【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第1-3章课时作业（打包22套）北师大版选修2-1
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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第1-3章课时作业（打包22套）北师大版选修2-1,步步高,学案导学,设计,学年,高中数学,课时,作业,功课,打包,22,北师大,选修
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1 常用逻辑用语 1 命 题 课时目标 1了解命题的概念，会判断一个命题的真假 解四种命题及四种命题的相互关系，并会判断四种命题的真假 1命题的定义 可以判断 _、用 _或 _表述的语句叫作命题，其中 _的命题叫作真命题， _的命题叫作假命题 2命题 的结构 一般地，一个命题由 _和 _两部分组成在数学中，通常把命题表示为“_” 的形式，其中 _是条件， _是结论 3四种命题的概念： (1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 _，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题 (2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 _，我们把这样的两个命题 叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题 (3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 _，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题 4四种命题的真假性之间的关系： (1)两个命题互为逆否命题，它们有 _的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 _关系 一、选择题 1下列语句是命题的是 ( ) 三角形内角和等于 180 ； 23； 一个数不是正数就是负数； x2； 这座山真险啊！ A B C D 2下列命题中，是真命题的是 ( ) A x R|1 0不是空集 B若 1，则 x 1 C空集是任何集合的真子集 D 5x 0 的根是自然数 3命题 “6 的倍数既能被 2 整除，也能被 3 整除 ” 的结论是 ( ) A这个数能被 2 整除 B这个数能被 3 整除 C 这个数既能被 2 整除，也能被 3 整除 D这个数是 6 的倍数 2 4有下列四个命题： “ 若 1，则 x、 y 互为倒数 ” 的逆命题； “ 相似三角形的周长相等 ” 的否命题； “ 若 b 1，则方程 2b 0 有实根 ” 的逆否命题； 若 “A B B，则 A B” 的逆否命题 其中的真命题是 ( ) A B C D 5命题 “ 当 ， 等腰三角形 ” 与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是 ( ) A 4 B 3 C 2 D 0 6命题 “ 若函数 f(x) a0， a1) 在其定义域内是减函数，则 a1) 在其定义域内不是减函数 B若 a1) 在其定义域内不是减函数 C若 ，则函数 f(x) a0， a1) 在其定义域内是减函数 D若 a1) 在其定义域内是减函数 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7下列命题： 四条边相等的四边形是正方形； 平行四边形是梯形； 若 a_ (填序号 ) 8命题 “ 各位数字之和是 3 的倍数的正整数，可以被 3 整除 ” 的逆否命题是 _；逆命题是 _；否命题是 _ 9有下列四个命题： “ 全等三角形的面积相等 ” 的否命题； 若 0，则 a， b 全为 0； 命题 “ 若 m1 ，则 2x m 0 有实根 ” 的逆否命题； 命题 “ 若 AB B，则 A B” 的逆命题 其中是真命题的是 _(填上你认为正确的命题的序号 ) 三、解答题 10判断下列命题的真假： (1)已知 a， b， c， d R，若 ac ， bd ，则 a bc d； (2)对任意的 x N，都有 x3立； (3)若 m1，则方程 2x m 0 无实数根； (4)存在一个三角形没有外接圆 3 11写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题 (1)实数的平方是非负数； (2)等高的两个三角形是全等三角形； (3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧 能力提升 12命题 “ 若 f(x)是奇函数，则 f( x)是奇函数 ” 的否命题是 ( ) A若 f(x)是偶函数，则 f( x)是偶函数 B若 f(x)不是奇函数，则 f( x)不是奇函数 C若 f( x)是奇函数，则 f(x)是奇函数 D若 f( x)不是奇函数，则 f(x)不是奇函 数 13已知奇函数 f(x)是定义域为 R 的增函数， a， b R，若 f(a) f(b)0 ，求证： a b0. 