函数的单调性.

若函数=＜，,”?'”竺8⑺在区间上是增函数，在区

h[x),xe[c,d\

间[c,d]上是增函数，则/(%)在区间[a,句U[c,d]上不一定是增函数,若使得

/(x)在区间[a,b]\J[c,d]上一定是增函数濡补充条件:g(b)＜h(c).

(3a—l)x+4a,x＜1

【例】(2006年北京卷)已知/(x)={是(-00,+8)上

logux,x＞l

的减函数，那么a的取值范围是().

(A)(0,1)(B)(0,；)(C)(D)y,l]

【分析及解】本题从表面上看并不困难，

若/(x)=(3a-l)x+4a为减函数，则3。一1＜0=＞。＜；,

若/@)=108”了为减函数,则()＜。＜1,于是,〃的取值范围是(0,；).选B.

但是，这个结果是错误的，对(B)是误选.为什么呢？解题时，忽略了分段函数的

问题.

因为是分段函数，又要求在(-a),+oo)上是减函数，就必须满足

(3a—l)xl+4a2/(l)=0,即aN；,于是故选(C).

(4)关于图象变换.

向左移a(a>0)个单位y=/(其的图象一y=/(x+〃)的图象

平

移向右移4(4〉0)个单位丁二/〃)的图象一y=/(次一。)的图象

变向上移》伍〉01个单位y=的图象一y=/&)+/7的图象

换

向下移个单位尸/⑺的图象一y=/(公一人的图象

按向量彳=仇&)平移y=/(1)的图象-y-/(x-/z)+Z的图象

伸

y=/(x)的图象-y=力'(1)的图象

缩每点纵标伸a(a>0)倍

变

换y=/(x)的图象一y=的图象

每点横标伸〃(。>0)倍

绝

对

值关于y轴对称y=/(x)的图象-y=/卜|)的图象

变将1轴下方图象翻上

换y=/(x)的图象一y=\f(x)的图象

(5)关于周期性.

函数的对称性与周期性的关系

函数关系(xeR)周期

/(x+T)=/(x)T

/(x+T)=-/(x)2T

2T

4+7)=±助

/(x+7j=/(x-T)2T

〃x+T)=-/(x-T)AT

f(a+x)=f(a-x)2(b-a)

V

f(b+x)=f(b-x)

'f[a+x)=f[a-x)2a

*

./(x)为偶函数

f(a+x)=-f(a-x)20-〃)

«

f(b+x)=-f(b-x)

'f(a+x)^-f(a-x)2a

V

/(x)为奇函数

/(a+x)=/(a-x)40-〃)

V

/仅+x)=-/(b-x)

f(a+x)=f(a-x)4a

*

/(x)为奇函数

f(a+x)=-f(a-x)4a

./(x)为偶函数

【例1】(2006年安徽卷，理)

函数/(x)对于任意实数x满足条件/(x+2)=/亍,

若/(1)=-5,则

/(/(5))=---------

由小+小看得小+4)=

【分析及解】=/(x)，所以

/(5)=/(1)=-5，则f(/(5))=/(-5)=/(—1)=:g.

【例2】(1996年全国卷)

设/(X)是(一00,+8)上的奇函数，y(x+2)=-/(x),当OWxWl

吐/(x)=x，则/(7.5)等于().

(A)().5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.5

【分析及解】因为/(X)是(一8,+8)上的奇函数，且/(x+2)=-/(x),

则/(x+2)=/(-x),

于是，/(%)关于原点成中心对称，关于x=l成轴对称，因此，/(%)是以4

为周期的周期函数.

由04xW1时,〃x)=x，及/(%)是以4为周期的周期函数，则

f(7.5)=/(7.5-8)=/(-0.5)=-/(0.5)=-0.5.

故选(B).

关于/(X)是以4为周期的周期函数.还可作如下证明：

/(x+2)=-/(x)=＞/(x+4)=-/(%+2)=/(x).

