中考数学复习专项练：圆的性质与计算（解答题、作图题）解析版

专题圆的性质与计算（解答题）

题型1:切线的性质和判定

I.（2023・江苏盐城・中考真题）如图，在VA8C中，。是AC上（异于点A,C）的一点，e。恰

好经过点A,B,于点。，且A4平分NC4O.

（1）判断BC与e。的位置关系，并说明理由：

（2）若AC=10,OC=8,求e。的半径长.

【答案】（1）见解析（2）eO的半径长为

4

【分析】（1）连接08,证明。8〃AO,即可证得O8_L8C,从而证得8C是圆的切线；

（2）设O8=OA=x,则OC=AC—OA=10—x,利用勾股定理求得AO=6,推出△。0拄2^。4。,

利用相似三角形的性质列得比例式，据此求解即可.

【详解】（1）证明：连接。8,如下图所示，

•・•AB是NCAO的平分线,

・•・/BAD=NBAO,

又•••O8=OA,

・•・ZOAB=ZOBA,

:./BAD=NOBA,

：.0B〃AD,

AZOBC=ZD=90°,即08_LBC,

又：8c过半径。3的外端点B,

••・8C与e。相切；

(2)解：设OB=Q4=x,贝lJOC=AC-Q4=10-x,

•・•在A4OC中，？。90?,AC=10,DC=8,

•*-AD=VAC2-CL>2=6»

•：OB〃AD,

・•・△COB—△CAD,

.OBOCx10-x

••---=---,即nn一=-----,

ADAC610

解得X==.

4

故e。的半径长为:.

4

2.（2023•江苏无锡♦中考真题）如图，48是eO的直径，CZ）与AB相交于点E.过点。的圆。的切

线分〃A勿，交C4的延长线于点"，CF=CD.

⑴求N户的度数：

（2）若求eO的半径.

【答案】（1）67.5。（2）2

【分析】（1）连接0。，根据尸。为e。的切线，则/。£）/=90。，由/）产〃/W,则ZAQQ=90°,根

据圆周角定理可得/人8=^乙4。。=45。，又3=8,根据等边对等角以及三角形内角和定理即

可求解；

（2）证明VD4ESV0C4,根据相似三角形的性质，代入数据即可求解.

【详解】（1）如图，连接OO.

QFD为e。的切线,

ZODF=90°.

QDF〃AB,

Z4OD=90°.

QAD=AD

：.NACO」40。=45。.

2

QCF=CD,

：.ZF=-x(180-^ACD)=67.5°.

2

(2)如图，连接AD,

QAO=OD,ZA8=90。，

二.ZE4£)=45°.