4 1由命题的定义可知，要判断一个语句是否为命题要抓住能否判断真假，只有能判断真假的语句才是命题 2命题有真假之分，真命题是我们学过的公理、定理、公式、法则或可以经过推理证明正确的命题；假命题的判断只需要举一反例即可 3一般地，命题都是由条件和结论两部分组成的，对 “ 若 p 则 q” 的命题， p 是条件， q 是结论在判断命题的条件和结论时，如果一个命题的条件和结论不明显，可以先改写成 “ 若p 则 q” 的形式，然后再进行判断 4互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假；四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即 0 个， 2 个或 4 个 课时作业答案解析 第一章 常用逻辑用语 1 命 题 知识梳理 1真假 文字 符号 判断为真 判断为假 2条件 结论 若 p 则 q p q 3 (1)结论和条件 (2)条件的否定和结论的否定 (3)结论的否定和条件的否定 5 4 (1)相同 (2)没有 作业设计 1 A 中语句不能判断真假， 中语句为感叹句，不能作为命题 2 D A 中方程在实数范围内无解，故是假命题； B 中若 1，则 x 1 ，故 B 是假命题；因空集是任何非空集合的真子集，故 C 是假命题；所以选 D. 3 C 命题可改写为：如果一个数是 6 的倍数，那么这个数既能被 2 整除，也能被 3 整除 4 C 5 C 原命题和它的逆否命题为真命题 6 A 由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若 ，则函数 f(x)a0， a1) 在其定义域内不是减函 数 7 解析 是真命题， 四条边相等的四边形也可以是菱形， 平行四边形不是梯形 8不能被 3 整除的正整数，其各位数字之和不是 3 的倍数 能被 3 整除的正整数，它的各位数字之和是 3 的倍数 各位数字之和不是 3 的倍数的正整数，不能被 3 整除 9 10解 (1)假命题反例： 14,52 ，而 1 5 4 2. (2)假命题反例：当 x 0 时， x3成立 (3)真命题 4 4m0， 方程 2x m 0 无实数根 (4)假命题因为不共线的三点确定一个圆 11解 (1)逆 命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数 否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数 逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数 (2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高 否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高 (3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧 逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直 平分线 12 B 13证明 假设 a b0，即 a b， f(x)在 R 上是增函数， f(a)f( b) 又 f(x)为奇函数， f( b) f(b)， f(a) f(b)，即 f(a) f(b)0. 即原命题的逆否命题为真，故原命题为真 a b0. 1 2 充分条件与必要条件 分条件 要条件 课时目标 要条件的意义 判断充分条件和必要条件，会求某些命题的条件关系 过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力 1 “ 若 p，则 q” 形式的命题为真命题是指：由条件 p 可以得到结论 pq，读作 “ p 推出 q” 此时我们称 p 是 q 的 _ 2如果 “ 若 p，则 q” 形式的命题为真命题，即 pq，称 p 是 q 的充分条件，同时，我们称 q 是 p 的 _ 一、选择题 1 “ A B” 是 “A ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C既是充分条件又是必要条件 D既不充分又不必要条件 2 “ k0” 是 “ 方程 y b 表示直线 ” 的 ( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C既是充分条件又是必要 条件 D既不充分又不必要条件 3 1 4命题 p： 是第二象限角；命题 q： 2， P x|y” 是 “ x y” 的 _条件 7 “ ” 是 “ a0” 的 _条件 8已知 、 是不同的两个平面，直线 a ，直线 b ，命题 p： a 与 b 无公共点；命题 q： ，则 p 是 q 的 _条件 三、解答题 9已知 p： b 0， q：函数 f(x) 1 是偶函数 命题 “ 若 p，则 q” 是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？ p 是 q 的什么条件？ 2 x|(x a)20” 是 “| a|0” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也 不必要条件 12设 p：实数 x 满足 43 x 60 ， q 是 p 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围 3 1判断 p 是 q 的什么条件，常用的方法是验证由 p 能否推出 q，由 q 能否推出 p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断 2在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑 2 充分条件与必要条件 2 1 充分条件 2 2 必要条件 知识梳理 1充分条件 作业设计 1 A “ A B” “ ” ，反过来不对 2 B k 0 时，方程 y b 也表示直线 3 A y，得 xy0， 由 x y，得 xy0. 7充分不必要 解析 a0 ，所以是充分条件； 4 a0 ， b 0 0，不必要条件 8必要不充分 解析 命题 q： 命题 p： a 与 b 无公共点，反之不对 9解 由 f(x) 1 是偶函数 ， 得 f( x) 1 1 恒成立 0 对任意实数 x 恒成立，所以 b 0， 同理由 b 0 也可以得出 f(x)是偶函数 故 “ 若 p，则 q” 的命题是真命题，它的逆命题是真命题， p 既是 q 的充分条件，又是必要条件 10解 由 (x a)20，则 |a|0，所以 “ a0” 是 “| a|0” 的充分条件；若 |a|0，则 a0 或不是 “| a|0” 的必要条件 12 解 由 43 x 60 ， 可得 x 4 或 x 2. 因为 q 是 p 的必要不充分条件， 所以 a 4a0 或 3a 2a0 . 解得 23 a0 或 a 4. 故实数 a 的取值范围为 ( ， 4 23， 0 . 1 要条件 课时目标 1结合实例，理解充要条件的意义 判断 (证明 )某些命题的条件关系 利用充要条件求一些字母的范围，进一步理解数学概念 1如果既有 pq，又有 qp，就记作 _这时 p 是 q 的 _条件，简称 _条件，实际上 p 与 q 互为 _条件如果 p q 且 q p，则 p 是 _条件 2我们常用 “ 当且仅当 ” 表达充要条件命题 p 和命题 q 互为充要条件，称它们是两个相互等价的命题 一、选择题 1 “ x0” 是 “ x0” 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2设集合 M x|0(2)0_c0. 8不等式 (a x)(1 x)0)在 1， ) 上单调递增的充要条件是 _ (填序号 ) 三、解答题 10下列命题中，判断条件 p 是条件 q 的什么条件： (1)p： |x| |y|， q： x y. (2)p： 直角三角形， q： 等腰三角形； (3)p：四边形的对角线互相平分， q：四边形是矩形 2 11.设 x， y R，求证 |x y| |x| |y|成立的充要条件是 . 能力提升 12已知 P x|a 40” “ x0” ，反之不一定成立 因此 “ x0” 是 “ x0” 的充分而不必要条件 2 B 因为 N a M” 是 “ a N” 的必要而不充分条件 3 A 若一元二次方程 x m 0 有实数解， 则 1 4m0 ，因此 m 14. 故 m a，即 a2. 9 b 2a 解析 由二次函数的图象可知当 ，即 b 2a 时，函数 y c 在 1， ) 上单调递增 10解 (1) |x| |y| x y， 但 x y |x| |y|， p 是 q 的必要条件，但不是充分条件 (2) 直角三角形 等腰三角形 等腰三角形 直角三角形 p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 (3)四边形的对角线互相平分 四边形是矩形 四边形是矩形 四边形的对角线互相平分 p 是 q 的必要条件，但不是充分条件 11证明 充分性：如果 ，则有 0 和 两种情况，当 0 时，不妨设 x 0， 则 |x y| |y|， |x| |y| |y|， 等式成立 当 时，即 x0， y0，或 y0 时， |x y| x y， |x| |y| x y， 等式成立 当 x0， y0 时， |x y| (x y)， |x| |y| x y， 等式成立 总之，当 时， |x y| |x| |y|成立 必要性：若 |x y| |x| |y|且 x， y R， 则 |x y|2 (|x| |y|)2， 即 22|x|y|， | . 