(6)关于奇偶性.

①判断函数的奇偶性，要注意定义域是否关于原点对称.

②若奇函数y=/(x)在x=0处有定义，则"0)=0；

③任何一个定义域关于原点对称的函数F(x),总可以表示为一个奇函数

〃x)和一个偶函数g(x)的和，其中

/(x)=&x)\F(—),g(x)=F(x)；F(T),

(7)关于反函数.

①你掌握求反函数的步骤了吗?(求y=/(x)的值域-反求x-＞互换

x,y—＞注明定义域)

②反函数存在的充分条件是:y与x——对应或y=/(x)在区间D上单调;

③若函数y=/(x)在区间。上单调递增，则其反函数也在区间。上单调递增

④关于反函数的一个结论:/[/-'(a)]=。,广[/(.)]="或者

=f(b)=a.

⑤求一个函数的反函数时，要先求反函数,后求值.(例如求/T(X+1),顺序是

先求尸(x),再代入x+1得/-'(x+1)).

7.求方程或不等式的解集,或者求定义域，值域时,要按要求写成集合的形式.

8.求函数的解析式，特别是解应用题的函数式，以及求反函数时,一定要注明定

义域.在解题时，定义域至关重要.

【例】已知函数/0)=3尸'"(04x44,机为常数)的图象过点(1,的

反函数为广(x),则F(X)=[/T(X)]一尸(小)的值域为().

A.[2,5]B.[1,5]C.[1,10]D.[2,10]

[分析及解】由已知可得|=3,解得机=2,/(x)=3=2,

于是，反函数为尸(»=1083%+2.,

设k>g3X=f,则/(x)=g(f)=(r+2)2—2f—2=产+2/+2.

许多同学是这样继续求解的.

因为04x44,所以,/(x)的值域是/(x)e1,9，从而/'x)的定义域是

xe-,9，即尸(x)=[/T(x)了一广Ir)的定义域为xe1,9.

_9_9

于是,2,2],

对F(x)=g«)=产+2f+2,

当t=-1时有Fmin(X)=gmin⑺=g(—D=1，

当f=2时有％、。)=82。)=8出=10，

因此尸(x)=[尸")了—尸(公)的值域为[1,10],而选C.

这个解法有没有问题？

解答错了，细节出在尸(x)=-f-'(x2)的定义域.

事实上，由/T(x)的定义域是XC-,9，求尸(x)的定义域时，应为

9

-<x<9,

9I1r1

<=>-<x<3,从而te[-2』，

-<X2<9.9

19

所以，当"1时有Fnm（X）=gmax（O=g（D=5,

因此，/5）=[/7（》）]一/7（》2）的值域为[1,5],而选区

9.“方程ax2+bx+c=0有实数解”转化为“△=。2_4acN0"，你是否注意到

“4/0”(除解决二次方程的有关问题时要注意之外，在解决直线与圆锥曲线的位

置关系时，也常常遇到)，在题目中没有指出是“二次”函数，方程，不等式时，就

要分类讨论a=0,aw0的不同情况，不要忽略a=0的讨论.

【例】(2005年，重庆卷)

丫2

已知椭圆G的方程为一+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别为G的左、

4

右顶点，而。2的左、右顶点分别是G的左、右焦点.

(I)求双曲线。2的方程；

(II)若直线l:y=kx+O与椭圆C,及双曲线C2都恒有两个不同的交点，

且/与G的两个交点A和8满足51而<6(其中。为原点)，求k的取值范

围.

【分析及解】(I)C2的方程为、一)，2=1.

2

(11)将^=丘+/代入二+〉2=1得

4

(1+4%2)N2+^y[2kx+4=0.

由直线/与椭圆G恒有两个不同的交点得

△、=(80)242-16(1+422)=16(4>-1)>0,

即k->~.①

4

2

将y=匕+&代入y-y2=1得(1—3k2)x2-6亚kx-9=0.