Z4CD=45O,

ZACD=ZEAD,且ZAOE二NCZM,

・•・VDAE^DCA,

DEDA,

~~~=»UnPnDA~=DE-DC=8，

DADC

DA=2x[i，

OA=OD=—AD=2,即半径为2.

2

3.(2023•江苏扬州•中考真题)如图，在VA8C中，ZACI3=90。，点。是AB上一点，且NBCD=；,

点0在BC上，以点。为圆心的圆经过C、。两点.

(I)试判断直线A4与e。的位置关系，并说明理由;

⑵若sin8=3,e。的半径为3,求AC的长.

5

【答案】(1)直线A4与e。相切，理由见解析(2)6

【分析】(1)连接0。，根据圆周角定理」得到N5Or>=2N8CD=NA,进而得到

Z25+ZA=ZB+ZBOD=9()°,即可得出A8与e。相切；

(2)解直角V0D3,求出。8的长，进而求出8C的长，再解直角三角形A6,求出AC的长即可.

【详解】(1)解：直线A3与eO相切，理由如下：

连接0。，则：NB0D=2/BCD,

A

VZBCD=-^A即：2NBCD=ZA,

2t

・•・NB0D=ZA,

Z4CB=90°,

J/B+/BOD=ZB+Z4=9(r,

・•・ZODB=90°,

ODA.AB,

•；0D为e。的半径，

，直线人B与e0相切：

3

(2)解：•：NODB=90。,sin8=二,eO的半径为3,

5

AOD=OC=3,sinB=—=-,

OB5

：.0B=5,

，BC=0B+0C=8,

•・•ZACB=90°,

・.RAC3

.•sinB=----=—,

AB5

设：AC=3x,Aff=5xf

则：BC=\/AB2-AC2=4X=8>

/.x=2,

:.AC=3.r=6.

4.（2022•江苏扬州•中考真题）如图，人A为eO的弦，。。_1。4交八4于点尸，交过点8的直线于

点C,且CB=CP.

（1）试判断直线8c与e。的位置关系，并说明理由；

（2）若sinA=且,。4=8,求CB的长.

5

【答案】（1）相切，证明见详解Q）6

【分析】（1）连接OB,根据等腰三角形的性质得出NA=NOZM,/CPB=/CBP,从而求出

ZAOC=ZOBC=90°,再根据切线的判定得出结论；

（2）分别作交A8于点M,C7V_LA8交48于M根据sinA=*,。4=8求出OP,A0的

长，利用垂径定理求出A3的长，进而求出的长，然后在等腰三角形中求解C8即可.

【详解】（1）证明：连接08,如图所示：

QCP=CB,OA=OB,

•.ZA=NO4A,NCPB=NCBP,

QZAPO=/CPB,

ZAPO=NCBP,

QOC1OA,即N4OP=90。，

ZA+ZAPO=90°=NOBA+4CBP=NOBC,

QOB为半径,经过点O,

・•・直线8c与eO的位置关系是相切.

(2)分别作交AB于点M,CN_LA8交AB于N,如图所示:

QCP=CB,AOJLCO,

ZA+ZAPO=^PCN+ZCPN,PN=BN,/PCN=NBCN

:.ZA=4PCN=4BCN

QsinA=t，

OA=8,

.AOMOP6

OAAP5

OA/=—,AM0尸=4,AP=4y/5,

55

AB=2AM=^^~，

5

■,P^=BN=-PB=-(AB-AP)=-X(^^--4^5)=­

22255

sinA=sinZ.BCN=-，

CB5

:.CB=&N=曰害=6.

5.(2021•江苏淮安・中考真题)如图，在RS/WC中，NACB=90。，点七是BC的中点，以人C为直

径的。。与八8边交于点。，连接OE.

(1)判断直线。石与。0的位置关系，并说明理由;

(2)若C£>=3,D£=|,求。。的直径.

【答案】⑴相切,理由见解析；⑵日

【分析】（1）连接。。，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由NBDC=90。，E为8C的中点

得至|JQE=CE=BE,则利用等腰三角形的性质得NEOC=NEC。，/ODC=/OCD,由于/。。。+

ZDCE=ZACB=90°,所以/EQC+/OOC=90。，即NEZX7=90。，于是根据切线的判定定理即可

得到。E与。0相切；

（2）根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：（1）证明：连接。。，如图，

VZBDC=90°,七为BC的中点,

：,DE=CE=BE,

:・/EDC=4ECD,

又、：OD=OC,

：.ZODC=ZOCD,

而NOCD+ZDCE=ZACB=90°f

：.NEDC+ZODC=900,即ZEDO=90°,

：,DELOD,

JOE与。O相切；

(2)由(1)得，NCOB=90。，

・：CE=EB,

：・DE=；BC,

:,BC=5,

•*-BD=4BC--CD=5/52-32=4,

VZBCA=Z5DC=90°,/B=/B,

:.△BCAsMDC,

.AC_BC

''~CD~~BD'

.AC_5

,■----―9

34

AC=,

4