综上可知， 是等式 |x y| |x| |y|成立的充要条件 12解 由题意知， Q x|1x3， Q P， a 41a 43 ，解得 1 a5. 实数 a 的取值范围是 1,5 13 A 当 等边三角形时， a b c， l 11 1. “ l 1” 是 “ 等边三角形 ” 的必要条件 5 a b c， 又 l 1， 即 得 b c 或 b a，可知 等腰三角形，而不能推出 等边三角形 “ l 1” 不是 “ 等边三角形 ” 的充分条件 1 3 全称量词与存在量词 称量词与全称命题 在量词与特称命题 课时目标 判定全称命题和特称命题的真假 1全称量词与全称命题 短语 “ 所有 ” 、 “ 每一个 ” 、 “ 任何 ” 、 “ 任意一条 ” 、 “ 一切 ” 等都是在指定范围内，表示 _或 _的含义，这样的 词叫作全称量词，含有 _的命题，叫作全称命题 2存在量词与特称命题 短语 “ 有些 ” 、 “ 至少有一个 ” 、 “ 有一个 ” 、 “ 存在 ” 等都有表示 _或 _的含义，这样的词叫作存在量词，含有 _的命题叫作特称命题 一、选择题 1下列语句不是全称命题的是 ( ) A任何一个实数乘以零都等于零 B自然数都是正整数 C高二 (一 )班绝大多数同学是团员 D每一个向量都有大小 2下列命题是特称命题的是 ( ) A偶函数的图象关于 y 轴对称 B正四棱柱都是平行六面体 C不相交的两条直线是平行直线 D存在实数大于等于 3 3下列命题不是 “ 存在 R，使 ” 成立的表述方法的是 ( ) A有一个 R，使 B有些 R，使 C任选一个 x R，使 D至少有一个 R，使 4下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是 ( ) A斜三角形的内角 是锐角或钝角 B至少有一个实数 C任一无理数的平方必是无理数 D存在一个负数 1 5下列命题中全称命题的个数是 ( ) 任意一个自然数都是正整数； 所有的素数都是奇数； 有的等差数列也是等比数列； 三角形的内角和是 180. A 0 B 1 C 2 D 3 6给出下列命题： 存在实数 x1，使 ； 全等的三角形必相似； 有些相似三角形全等 ； 至少有一个实数 a，使 1 0 的根为负数 2 其中特称命题的个数为 ( ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7对任意 x3， xa 恒成立，则实数 a 的取值范围是 _ 8命题 “ 存在 R，使得 20” 是 _命题 (用真或假填空 ) 9下列命题： 存在 对 于一切 已知 2n， 3n，对于任意 n N ，都有 已知 A a|a 2n， B b|b 3n，对于任意 n N ，都有 A B . 其中，所有正确命题的序号为 _ (填序号 ) 三、解答题 10指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假 (1)若 a0，且 a1 ，则对任意实数 x， ； (2)对任意实数 数 f(x) c.若 x 的方程 2b 0，则下列选项的命题中为假命题的是 ( ) A存在 x R， f(x) f(B存在 x R， f(x) f(C任意 x R， f(x) f(D任意 x R， f(x) f(13已知函数 f(x) x 2 ，若对任意 x 2， ) 恒有 f(x)0，试确定 a 的取值范围 1判定一个命题是全称命题还是特称命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题所涉及的意义去判断 2要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每一个元素 x 验证 p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合 M 中的一个 x 得 p(成立即可 (这就是我们常说的 “ 举出一个反例 ”) 要判定一个特称命题为真命题，只要在限 4 定集合 M 中，至少能找到一个 x 得 p(立即 可；否则，这一特称命题就是假命题 3 全称量词与存在量词 3 1 全称量词与全称命题 3 2 存在量词与特称命题 知识梳理 1整体 全部 全称量词 2个别 一部分 存在量词 作业设计 1 C “ 高二 (一 )班绝大多数同学是团员 ” ，即 “ 高二 (一 )班有的同学不是团员 ” ，是特称命题 2 D “ 存在 ” 是存在量词 3 C “ 任选一个 x R，使 ” 是全称命题，故选 C. 4 B 5 D 命题 含有全称量词，而命题 可以叙述为 “ 每一个三角形的内角和都是180” ，故有三个全称命题 6 C 为特称命题， 为全称命题 7 ( ， 3 解析 对任意 x3， xa 恒成立，即大于 3 的数恒大于 a， a3. 