由直线/与双曲线C2恒有两个不同的交点4,B得

'1-3/70,

*

A2=(-6技)2+36(1-3M)=36(1-/)>0

即上2W士且上2<1②

3

6叵k-9

阳(XQ贝MK

由。AOB<6得X.XB+yAyB<6,而

//+力力="8+(牝+扬也+扬

=(k?+y)xAxB+-42k(xA4-)+2

j2-9rr.6>j2k

=(k+1)------+J2攵-------+2

1—342i-3k2

3/+7

-3k2-l'

3打2+715k2-13

于是岂『<6,即>0.

3k23k2

171

解此不等式得上2>12或女2<_L.③

153

1114

由①、②、③得一<左2〈一或一<%2Vl.

4315

故次的取值范围为（-13）U（-苧，-；）吗,苧）U滞,1）

10.要知道函数/（X）=ax+2（a〉0,%〉0）的有关性质:

①定义域：（―8,0）U（0,+oo）

②奇偶性：奇函数：

口,+8］上单调递增,一、口,o］和

③单调性：在区间—00,—和

a)

上单调递减;

④在定义域内的极值是x=时有极大值,

2时有极小值。在指定的定义域内的极值或最值要

x=

a

根据单调性或图象来判断。

A

⑤记住〃x）=ax+2（a〉0/>0）的图象的草图。

⑥要能够类比得出/（x）=渥+刍J（x）=ax"+

的有关性

质.

11.是否掌握了指数函数和对数函数的性质和图象?在解指数函数和对数函数

的有关问题时要注意“底”的要求：在解对数函数的有关问题时，要

注意定义域.

12.要记住对数恒等式：/%'=N和换底公式：log06=色曳2,特别是

log,a

log“b=log-=log„b".

logf7(.ba

13.记住弧度制下的弧长公式和扇形面积公式：/=|a»,S=g/r.

14.应用三角函数线可以得到：xef0,—时,sinx<x<tanx.

\2J

15.三角函数（y=sinx,y=cosx,y=tanx）的图象能迅速画出吗?对于它们

的性质（定义域，值域，单调性,奇偶性，最值，对称性，周期性等）是否熟练掌握和运用？

16.要会用五点法画y=Asin（<yx+（p）,y-Acos（ox+cp）的图象，并掌握

y-Asin（iyx+e）,y=Acos（tyx+e）的性质：

①定义域，值域，单调性,奇偶性，最值.（在求单调区间时，要注意函数

y=sinf-2x+yj的求法）

③对称性：y=4sin（@x+e）的对称轴必过最值点，即有

k"----(p

(ox-\-(p=k7r+—^keZ),对称轴为x=---------(keZ)

y=Asin（（wx+9）的对称中心必过零点，即<®x+°=k乃仅eZ）对称中心

任eZ)

④会根据图象求参数4,④°的值.

17.掌握常用的三角函数的图象变换.（振幅变换，周期变换相位变换）

18.掌握诱导公式，同角三角函数公式，和，差，倍角，降塞公式及它们的各种变形,

tana+tan+tanatan/?tan(a+/?)=tan(a+/?),

兀

A+BwZ)=(l+tana)(l+tan£)

19.在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性r吗？例

]1+sinY

如已知sinacos4=—,求1=sin/?cosa的变化范围.又如，求函数y=——------

21-sinx

的值域等.

20.t己住asinx+Lcosx=Ja？+b?sinx(+夕）的变形，特别是当a-b-i

时,y=sinx+cosx-V2sinx+?,在x的不同取值时,y的不同取值范围:

（0,3时,昨（1，何7T

①当xe②当xe0,-时,ye[1,到

2

③当xw（0,4）时，ye（—1,0],④当xe[0,2;r)时，ye[—a,亚].