・・・0。直径的长为%

6.（2021•江苏镇江・中考真题）如图1,正方形/WC。的边长为4,点。在边8c上，经过4,B,

P三点.

（1）若BP=3,判断边C。所在直线与。O的位置关系，并说明理由;

（2）如图2,E是CZ）的中点，。。交射线4E于点Q,当人P平分NEA8时，求tanNE4P的值.

2

【分析】（1）如图1中，连接AP,过点。作。交C。于E.求出OE的长，与半径半

径，可得结论.

（2）如图2中，延长八上交8C的延长线于7,连接PQ.利用面积法求出BP,可得结论.

【详解】解：（1）如图I・I中，连接人尸，过点。作。〃_1_八8于从交CD于E.

••・四边形A8CO是正方形,

：.AB=AD=4,N48P=90°,

，AP=dAB,+BP?=>/42+32=5,

*：OHA.ABt

f：OA=OP,AH=HB,

，OH=3PB=一,

22

ND=NDAH=ZAHE=W,

・•・四边形4”石。是矩形，

••・OE_LCE,EH=AD=4f

：.OE=EH=OH=4--=

22

：・OE=OP,

工直线CO与。o相切.

(2)如图2中，延长AE交6c的延长线于。连接PQ.

VZD=ZECT=90°,DE=EC,ZAED=ZTEC,

：./XADE^^TCE(ASA),

：,AD=CT=4,

••・BT=BC+CT=4+4=8,

•・•ZABT=90°,

，AT=yjAB2+BT2=>/42+82=40，

YAP是直径，

工NAQP=90。，

丁以平分NEA8,PQ_LAQ,PBLAB,

:.PB=PQ,

设PB=PQ=x,

,/S6BT=SAABP+SJPT,

:.；x4x8=yx475xx+yx4xx,

：・x=2亚-2,

：・Uin/EAP=ta〃/PAB=2=^^~

AB2

7.（2（）21.江苏南通•中考真题）如图，为eO的直径，C为：。上一点，弦AE的延长线与过点C

的切线互相垂直,

（1）求N5的度数;

（2）若A8=2,求占C的长•

【答案】(1)55°；(2)%

1o

【分析】（1）连接0C,如图，利用切线的性质得到OCA.CD,则判断OC//AE,所以ND4GNOC4,

然后利用NOCA=NO4C得到/。48的度数，即可求解;

（2）利用（1）的结论先求得N/IEO=/"。=70。，再平行线的性质求得NCOE=70。，然后利用弧

长公式求解即可.

【详解】解：（1）连接0C，如图,

・・・OC_LCQ,

VAE±CD,

，OC//AE,

：,ZDAC=ZOCA,

•・・OA=OC,NCAD=35。，

JZOAC=ZOCA=ZCAD=35°f

〈AB为。。的直径，

・•・ZACB=90°,

・・.N8=900-NQAC=55。；

由(1)得NE4O=NOAC+NCAD=70。，

'：OA=OE,

JZAEO=ZEAO=10°f

'：OC//AE,

：,ZCOE=ZAEO=10°f

：.AB=2,则OC=OE=1,

J的长为”=&=乂.

RC18018018

8.(2021•江苏宿迁・中考真题)如图，在/?/△〃用中，NAOB=90。，以点。为圆心，0/1为半径的圆

交人〃于点。，点。在边OB上，且CD=BD.

(1)判断直线C。与圆。的位置关系，并说明理由；

94

(2)已知【an/OOC=—,A^=40,求eO的半径.

7

【答案】（1）直线C。与圆。相切，理由见解析；（2）4夜.

【分析】（1）连接OC证明NOC3+NOC4=90。,可得NOC£>=90。，从而可得答案；

CD24

（2）由。C_LCQ,UmNOOC=J=—,设CO=24x,则OC=7x,再求解。。=25乂。4=7若再表

7

示OB=OD+BD=49x,再利用AO?+80?=48、列方程解方程，可得答案.

【详解】解：（1）直线C。与圆O相切，理由如下：

如图，连接OC

404=90。,OA=OC,

Z.B+ZOAC=90。,NQ4C=2OCA

;CD=BD,

/B=NDCB,

NOC4+NOC4=90。，

ZOCD=180°-90°=90°,

OCtCD,

•.•OC为e。的半径，

.•.8是e。的切线.

CD24

(2)QOC1CD,tanZDOC=—=—,

设C£)=24x,则OC=7x,

:.OD=y)0C2+CD2=25x.OA=OC=7苍

QCD=BD,

BD=24A\

;.OB=OD+BD=49x,

QA3=40,4403=90。,

AO2+BO2=AB\

「.（7x）2+（49x）2=*

232

'A"药’

中晅,XL晅（负根舍去）

1727

eO的半径为：oc=7x=7x半=4应.

9.（2021•江苏扬州•中考真题）如图，四边形A8CD中,AD//BC,ZE4D=90°,C8=CO,连接8£）,

以点8为圆心，3A长为半径作e3,交BD于点、E.

（1）试判断C。与eB的位置关系，并说明理由；

（2）若=48=60。，求图中阴影部分的面积.

【答案】（1）相切，理由见解析；（2）-乃