8假 9 解析 命题 显然为真命题； 由于 2n 3n a0， a1) 恒成立， 命题 (1)是真命题 (2)存在 0， ， 命题 (4)是假命题 11解 甲命题为真时， (a 1)2 4 a1 或 (2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况： 甲真乙假时， 130， f(x) f(任意 x R 恒成立，假命题为 C. 13解 根据 f(x)0 得 x 2 ， 即 x 21 在 x 2， ) 上恒成立， 分离系数，得 a 3x 在 x 2， ) 上恒成立， 设 f(x) 3x，则 f(x) x 32 2 94， 当 x 2 时， f(x)2， a2； 故 a 的取值范围是 (2， ) 1 称命题与特称命题的否定 课时目标 理解全称命题、特称命题的含义，能正确地对全称命题和特称命题进行否定 1要说明一个全称命题是错误的，只需找出 _就可以了 2全称命题的否定是 _ 3要证明一个特称命题是错误的，只要说明这个特称命题的否定是 _ 4特称命题的否定是 _ 一、选择题 1 “ a 和 b 都不是偶数 ” 的否定形式是 ( ) A a 和 b 至少有一个是偶数 B a 和 b 至多有一个是偶数 C a 是偶数， b 不是偶数 D a 和 b 都是偶数 2命题 “ 某些平行四边形是矩形 ” 的否定命题是 ( ) A某些平行四边形不是矩形 B任何平行四边形是矩形 C每一个平行四边形都不是矩形 D以上都不对 3命题 “ 原函数与反函数的图像关于 y x 对称 ” 的否定是 ( ) A原函数与反函数的图像关于 y x 对称 B原函 数不与反函数的图像关于 y x 对称 C存在一个原函数与反函数的图像不关于 y x 对称 D存在原函数与反函数的图像关于 y x 对称 4 “ 存在整数 得 1 998” 的否定是 ( ) A任意整数 m， n，使得 1 998 B存在整数 得 1 998 C任意整数 m， n，使得 1 998 D以上都不对 5命题 “ 存在 R,2” 的否定是 ( ) A不存在 R,2 B存在 R,2 C对任意的 x R,2x0 D对任意的 x R,2x0 6命题 “ 任意四边形都有外接圆 ” 的否定为 ( ) A任意四边形都没有外接圆 B任意四边形不都有外接圆 C有的四边形没有外接圆 D有的四边形有外接圆 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7命题 “ 零向量与任意向量共线 ” 的否定为 _ 8写出命题： “ 对任意实数 m，关于 x 的方程 x m 0 有实根 ” 的否定为：_. 2 9命题 p：对任意 x R，使 f(x) m 成立，则命题 p 的否定是 _ 三、解答题 10写出下列命题的否定，并判断其真假 (1)有些质数是奇数； (2)所有二次函数的图象都开口向上； (3)存在 Q， 5； (4)不论 m 取何实数，方程 2x m 0 都有实数根 11已知命题 “ 存在 R， 230” 是假命题，求实数 a 的取值范围 能力提升 12命题 r：存在 x R，使 14x 50 的否定为 ( ) A对任意 x R， 14x 50 全称命题和特称命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词熟练掌握了以下常用词语的否定，对否定含量词的命题很有利 关键词 否定词 关键词 否定词 等于 不等于 大于 不大于 能 不能 小于 不小于 至少有一个 一个都没有 至多有一个 至少有两个 都是 不都是 是 不是 没有 至少有一个 属于 不属于 3 3 全称命题与特称命题的否定 知识梳理 1一个反例 作业设计 1 A 在 a、 b 是否为偶数的四种情况中去掉 a 和 b 都不是偶数还有三种情况，即 a偶 b 奇， a 奇 b 偶， a 偶 b 偶，故选 A. 2 C 特称命题的否定是把存在量词变为全称量词，然后否定结论所以选 C. 3 C 要把隐含的全称量词找出变为存在量词，然后否定结论 4 C 特称命题的否定是全称命题，应含全称量词 5 D 命题的否定是 “ 对任意的 x R,2x0” 6 C 7存在一个向量与零向量不共线 8存在实数 m，关于 x 的方程 x m 0 没有实根 9存在 R，使 f(” 的否定形式为： 对于任意 x R， 230 恒成立，由 “ 命题真，其否定假；命题假，其否定真 ”可知这个否定形式的命题是真命题事实上，当 a 0 时，对任意的 x R，不等式 30恒成立；当 a0 时，借助二次函数的图象，数形结合，很容易知道不等式 230 恒成立的等价条件是 据固定的格式写它的否定形式为：任意 x R， 4x 50. 