21.在三角恒等变形中,要学会

①角的变换：例如：

尸=(a+£)_a,2a_/?=(&_/?)+&,2a=(«+/?)+(&_£),

a+/?

2

②名的变换：例如：切割化弦.

③次的变换：例如：升，降幕公式.

22.在三角变形时，要学会1的活用.例如：

1=sinx+cosx=tanx-secx=cotx-cscx=tanx-cotx

1=sin—=tan—=cos0=cos2x+2sin2x等.

24

23.掌握正弦定理和余弦定理的变形与应用,学会化边为角，化角为边.掌握解

三角形的有关公式：

设A48C,角A,8,C的对边为a,b,c,外接圆半径为R,内切圆半径为r,

面积为5，则

①角的关系:A+B+C=71；

②边的关系:a+b>c,b+c>a,c+a>b;

③边角关系:正弦定理a=2RsinA等,余弦定理a2=b2+c2-2bccosA

等.

④三角形的形状：

AABC(设a<b<c)为锐角三角形=/+/＞。2；

\ABC(设a<b<c)为直角三角形=/+/=，2；

MBC(设a<8<c)为钝角三角形=Y+从＜。2；

2222

BC边中线加“满足：a+（2ma）=2b+2c；

RFAQ

N4的平分线满足：——=——；

ECAC

⑤面积：S='a/i=-aZ?sinC-^--—（a+b+c]r.

2a24R2、）

24.注意有关角的范围，并会用反三角函数表示：

平面向量的夹角(owes")，

直线的倾斜角(04。</)，

异面直线所成的角(0<8

直线与平面所成的角(owe4,

二面角的平面角(owe〈方).

25.不等式的主要证明方法有：比较法，分析法，综合法，放缩法，数学归

纳法，反证法等.

26.利用均值不等式求最值时，要注意不等式成立的条件和等号成立的条件

(各项为正，和或积为定值，等号成立).

27.解分式不等式如4?>a时,应注意，在不知分母的正负时,不能去分母而

g")

应移项通分.

解含有绝对值符号的不等式，要注意区别以下不同情况：

①(x)|>g(x)o/(x)>g(x)>。或g(x)<0;

/(x)|<g(x)O~g(x)<f(x)<g(x)

②|/(x)|<|g(x)|o[/(x)丁<[g(x)了;

③|/(x)|+|g(x)|<Mx),用零点分段法，分类讨论求解.

28.解含参数的不等式问题要注意:“定义域为前提，函数单调性为基础，分类

讨论是关键，整合结果做答案”，特别是，解二次项系数含参数的一元二次不等式

时，不要忘记对二次项系数的讨论.如含有参数a的不等式

(a-2)x2+2(a-2)x-4<0的解为全体实数，求a的取值范围，不要忘记a=2

的情形.

29.会用不等式同-区卜±M+例证明和解决一些简单问题吗？

30.关于不等式成立问题有哪些类型？

①恒成立问题

若不等式/(x)>A在区间D上恒成立,则等价于函数/(x)在区间D上的最

小值(或下确界)大于A,

若不等式/(x)<8在区间O上恒成立,则等价于函数/(x)在区间D上的最

大值(或上确界)小于B.

【例1】(2005年,湖北卷，理，文)已知向量a=(》2,x+l)3=(1-x,f),若函数

/(x)=d石在区间(一1,1)上是增函数，求，的取值范围.

【分析及解】依定义/(X)=x2(l-x)+/(x+l)=-x3+x2+tx+t,

^f'(x)=-3x2+2x+t.

/(x)在区间(-1,1)上是增函数等价于/'(x)>0在区间(-1,1)上恒成立；

而/'(x)>0在区间(-1,1)上恒成立又等价于Z>3x2-2x在区间(-1,1)上恒

成立；

设g(x)=3x2-2x,x&(-1,1)

进而t〉g(x)在区间(一1,1)上恒成立等价于t>gmax(x),XG(-1,1)

考虑到g(x)=3/一2x”(―1,1)在(—1,；)上是减函数，在，,1)上是增函

数，则gmax(x)=g(—1)=5・

于是,，的取值范围.是f25.