【分析1（1）过点8作B凡LC。，证明△人8。名△尸B。，得到即可证明C。与圆B相切；

（2）先证明△8C。是等边三角形，根据三线合一得到NABO=30。，求出AD,再利用S^ABD-S^ABE

求出阴影部分面积.

【详解】解：（1）过点8作跖_LCQ,

*：AD//BC,

/.ZADB=ZCBD,

*：CB=CD,

:"CBD=/CDB,

/.ZADB=ZCDB,又BD=BD,NBAD=NBFD=90。,

•••△A3。丝"8。（AAS）,

：.BF=BA,则点尸在圆3上,

与圆8相切;

D

(2)VZfiCD=60°,CB=CD,

.,•△8C。是等边三角形，

NCBQ=60°

•・•BFlCDt

/.NABD=/DBF=/CBF=30。,

JN48尸=60。，

•：AB=BF=26,

AD=DF=ABTan300=2,

••・阴影部分的面积=S,48O-S^ABE

2360

=2石-万.

10.（2023•江苏镇江.中考真题）如图，将矩形ABC。（AD＞八砂沿对角线8。翻折，C的对应点为点

C,以矩形A8CO的顶点A为圆心、，•为半径画圆，e4与8C相切于点石，延长交eA于点产，

连接EF交AB于点G.

(1)求证：BE=BG.

(2)当r=l,A8=2时，求8c的长.

【答案】⑴见解析⑵8c=2/

【分析1(1)连接人石，由切线的性质得44所=90。，则NAEG+N8EG=90。，由矩形的性质得

N8AO=N8A/=90。，再由直角三角形两锐角互余得N/+NAG/=90。，根据对顶角相等和同圆的

半径相等得N3GK-NAGK,"一ZAEG,然后由等角的余角相等得N3GK-N3KG,最后由等角

对等边得出结论；

AJ71

(2)由锐角三角函数得，sin乙48E=——=-,得NA8E=30。，由翻折得NC8D=NC8£>,由

AB2

NA4£+Na3Z>+NC4O=90。得NC3D=3(r,再由矩形对边相等得A〃=CO,最后在RtBCO中解

直角三角形即可得出结论.

【详解】(1)证明：如图，连接AE.

YeA与8C相切于点£

ZAEB=900,

・•・ZAEG+NMG=90。.

•・•四边形ABC。是矩形，

••・/BAD=/BAF=900,

:.ZAGF=90°.

;AE=AF,

：.ZF=ZAEG,

■:NBGE=ZAGF,

JNBGE=NBEG,

：.BE=BG.

(2)解：在RCVNCZ)中，AE=\,AB=2,

AF

sinZABE=—

AB2

/.ZABE=30°,

•・•四边形488是矩形,

JZABC=90°,

由翻折可知，NCBD=NCBD=-/ABE)=gx(90c-30°)=30°,

;四边形48co是矩形，

:・CD=AB=2,

CD

在RlBCD中,tanZCBD=tan30°=—,

BC

儒堂=26

3

11.（2023•江苏苏州・中考真题）如图，VA3C是eO的内接三角形，A4是：O的直径,

4C=J5,8C=26，点/在AB上，连接C尸并延长，交e。于点O,连接80,作8E_LC£）,垂

足为E.

(1)求证：ADBESAABC；

（2）若人/=2,求EO的长.

【答案】（1）证明见解析（2）拽

5

【分析】（1）分别证明NACB=90o=/班D,/CAB=NCDB,从而可得结论；

AC1

（2）求解==5,tanZAfiC=—=-,可得所=3,证明

BC2

r\p1

tan=tanNOBE=—=-,设。£=x,则8E=2x,8。=瓜，证明VACFsVDB/7,可

BE2

AFCF

——=——=——♦可得力b=2%,EF=x=DE,BD=BF=3,从而可得答案.

BDDFBF

【详解】（I）证明：是e0的直径，BE1CD,

，ZACB=900=/BED,

•・•KAB=4CDB,

：.△DMs&BC.

(2)VAC=yf5,BC=2yf5tZACB=90°,

_________ACI

；・AB=JACBC2=5,tanZ>4«C=—=-,

、nCZ

VAF=2,

••・BF=3,

ADBEsAABC,

・•・ZABC=NDBE,

DE1

tanZABC=tanZ.DBE==—

BE2

设=则8E=2x,BD=y/5x,

,：ZAFC=NBFD,/CAB=ZCDB,

・•・VACFEDBF，

.ACAFCF

BDDFBF

・・・4=—,则OF=2x,

0DF

：.EF=x=DE,

・••BD=BF=3,

・•・DE=—

5

12.（2022.江苏苏州♦中考真题）如图，48是eO的直径，4c是弦，。是用3的中点，C。与交

于点E.尸是延长线上的一点，且b=b.

c

o

D

(1)求证：CT为eO的切线;

(2)连接8。，取3。的中点G,连接AG.若CF=4,BF=2,求4G的长.

【答案】(1)见解析(2)AG=g而

【分析】(1)方法一：如图1,连接。C,0D.由/(XZ>=NODC,FC=FE,可得NOED=NFCE,

由AB是。的直径，。是用6的中点，NDOE=90。,进而可得NOb=9()。，即可证明C/为e。

的切线;