1 4 逻辑联结词 “ 且 ”“ 或 ”“ 非 ” 课时目标 且 ” 、 “ 或 ” 、 “ 非 ” 的含义 用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假 1 “ p 且 q” 的真假 (1)当两个命题 p 和 q 都是 _时，新命题 “ p 且 q” 是真命题； (2)在两个命题 p 和 q 之中，只要有一个命题是 _，新命题 “ p 且 q” 就是假命题 2 “ p 或 q” 的真假 (1)在两个命题 p 和 q 之中，只要有一个命题是 _时，新命题 “ p 或 q” 就是真命题； (2)当两个命题 p 和 q 都是 _时，新命题 “ p 或 q” 是假命题 3逻辑联结词 “ 非 ” (1)一般地，对命题 p 加以 _，就得到一个新命题，记作 _，读作“_” (2)“ 綈 p” 的真假 一个命题 p 与这个命题的否定綈 p，必然一个是 _，一个是 _ 一、选择题 1下列命题： 2010 年 2 月 14 日既是春节，又是情人节； 10 的倍数一定是 5 的倍数； 梯形不是矩形 其中使用逻辑联结词的命题有 ( ) A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 2已知 p： 2 2 5； q： 32，则下列判断错误的是 ( ) A “ p 或 q” 为真， “ 綈 q” 为假 B “ p 且 q” 为假， “ 綈 p” 为真 C “ p 且 q” 为假， “ 綈 p” 为假 D “ 綈 q” 为假， “ p 或 q” 为真 3已知全集 S R， AS， BS，若命题 p： 2 (A B)，则命题 “ 綈 p” 是 ( ) A. 2A B. 2 . 2A B D. 2 ( 4已知命题 p： 33 ， q： 34，则下列判断正确的是 ( ) A p 或 q 为真， p 且 q 为真，綈 p 为假 B p 或 q 为真， p 且 q 为假，綈 p 为真 C p 或 q 为假， p 且 q 为假，綈 p 为假 D p 或 q 为真， p 且 q 为 假，綈 p 为假 5设 p、 q 是两个命题，则新命题 “ p 或 q 为真， p 且 q 为假 ” 的充要条件是 ( ) A p、 q 中至少有一个为真 B p、 q 中至少有一个为假 C p、 q 中有且只有一个为假 D p 为真， q 为假 6下列命题中既是 p 且 q 形式的命题，又是真命题的是 ( ) A 10 或 15 是 5 的倍数 B方程 3x 4 0 的两根是 4 和 1 2 C方程 1 0 没有实数根 D有两个角为 45 的三角形是等腰直角三角形 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7 “23” 中的逻辑联结词是 _，它是 _命题 (填 “ 真 ” ， “ 假 ”) 8若 “ x 2,5或 x x| 是假命题，则 x 的范围是 _ 9设 p：函数 f(x) 2|x a|在区间 (4， ) 上单调递增； q： |a b|1 的充分而不必要条件；命题 q：函数 y |x 1| 2 的定义域是 ( ， 1 3， ) ，则 ( ) A “ p 或 q” 为假 B “ p 且 q” 为真 C p 真 q 假 D p 假 q 真 13设 p：实数 x 满足 43题 q：实数 x 满足 x 60 ，2x 80. (1)若 a 1，且 p 且 q 为真，求实数 x 的取值范围； 3 (2)若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 1从集合的角度理解 “ 且 ”“ 或 ”“ 非 ” 设命题 p： x q： x B.则 p 且 qx A 且 x Bx A B； p 或 qx A 或 xBx A B；綈 pxAx 2对有逻辑联结词的命题真假性的判断 当 p、 q 都为真， p 且 q 才为真；当 p、 q 有一个为真， p 或 q 即为真；綈 p 与 p 的真假性相反且一定有一个为真 3含有逻辑联结词的命题否定 “ 或 ”“ 且 ” 联结词的否定形式： “ p 或 q” 的否定形式 “ 綈 p 且綈 q” ， “ p 且 q” 的否定形式是 “ 綈 p 或綈 q” ，它类似于集合中的 “ U(A B) ( U(A B)( ( 4 逻辑联结词 “ 且 ”“ 或 ”“ 非 ” 知识梳理 1 (1)真命题 (2)假命题 2 (1)真命题 (2)假命题 3 (1)否定 p 非 p (2)真命题 假命题 作业设计 1 C 命题使用逻辑联结词，其中， 使用 “ 且 ” ， 使用 “ 非 ” 2 C 3 D p： 2 (A B)， 綈 p： 2(A B)， 即 2A 且 2B， 2 2 故 2 ( 4 D p 为真， q 为假，结合真值表可知， p 或 q 为真， p 且 q 为假綈 p 为假 5 C 因为 p 或 q 为真命题所以 p、 q 一真一假或都是真命题 又因为 p 且 q 为假，所以 p、 q 必有一假，所以 p、 q 中有且只有一个为假 6 D A 中的命题是条件复合的简单命题， B 中的命题是 p 或 q 型， C 中的命题是綈 D 中的命题为 p 且 q 型且是真命题 7或 真 8 1,2) 解析 x 2,5或 x ( ， 1) (4， ) ， 即 x ( ， 1) 2， ) ，由于命题是假命题， 4 所以 1 ，由 q 为真命题得 a2；由 p 为假命题且画图可知： a4. 