②能成立问题

若在区间D上存在实数X使不等式/(x)>A成立，即/(X)〉A在区间£>上

能成立,，则等价于函数/(x)在区间D上的最大值(或上确界)大于A,

若在区间D上存在实数X使不等式/(x)<B成立，即/(x)<8在区间。上

能成立,，则等价于函数/(x)在区间。上的最小值(或下确界)小于B.

1,

【例2】(2005年，湖南卷，理)已知函数/(x)=lnx,g(x)=Qax~+2x,a力0

若MH=f(x)~g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

【分析及解】//(x)=In.X--ax2-lx,a0.

2

„„,.1cax'+2x-l

贝ijh(x)=——ax-2=-----------------.

XX

因为函数/7(X)存在单调递减区间，所以“(X)<0有解.

由题设可知,〃(x)的定义域是(0,+8),

因此,“(X)<0有解等价于“(X)<0在区间(0,+8)能成立，

1n

即5------,XG(0,+oO)成立，进而等价于a>“min(X)成立，其中

XX

X"X

由M(x)——;------=(-----1]—1得,“min(x)=-1,于是,。>一1,

XXJ

由题设a/0,所以a的取值范围是(一1,O)U(0,+oo).

③恰成立问题

不等式/(x)>A在区间D上恰成立,,等价于不等式/(x)>A的解集为D,

不等式在区间。上恰成立，等价于不等式/(x)<8的解集为。.

【例3】(2000年，上海卷)

(I)已知对任意工€[1,+00),/(620恒成立,试求实

X

数a的取值范围;

(n)已知/(x)=厂+2x+",当xe[i,+oo),/(x)的值域是[0,+00),试求实

x

数a的值.

【分析及解】本题的第(I)问是一个恒成立问题，

/(x)=.+2"。>o对任意x€[1,+0。)恒成立

X

等价于e(x)=r+2x+aN0对任意xe限+8)恒成立，又等价于x>1

时，8(x)的最小值20成立.

由于9(x)=(x+1)2+a-1在[l,+oo)上为增函数，

则分)1小(%)=9(1)=4+3，所以a+3NO,a>-3.

第(H问是一个恰成立问题，

这相当于/(X)=.歹乌>0的解集是X6[1,+00).

X

当〃之0时，由于％之1时,

/(x)=X+2x+a=x+g+2N3，与其值域是[。,+8)矛盾，

XX

当a<()时，/(x)=x-+2x+。=%+g+2是1,+oo)上的增函数，

XX

所以,/(x)的最小值为了⑴，令/⑴=0,即1+a+2=0,a=—3.

④部分成立问题.

【例4】(2003年全国卷，理)已知c〉0,

设P：函数y=c*在R上单调递减；

Q:x+|x—2c|>l的解集为R.

如果产和。有且仅有一个正确，求c的取值范围.

【分析及解】函数y=c，在R上单调递减o0<c<l,

•rx+|尤-2c"2%2c'x-2c,...(犬+卜_2硝=2c.

11[2C,X<2C.'1%

x+|x-2c|>1的解集为R<=>x+|x-2c|>1在R上恒成立

=(x+,-2c[)[n>1<=>2c>1<=>c>

如果「正确，且Q不正确，则0<cwL-------------

如果。正确，且P不正确，则C21.-----5口---------->.

由以上，C的取值范围是(o,gU[l,+oo).

31.等差数列｛q,｝的性质你熟悉吗？

①a„=a,„+（n-m）d;

②若加+〃=p+q，则有am+an=ap+aq;

③S“,S2n-Sn,S3,-S2n，…仍然是等差数列；

④S2“T=（2〃T）a.

a>0,

⑤若4>0,d<0,即首项为正数的递减等差数列，则《n〃八时,S〃有最大

1«„+1W0.