方法二：如图2,连接OC,BC.设NC4B=x。.同方法一证明4%产=90°,即可证明C尸为eO的

切线;

(2)方法一：如图3,过G作G”_LA6,垂足为设e。的半径为八则OF=r+2.在RtAOCF

中，勾股定理求得r=3,证明G”〃QO,得出VB〃GsVB8,根据黑=黑，求得BH，GH,

BOBD

进而求得A”，根据勾股定理即可求得AG；

方法二：如图4,连接40.由方法一，得r=3.A8=6,。是用B的中点，可得A£>=8D=3>/5,

根据勾股定理即可求得AG.

【详解】(1)(1)方法一：如图1,连接。C,0D.

•：OC=OD,

JZOCD=ZODC.

♦：FC=FE,

:・/FCE=NFEC.

*/40ED=4FEC,

,AOED=AFCE.

TAB是eO的直径，/）是片B的中点，

AZDO£=90°.

:.4OED+乙ODC=W.

・•・ZFCE+ZOCD=90°,即NOCF=90。.

：・OC人CF.

・・・C/为e。的切线.

图1

方法二：如图2,连接OC,BC.设NCAB=x。.

〈AB是eO的直径，。是外§的中点，

・•・ZACO=NDC8=45。.

・•・ZCEF=ZC4B+ZACD=(45+x)°.

•・•FC=FE,

:.ZFCE=ZFEC=(45+x)°.

:.ZBCF=x0.

•：OA=OC,

，ZACO=ZOAC=x0.

・•・/BCF=ZACO.

TAB是e。的直径，

・•・ZACB=90°.

・•・ZOCB+ZACO=90°.

・•・/OCB+NBCF=90。,即zOCF=90°.

：.OCLCF.

•••。/为e。的切线.

图2

(2)解：如图3,过G作GH_LA8,垂足为H.

设eO的半径为广，则OF=r+2.

在OCT7中，42+r2=(r+2)\

解之得，-3.

'：GH人AB,

工NG68=900.

VZDOE=90°,

・••NGHB=/DOE.

：.GH//D().

:YBHG^NBOD

・BH_BG

•；G为BD中点,

・•・BG=-BD.

2

1313

ABH=-BO=-,GH=-OD=-.

2222

39

:.AH=AB-BH=6-±=乙.

22

JAG=ylGH、AH?+仁)=^\/10.

图3

13.(2021・江苏无锡・中考真题)如图，四边形A8CO内接于eO,AC是e。的直径，AC与BD交

于点〃，尸8切eO于点B.

(1)求证：/PBA=NOBC；

(2)若？PBA20?,ZACD=40°,求证：Y0ABKCDE.

【答案】(1)见详解；(2)见详解

【分析】(1)由圆周角定理的推论，可知N/WC=9()。，由切线的性质可知NO4P=90。，进而即可得

到结论；

(2)先推出NOC8=NO8C=20。，从而得NA08BO。，继而得/。48=70。，再推出/CZ)E=70。，进

而即可得到结论.

【详解】证明：(1)・・・AC是eO的直径，

・•・N44O90。，

•：PB切e。于点B,

NOBP=90。，

,4PBA+ZABO=ZOBC+ZABO=90°,

・•・/PBA=NOBC；

(2)?PBA20?,/PBA=NOBC,

・•・NO8c*=20。，

*：OB=OC,

，/OCB=/OBC=20。,

JZAOB=20o+20°=40°,

*：OB=OA,

，ZOAB=ZOZM=(180°-40°)4-2=70°,

：.^AOB=20°.

•「AC是。的直径，

・•・NADC=90。,

：,ZCDE=90°-20°=70°,

:・NCDE=/OAB,

ZAC£>=40°,

ZACD=ZAOB=4(r,

：.YOABWCDE.

14.(2021.江苏盐城.中考真题)如图，0为线段所上一点，以0为圆心。8长为半径的。。交融于

点A,点C在。。上，连接PC,满足QC2=RVP8.

（1）求证：PC是。。的切线；

AC

（2）若A8=3B4,求经的值.

LJv--

【答案】（1）见解析；（2）g

【分析】⑴连接OC,把尸（^二尸从•尸3转化为比例式，利用三角形相似证明NPCO=90。即可;

（2）利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可.

【详解】（1）证明：连接。C

B

AO

vPC2=PAPB

.PC_PB

t*~PA=~PC，

又•・・/P=NP,

JPACsPCB

/.ZPAC=ZPCB,ZPCA=/PBC

"CO二ZPCB-Z.OCB

:.ZPCO=ZPAC-NOCB

又・：OC=OB

・•・40cB=4OBC

/.ZPCO=4PAe-ZABC=ZACB

已知C是e。上的点，A8是直径，

ZACB=90°,

ZPCO=90°

,ACIPO,

.••PC是圆的切线；

(2)设AP=〃，则=r=\.5a

・•・OC=1.5a

在中

OP=2.5a,OC=\.5a,

・•・PC=2a

已知VR4CsVPC3,

ACPA

~BC~~PC

.AC1

••---=一•

BC2