当 04. 10解 (1)这个命题是 “ p 且 q” 的形式，其中 p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为 p 真 q 真，则 “ p 且 q” 真，所以该命题是真命题 (2)这个命题是 “ p 或 q” 的形式，其中 p： 1 是方程 3x 2 0 的根， q： 1 是方程3x 2 0 的根，因为 p 假 q 真，则 “ p 或 q” 真，所以该命题是真命题 11解 p： 41 0 有两个不等的负根 1640 4q：函数 f(x) (m 1) ， ) 上是增函数 012，m0 或 m1. m1. (2)若 p 假， q 真，则 m 1201 不能推出 |a b|1，所以 p 假， q 显然为真 13 解 由 43 由 x 60 ，2x 80. 得 23. 故实数 a 的取值范围是 1a2. 1 第二章 空间向量与立体几何 1 从平面向量到空间向量 课时目标 面的法向量，共面向量与不共面向量的概念 1空间向量 (1)在空间中，既有 _又有 _的量，叫作空间向量 (2)向量用小写字母表示，如： a ， b 或 a， b. 也可用大写字母表示，如： ，其中 _叫做向量的起点， _叫做向量的终点 (3)数学中所讨论的向量与向量的 _无关，称之为自由向量 (4)与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的长度或模，用 _或 _表示 (5)向量夹角的定义：如图所示，两非零向量 a， b，在空间中任取点 O，作 a， b，则 _叫作向量 a， b 的夹角，记作 _ (6)向量夹角的范围： 规定 _ (7)特殊角：当 a， b 2 时，向量 a 与 作 _； 当 a， b 0 或 时，向量 a 与 作 _ 2向量、直线、平面 (1)所谓直线的方 向向量是指和这条直线 _或 _的非零向量，一条直线的方向向量有 _个 (2) 2 如果直线 l 垂直于平面 ，那么把直线 l 的 _，叫作平面 的法向量 平面 有 _个法向量，平面 的所有法向量都 _ (3)空间中，若一个向量所在直线 _一个平面，则称这个向量平行该平面把_的一组向量称为共面 向量 一、选择题 1下列命题中，假命题是 ( ) A向量 与 的长度相等 B两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C只有零向量的模等于 0 D共线的单位向量都相等 2给出下列命题 空间中两直线的夹角就是它们的方向向量的夹角； 相互平行的向量一定共面，共面的向量也一定相互平行； 空间两平面所成的二面角的大小等于它们的法向量的夹角 其中正确命题的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 3在棱长为 22 的正方体 ，所有棱及面对角线中能表示单位向量的有向线段共有 (如 ， 只记一次 )( ) A 12 条 B 16 条 C 18 条 D 24 条 4. 如图所示，三棱锥 A ， 面 90 ，则在所有的棱表示的向量中，夹角为 90 的共有 ( ) A 3 对 B 4 对 C 5 对 D 6 对 5已知向量 ， ， 满足 | | |，则 ( ) 与 同向 与 同向 6下列命题是真命题的是 ( ) A分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B若 |a| |b|，则 a， b 的长度相等而方向相同或相反 3 C若向量 ， 满足 |，且 与 同向，则 D若两个非零向量 与 满足 0，则 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7. 如图所示，两全等的正方形 在平面相交成直二面角，其中心分别是 M，N，则直线 一个方向向量是 _(要填不在直线 的向量 ) 8在正方体 所有棱、面对角线、体对角线所对应的向量中，是平面法向量的是 _ 9给出下面命题： 空间任意两个向量 a， b 一定是共面的 a， b 为空间两个向量，则 |a| |b| a b. 若 a b，则 a 与 b 所在直线平行 如果 a b， b c，那么 a c. 