6Z<0,

值，若《v0,d〉0,即首项为负数的递增等差数列，则《"八时,S”有最小值；

［%+1N8

⑥若《〉0,d<0,即首项为正数的递减等差数列，且S,“=S”（加工〃），则

当团+〃为偶数时，S*“最大，当机+〃为奇数时，S,“+“±1最大；

~2

⑦点列［〃,一在直线y=5工+6（］—万■上；

⑧｛4｝为等差数列oS“=即2+加（凡6是常数），公差d=2a.

32.等比数列｛七｝的性质你熟悉吗？

①为=q/""'；

②若m+n=p+q，则有am-an=ap-aq

③当qH-1时,S“,S2n-Sn,5,„-S2n，…仍然是等比数列；

33.如何证明一个数列是等差数列或等比数列？

要注意用定义证明，即证明等差数列时，要证明%+1-4=d（常数），证明等比

数列时，要证明qw0且也=q（常数）；

为

34.求等比数列的前〃项和时要注意什么？

q（1

要注意分类讨论：当q=1时,S“=;当qH1时,5“=』一二2;

i-q

35.数列求和有哪些常用的方法？

①直接求和法：对于已知的等差数列或等比数列，直接用求和公式求和；

②转化求和法：如果能把已知的数列转化为等差数列或等比数列，就用等差

数列或等比数列的求和公式求和；

③裂项相消法（逐差法）若《能裂为％,则有

S,,=%+4+•••+%=（外一4）+（4-仇）+…+他用一。,）=%+|一仇

④错位相减法：适用于数列｛%｝的求和，其中c„=a„hn,｛%｝为等差数列，

他,｝为等比数列.

36.给出S„与〃的关系式或5“与a”的关系式，经常用到an=S,,-S3,注意

到〃=1时，6=51了吗?注意到〃》2的情形了吗？

37.（文科不要求）用数学归纳法证明问题的过程中，注意把归纳假设作为已知

条件使用了吗？

38.解排列组合问题的依据，原则，关键

①解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合；

②解排列组合问题的原则是：三先三后，先分类后分步;先特殊后一般，先组

合后排列；

③解排列组合问题的关键是注意分类讨论.

【例1】（2006年，湖北卷，理）

安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最

后一个出场，不同排法的总数是.（用数字作答）

【分析及解】分两种情况：（1）不最后一个出场的歌手第一个出场，有4种

排法（2）不最后一个出场的歌手不第一个出场，有种排法，故共有78种

不同排法

【例2】（2005年，福建卷，理）

从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个

城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，

则不同的选择方案共有（）

（A）300种（B）240种（C）144种（D）96种

【分析及解】本题的关键问题是甲、乙两人不去巴黎游览这一要求，因此，就要

针对甲，乙是否被挑选上，甲，乙去何处游览进行研究.对甲，乙是否被挑选上可分为

4类.

⑴有甲有乙：这时有&&=72种;

（2）有甲无乙：这时有=72种；

（3）无甲有乙：这时有=72种；

（4）无甲无乙：这时有=24种

由以上，不同的选择方案共有3x72+24=240种，因此选（B）.

39.解排列组合问题的方法是：相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法，多排问

题单排法，定位问题优先法,多元问题分类法，选取问题先选后排法，至多至少问题间

接法，求正整数解个数的隔板法等；

主要方法有

@利用加法的关键是正确分类，分类前必须先确定一个分类标准，使完成这件

事的任何一种方法都属于且只属于某一类.