15.(2021•江苏连云港•中考真题)如图，RtVA4c中，N/WC=9O。，以点C为圆心，8为半径作

eC,。为eC上一点，连接A。、CD,AH=AD,AC平分/BAO.

(1)求证：A。是e。的切线；

(2)延长A。、8c相交于点E,若SvE^nZSvABc，求tan/BAC的值.

【答案】（1）见解析；（2）当

【分析】（1）利用S4S证明AMC@ADAC,可得NA£>C=乙s。=90。，即可得证；

（2）由已知条件可得AEDCSAEBA,可得出.=1:近，进而得出CB:B4=I:正即可求得

tanZZMC；

【详解】（1）•・•AC平分ZB4。，

ZBAC=ZDAC.

VAB=AD,AC=AC,

AABAC^AZMC.

,ZADC=Z4BC=90°.

：.CDLAD,

：•AD是eC的切线.

（2）由（1）可知，NE£）C=NA8C=90。，

又ZE=NE,

:、gDCs庄BA.

^：\EDC~2sM8c»旦^BAC=AZX4C>

•*­DC:BA=l：4l•

'：DC=CB,

：・CB:BA=1:g.

ZABC=90°

AtanZBAC=—=—

BA2

题型2:圆锥的侧面积、扇形的面积问题

16.（2022•江苏徐州•中考真题〕如图，点A、〃、C在圆。上，4AC=60。，直线A£）〃8C,AB=AI）,

点。在B。上.

（1）判断直线AO与圆O的位置关系，并说明理由：

（2）若圆的半径为6,求图中阴影部分的面积.

【答案】（1）直线A。与圆。相切，理由见解析（2）12乃-96

【分析】（1）连接OA,根据AD//8c和AB=AD,可得NO3C=N4BQ=NQ=30。，从而得到NZMO=120。,

再由04=08,可得NZM0=NABO=30。，从而得到NOAO=90。，即可求解；

（2）连接。C,作0”_LBC于H,根据垂径定理可得O"=go3=3,进而得到BC=2B"=6有，再

根据阴影部分的面积为S扇形-Sv8℃，即可求解.

【详解】（1）解：直线AO与圆。相切，理由如下：

如图，连接04,

•:AD//BC,

：.ND=NDBC,

*：AB=AD,

:"D=/ABD,

ZABC=60°,

/.ZDBC=ZABD=ZD=30°,

AZBAD=120°,

•：OA=OB,

：,NBAO=NABQ=30。，

・•・N047）=90。，

：,0AA.AD,

・・・O4是圆的半径，

・•・直线A。与园。相切，

AD

7J~/c

(2)解：如图，连接。C,作0H_L8C于H,

•：0B=0C=6,

：,/0CB=/0BC=3。。,

AZBOC=120°,

OH=-OB=3,

2

•*-BH=^BOr-OH2=3x/3，

JBC=2BH=6x/3，

・•・扇形BOC的面积为空9/=12"，

360

,:S&OBC=；8C0〃=gx6岛3=,

・•・阴影部分的面积为SmBOC-SVBOC=124-9石.

17.(2022•江苏淮安・中考真题)如图，V/WC是e。的内接三角形，ZACB=60°,A。经过圆心0

交e。于点石，连接B。，ZADB=30°.

(1)判断直线8。与e。的位置关系，并说明理由;

(2)若人8=46，求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)直线8D与e。相切，理由见解析

(2)图中阴影部分的面积-竽

【分析】(1)连接BE,根据圆周角定理得到NAEB=NC=60。，连接。8,根据等边三角形的性质

得到ZBOD=ar,根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）根据圆周角定理得到Z/腔=90°,解直角三角形得到。B,根据扇形和三角形的面积公式即可

得到结论.

【详解】（1）解：直线8。与00相切，

理由：如图，连接破，

/.ZAE^=ZC=60°,

连接。8,

•：OB=OE,

••・AOBE是等边三角形，

AZBOD=60°,

408=30。,

・•・AOBD=180°-60°-30°=90°,

：.OBLBD,

•・•0B是e。的半径，

・•・直线8。与e。相切；

(2)解:如(1)中图，

:.445£=90。，

AB=A6.

・./AFR-mo&&石

••sinZ.AEB=sin60°=---=------=——,

AEAE2

AE=8,

・・・O8=4,

*：OB1BD,乙408=30。

AtanNADB=tan30°=—=—,

BD3

/.BD=4百,

•・・图中阴影部分的面积=Sv°M—S扇形8°E=gx4x4g—嗤£=8石一号•

18.（2022•江苏宿迁•中考真题）如图,在VABC中,ZABC=45°,AB=AC,以A8为直径的。。

与边8c交于点O.

（I）判断直线AC与。。的位置关系，并说明理由；

（2）若A3=4,求图中阴影部分的面积.

【答案】（1）证明见解析（2）6-乃

【分析】（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明A4_LAC,从而可得结论；