其中假命题的序号是 _ 三、解答题 10判断以下命题的真假： (1)|a| 0 的充要条件是 a 0； (2)不相等的两个空间向量模必不相等； (3)空间中任何两个向量一定共面； (4)空间向量 a， b 夹角为锐角 a， b 0. 11在正方体 (1) ， ； (2) ， ； (3) ， ； (4) ， 4 能力提升 12. 如图所示，四棱锥 ， 面 正方形， 面 ， 13四棱锥 P ， 面 面 正方形且 E、 F 分别是 中点 (1)试以 F 为起点作直线 方向向量； (2)试以 F 为起点作平面 法向量 5 1直线的方向向量和平面的法向量是两个重要的概念，在证明线面平行，线面垂直以及求线面的夹角时，有着广泛的应用 2两向量的夹角 对于两向量 a、 b 的夹角 a， b的理解，除 a， b b， a外还应注意由于两向量的夹角的范围为 0， ，要注意 ， 与 ， ， ， 的区别和联系，即 ， ， ， 第二章 空间向量与立体几何 1 从平面向量到空间向量 知识梳理 1 (1)大小 方向 (2)A B (3)起点 (4)| |a| (5) a， b (6)0 a， b (7)垂直 ab 平行 ab 2 (1)平行 重合 无数个 (2)方向向量 无数 平行 (3)平行于 平行于同一平面 作业设计 1 D 共线的单位向量是相等向量或相反向量 2 A D 由 | | | | |，知 C 点在线段 ，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以 与 同向 6 D A 错因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任两向量均共面 B 错因为 |a| |b|仅表示 a 与 b 的模相等，与方向无关 C 错空间任两向量不研究大小关系，因此也就没有 这种写法 D 对 0， ， 与 共线，故 正确 或 或 9 10解 (1)真命题 (2)假命题 (3)真命题 (4)假命题 命题 (4)，当 a， b 0 时， a， b 10， 但 a， b不是锐角 6 故命题 (4)是假命题 11解 (1)在正方体 底面 ， 2 . (2)连结 故 3 ， ， 23 . (3)连结 ， 且 正三角形 3 ， ， ， 3 . (4)连结 又 D， 面 ， 2. 12解 取 ，连接 则 12， ， ， ， 由 且 22 正三角形 ， 3 ， 7 ， ， 23 . 13. 解 (1) E、 F 分别是 中点， 2 D， 2 取 中点 M，连 由 M 知四边形 平行四边形， 就是直线 一个方向向量 (2) 面 又 面 又 E 为 点， 从而 面 是面 一个法向量， 由 (1)可知 ， 就是面 一个法向量 1 2 空间向量的运算 课时目标 借助图形理解空间向量及其运算的意义 握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线向量定理 握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法，能用向量的数量积判断向量共线与垂直 1空间向量的加法 设 a 和 b 是 空间两个向量，如图，过点 O 作 a， b，则平行四边形的对角线 _就是 a 与 b 的和，记作 _ 2空间向量的减法 a 与 b 的差定义为 _，记作 _，其中 b 是 b 的相反向量 3空间向量加减法的运算律 (1)结合律： (a b) c _. (2)交换律： a b _. 4数乘的定义 空间向量 a 与实数 的乘积是一个 _，记作 _ (1)| a| _. (2)当 _时， a 与 a 方向相同；当 _时， a 与 a 方向相反；当 _时， a 0. (3)交换律： a _( R) (4)分配律： (a b) _. ( )a _( R， R) (5)结合律： ( )a _( R， R) 5空间两个向量 a 与 b (b0) 共线的充分必要条件是存在实数 ，使得 _ 6空间向量的数量积：空间两个向量 a 和 b 的数量积是 _，等于 _，记作 _ 7空间向量的数量积的运算律 (1)交换律： ab _； (2)分配律： a( b c) _； (3) (ab ) _ ( R) 8利用空间向量的数量积得到的结论 (1)|a| _； (2)ab _； (3)a， b _ (a0 ， b0) 一、选择题 2 1在正方体 量表达式 化简后的结果是 ( ) 2四面体 ，设 M 是 中点，则 12( )化简的结果是 ( ) 3已知 O 是 在平面内一点， D 为 中点且 2 0，则 等于 ( ) D 2 4若 a， b 均为非零向量，则 ab |a|b|是 a 与 b 共线的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5在棱长为 1 的正四面体 ， E， F 分别是 中点，则 等于 ( ) A 0
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