【例1】有个密码为631208的手提箱，现有显示号码为080127,要打开箱

子，至少旋转几次？（每个旋钮可显示的数字依次为0,123,4,5,6,7,8,9中的任何一

个，只要一个旋钮上转出一个新的数字就为一次,逆转与顺转都可以）

【分析及解】在第一个旋钮上由0转为6,顺转需要6次，逆转需要4次,所以，在

第一个旋钮上至少需要转4次,同理，在第二个旋钮上至少需要转5次，在第三个旋

钮上至少需要转1次，在第四个旋钮上至少需要转1次，在第五个旋钮上至少需要

转2次，在第六个旋钮上至少需要转1次,因此，要打开箱子，至少旋转

4+5+1+1+2+1=1次.

阙完成一件事，当正面直接分类较困难，而不完成这件事的情况却容易分类时,

则只需要在完成这件事与否的方法总数中减去不完成这件事的方法总数即可.

【例2】以正方体的顶点为顶点，共可构成多少个四面体？

【分析及解】由于以正方体的顶点为顶点，共可构成C；个四边形，其中共面的

四边形有(1)以正方体的表面四边形有6个,(2)对角面有6个,因此，以正方体的顶

点为顶点，共可构成-6-6=58个四面体.

§是分步计数原理在解题中的应用，完成件事，需要分成连续“个步骤，只有

完成且只需要完成这n个步骤，事情才能完成,,则完成这件事的方法总数是分步完

成方法数的乘积.

【例3】2100有多少个正的约数？

【分析及解岫2100=2?x3x52x7，第一步，考虑是否有约数2，有3种选择：

“不选”，“选1个，“选2个”共3种不同的选法；第二步，考虑是否有约数3,有

2种选择：“不选”，“选1个”，共2种不同的选法；第三步，考虑是否有约数5,有

3种选择：“不选”，“选1个”，“选2个”共3种不同的选法；第四步，考虑是否有

约数7,有3种选择：“不选”，“选1个”，共2种不同的选法；

所以，2100有3x2x3x2=3个正约数.

@除是针对有“对称”关系而采用的一种解法.如果完成一件事中存在着'

些特殊的元素，将这些元素相互对换后，并不影响完成这件事的方法总数，就称

这些特殊的元素具有“对称”关系，把具有“对称”关系的所有元素的全排列应

看作同一种情形，这时候要用除法.

［例4］将八个不同的元素排成一列，其中外在生的左边，％在4的左边，…，

在ak的左边,(a{,a2,---,ak不一定相邻)，有多少种不同的排法？

【分析及解】这是一个定序问题,其中，…，你的顺序只有一种情形，因此,

共有之种排法.

【例5】把6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的分法？

【分析及解】这是一个平均分组问题,由于各组内的元素个数相同，所以组内元

素进行整体对换后，分组总数不受影响，即组与组是对称的，因而，平均分组问题要

用除法解决.有―年-=15种不同的分法.

@是对元素进行整体处理的形象化描述，在排列组合问题中，有时要求某些元

素必须相邻，可以把这些元素“捆”在一起，从而保证这些元素相邻而不散乱.

［例6］把4封信投入三个信箱中的两个信箱，有多少种不同的投法？

【分析及解】4封信的投法分为两类：第一类是一个信箱3封，一个信箱1

封、第二类是两个信箱各2封，在第一类分法中，为了保证3封信在同一个信箱，

需要把其中的3封信“捆”在一起，在第二类分法中，同样需要把其中的每个2

封信“捆”在一起。

(1)一个信箱3封:一个信箱1封时，有=24种投法.

(2)两个信箱各2封吐有上牛.4=18种投法.

£

由⑴,⑵共有24+18=42种投法.

g是排列组合中保证某些特殊元素互不相邻的常用手段，在解题时，先将其它

元素排列，然后再将这些特殊元素插入在其它元素的间隙中.

【例7】马路上有编号为1,2,3,…,10的十只路灯,为节约用电又不影响照明,

可以把其中的3只路灯熄灭，但不能同时熄灭相邻的两只或三只路灯，问满足条件的

熄灭3只路灯的方法有多少种？

【分析及解】不能同时熄灭相邻的两只或三只路灯，实质上是熄灭的任意两只

路灯不能相邻.