（2）如图，连接O。，先证明N400=2N4〃C=90。，ZBOD=90°,再利用阴影部分的面枳等于三

角形48c的面积减去三角形8。。的面积，减去扇形4。。的面积即可.

【详解】（1）证明：AABC=45°,AB=AC,

\?ACB1ABC45?,

ZBAC=90°,即84AAe

QA在e。上，

二.AC为e。的切线.

（2）如图，连接OQ,

QZABC=45°,

:.ZAOD=2ZABC=90°,NBOD=90°,

QA6=4,

二.3=2,

\5\业=；A8驮0=；仓也4=8,Sv》。/?=；x2x2=2,

90^-x22

形A。。

360

\与影=8-2-p=6-p.

19.(2023•江苏南通・中考真题)如图，等腰三角形OAB的顶角aUM=I2(尸，e。和底边力B相切于

点C,并与两腰04,0B分别相交于。，E两点,连接C。，CE.

(1)求证：四边形ODCE是菱形；

(2)若e。的半径为2,求图中阴影部分的面积.

【答案】⑴见解析⑵S阴影二岁-26

【分析】(1)连接0C,根据切线的性质可得"_LA氏然后利用等腰三角形的三线合一性质可得

ZAOC=^BOC=(^,从而可得VODC和△(%;£都是等边三角形，最后利川等边三角形的性质可得

OD=CD=CE=OEf即可解答；

(2)连接。石交OC于点尸，利用菱形的性质可得O/=1,DE=2DF,/(小＞=90°,然后在RL^XODF

中，利用勾股定理求出。尸的长，从而求出。上的长，最后根据图中阴影部分的面积=扇形OOE的

面积一菱形。拉CE的面积，进行计算即可解答.

【详解】(1)证明：连接。C,

QeO和底边A6相切「点C,

：.0CLAB,

OA=OB,NAQ3=120°,

ZAOC=NBOC=-ZAOB=60°,

2

QOD=OC,OC=OE,

」.VODC和△OCE都是等边三角形,

\OD=OC=DC,OC=OE=CE,

:.OD=CD=CE=OE,

••・四边形OQCE是菱形:

(2)解：连接OE交OC「点尸,

Q四边形ODCE是菱形，

OF=-OC=\,DE=2DF,NOFD=90%

2

在RtVODW中，OD=2,

：.DF=-job1-OF2=V22-l2=，

DE=2DF=243，

・•・图中阴影部分的面积=扇形ODE的面积-菱形ODCE的面积

曲2」。。山

3602

千Rm百

子26

・•・图中阴影部分的面积为今-2G.

2（）.（2023•江苏宿迁・中考真题）（1）如图，A/3是e。的直径，AC与eO交于点F,弦4）平分,

点七在AC上，连接。E、DB,.求证：.

从①OE与e。相切；②。中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完

整（填写序号），并完成证明过程.

（2）在（1）的前提下，若AB=6,ZfiAD=30°,求阴影部分的面积.

【答案】⑴②①，证明见解析（或①②，证明见解析）⑵寻G-学

o2

【分析】（1）一：已知条件为②。七_LAC,结论为①QE与e。相切；连接。。，先证出OO〃AC,

再根据平行线的性质可得。七八OQ,然后根据圆的切线的判定即可得证；二：已知条件为①。£与

e。相切，结论为②OE1AC：连接0。，先证出OD〃AC,再根据圆的切线的性质可得。后人OD,

然后根据平行线的性质即可得证；

（2）连接OROF,先解直角三角形求出ORAEOE的长，再根据等边三角形的判定与性质可得质

的长，从而可得E尸的长，然后根据圆周角定理可得NQO尸=2/。力=60°,最后根据阴影部分的面

积等于直角梯形OQ屏'的面积减去扇形ODF的面积即可得.

【详解】解：（1）-：已知条件为②OE/AC,结论为①QE与e。相切，证明如下：

如图，连接。。，

QQA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

Q弦A。平分N84C,

ZOAD=ZCAD,

:.ZCAD=ZODA,

：.OD//AC,

QDE±AC,

:.DE10D,

又OO是e。的半径，

「.DE与e。相切；

二：已知条件为①OE与，。相切，结论为②OfJLAC,证明如下:

如图，连接。。，

QOA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

Q弦AO平分/8AC,

ZOAD=ZCAD,

.\ZCAD=ZODA,

:.OD//AC,

QDE与e。相切，

.\DE1OD,

..DEJ.AC；

(2)如图，连接OROF,

c

QAB=6,NBA。-30。，

OA=OD=OF=3,AD=Aficos30°=3垂>,ZC4£>=30°,

/.DE=-AD=-y/3.AE=ADcos300=-,

222

又Q/BAD=NCAD=30°,

AZBAC=60°,

.•.VCM”是等边三角形,

AF=OA=3,

3

:.EF=AE-AF=-

2t

由圆周角定理得：NQOF=2NC4O=60。,

则阴影部分的面积为S：四-S：=DE（E「OD）—史答

22

27r-3冗

21.（2022•江苏南通・中考真题）如图，四边形A8CO内接于eO,为e0的直径,AC平分

4BAD*CD=2历,点七在8c的延长线上，连接OE.

（1）求直径8。的长；

⑵若BE=5g，计算图中阴影部分的面积.

【答案】（1）4（2）6

【分析】（1）设0C辅助线，利用直径、角平分线的性质得出ND4C的度数，利用圆周角与圆心角

的关系得出NC8的度数，根据半径与直径的关系，结合勾股定理即可得出结论.

（2）由（1）已知NCO£）=90。，OC=OD得出N8OC的度数，根据圆周角的性质结合NDAC=ZBDC

得出5=与,再根据直径、等腰直角三角形的性质得出8c的值，进而利用直角三角形面积公式求出

SVECD,由阴影部分面积=5+*=邑+S\可知SYECD即为所求.

ZfiAZ>90°,^BAC=ZDAC=-^BAD=-x9()O=45O,OB=OD.

22

/.ZCOD=90°.

QCD=2垃,OC=OD,

.•NO/)?=CD2,即2OD?=8.

：.OD=2.

/BD=OD+OB=2+2=4.

(2)解：如图所示，设其中小阴影面积为',大阴影面积为S3,弦与劣弧8所形成的面积为邑,

/.4BDC=-(180°-ZCOD)=-x90。=45°.

22

Q/DAC=NBDC,

.•.弦BC=弦C。，劣弧8C=劣弧CO.

/.s、=s?.

(?“。为00的直径，。。=26，

/.ZBCD=Z£CD=90°,BC=CD=2yf2.

QBE=56，

:.CE=BE-BC=5>/2-2y[2=3y/2.

S=gCE-CD=；x2夜x3G=6.

S阴影濯分+S3=S2+Sy=S,\ECO=6.

题型3:有关圆的尺规作图

22.(2022・江苏宿迁・中考真题)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为I,每个小正方形的顶

点称为格点，点A、B、C、。、M均为格点.

【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的

线段AB、CD,相交于点尸并给出部分说理过程，请你补充完整：

解：在网格中取格点E,构建两个直角三角形，分别是△A/3C和△CQE.

在放aABC中，ian/8AC=g

在RSCDE中,

所以tanZBAC=tan/DCE.

所以N8AC=NOCE.

因为NACP+NDCE=ZACB=90°,

所以NACP+NBAC=90°,

所以NAPC=90°,

图①图②图③

(1)【拓展应用】如图②是以格点。为圆心，人8为直径的圆,请你只用无刻度的直尺，在脑上找

出一点P,使PM=%W，写出作法，并给出证明:

(2)【拓展应用】如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦A6上找出一点匕使

AM2=APMB,写出作法，不用证明.

【答案】（l）tan/QCE=g；见解析（2）见解析

【分析】（1）取格点N,作射线AN交唬『点P,则AN1M0根据垂径定理可知，点P即为所求

作；

（2）取格点/,连接M/交/1E于点P,点P即为所求作.利用正切函数证得NFM/=NMN4,利用

圆周角定理证得N8=/MNA,再推出△物Ms/SMAB,即可证明结论.

【详解】（1）解：【操作探究】在网格中取格点E,构建两个直角三角形，分别是△ABC和aCQE.

在/?3人8。中，tan=1

在MACDE中,tanZDCE=-,

所以lanZBAC=lanNDCE.

所以NBAC=/DCE.

因为NACP+ZDCE=ZACB=90°,

所以NACP+NBAC=90°,

所以NAPC=90。,

ABLCD.

故答案为：tanZDCE=-;

取格点N,作射线AN交板于点P,点P即为所求作;

D

N

QtanNMOD=-,tanNNAC=-

33

:.ZMOD=ZNAC

QZNAC+ZANC=90°

/.ZAVC4-ZDOM=90°

ANA.OM

痴=痴

（2）解：取格点/,连接M/交48于点P,点尸即为所求作;

证明：作直径AM连接8M、MM

在RfAFMI中,tan/FM/=g,

在心AMNA中，tanZMNA=-t

所以lanZFMI=lanNMNA.

:・/FMI=NMNA,

'：/B=/MNA,

・•・NAMP=NB,

*/ZPAM=ZMAB,

图③

23.（2023・江苏无锡・中考真题）如图，已知点M是尸3上的一个定点.

A

nB

(ffll)(图2)

(1)尺规作图：请在图1中作c。，使得eO与射线心相切于点例，同时与24相切，切点记为N；

(2)在(1)的条件下，若NAPB=60。，PM=3,则所作的e。的劣弧肠y与PM、/W所围成图形的

面积是.

【答案】⑴见解析(2)375-%

【分析】(1)先作N4尸8的平分线也2,再过M点作PB的垂线交PQ于点O,接着过0点作ON±PA

于N点,然后以。点为圆心，为半径作圆，则满足条件；

(2)先利用切线的性质得到。