亮着的7只路灯是不加区别的，其排列的情况只有一种.这7只路灯之间有8个

间隙，将3只熄灭的路灯插入间隙，共有C；种插法，所以，满足条件的熄灭3只路灯的

方法有IxC；=56种.

网用与整数分解型的排列组合问题，其思路是先把整数分解成单位数1的和,

然后把这个和式分隔成若干段，使每种分隔都只和完成这件事的•种方法相对应.

【例8】方程玉+々+工3+》4=100有多少组

(1)正整数解？

(2)非负整数解？

【分析及解】(1)100=1+1+1+…+1,把这个和式分隔成4段,相当于在排成

一排的100个1的99个间隙中，插入3个加号，有C1种方法，即有C组正整数解•

(2)因为可以有零解，所以可以把100个1和3个加号看成103个位置，其中有

3个位置放加号就可以得到一组非负整数解，因而有G九种方法，，即有Gh组非负

整数解.

【例9】某学校从高中三个年级中选20人组成田径队，要求高一至少4人，高

二至少5人，高三至少6人，共有几种选法？

【分析及解】首先确定在高一选3人，高二选4人，高三选5人，共12人，还差

8人，再在高中三个年级中选8人,每个年级至少选一人，相当于方程玉+》2+刍=8

的正整数解的组数，即有=21种选法.

限就是通过一一对应关系，用映射的方法寻求解题途径.

【例10］若凸八边形的对角线两两相交，且除顶点外，再无三线共点，试问这些

交点有多少个在其内部？

【分析及解】以凸八边形的顶点为顶点的四边形的对角线的交点对应一个凸

八边形的对角线两两相交的内部的交点，而以4八边形的顶点为顶点的四边形共

有=70个，即凸八边形的对角线交点有70个在内部。

40.你记住这些组合恒等式了吗？

3=orC+CT=；c：=露c鲁;kc：=心.

41.二项展开式(。+匕)”的通项公式是什么?=C“-方)，通项公式的主

要用途是什么?(求含有指定暴的项，求常数项,求有理项等)，如何求多项式的系数的

和？

42.立体几何中平行,垂直关系的证明思路你是否明确?每种平行，垂直关系的

转换条件是什么?（线〃线=线〃面O面〃面，线_1_线=线_1_面=面_1_面）.棱

柱，斜棱柱，直棱柱，正棱柱；棱锥，正棱锥的性质，你能掌握吗？

43.如何求空间的距离？

①面面距离O线面距离O点面距离

②异面直线距离：求公垂线段的长，转化为平行直线与平面的距离.

44.如何把空间角转化为平面角？

①异面直线所成的角转化为平面角：平移法；

②直线与平面所成的角转化为平面角：直线与其射影所成的角；

③二面角的平面角：定义法，三垂线法,垂面法，面枳射影定理.

④如何求无棱二面角？

【例】设正方体ABCD—，棱的中点为E，求平面ABE与平面

ABCO所成二面角的余弦值.

45.立体几何的试题考查的核心和热点仍然是考查空间图形的线面关系及几

何量的计算，。立体儿何的复习一方面要强化常规题训练，另一方面要关注试题的

创新.

常规题训练仍然是空间图形的线面关系及儿何量的计算，即围绕平行，垂直，

距离和角的问题，这些常规题仍然是以正方体，长方体，棱柱，棱锥为载体，但

在解法上要注意多样化.对于一道立体儿何题，往往既能用传统方法求解又能用向

量方法求解，有的题目可以用两种方法结合求解。

46.关于立体几何的常规题有两个问题要引起重视，一是在客观题的考查中，如

何处理好命题判断型的试题，另一个是在解答题的考查中，如何抓住垂直这一关键.

①关于“命题判断”型的客观题

“命题判断”型的试题一直是高考立体儿何对线