【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第1-3章课时作业（打包22套）北师大版选修2-1
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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第1-3章课时作业（打包22套）北师大版选修2-1,步步高,学案导学,设计,学年,高中数学,课时,作业,功课,打包,22,北师大,选修
- 内容简介：
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1 5 夹角的计算 线间的夹角 面间的夹角 课时目标 理解两条异面直线的夹角、二面角及二面角的平面角的概念，能用向量方法解决线线、面面所成角的计算问题会灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题 1直线间的夹角包括两直线共面时的两直线的夹角和两直线异面时的异面直线的夹角，两直线的夹角范围是 _； 两条异面直线夹角的范围是 _，其大小可以通过这两条异面直线的 _的夹角来求若设两条异面直线的夹角为 ，它们的方向向量的夹角是 ，则有 _或 _. 2二面角的大小就是指二面角的平面角的大小，其范围是 _，二面角的平面角的大小 (或其补角的大小 )可以通过两个面的 _的夹角求得，二面角和两平面法向量的夹角的关系是 _ 一、选择题 1若直线 50 ，则 ) A 30 B 150 C 30 或 150 D以上均错 2在棱长为 1 的正方体 M， N 分别为 么异面直线 成角的余弦值为 ( ) A. 32 B. 1010 如果二面角 l 的平面角是锐角，点 P 到 ， 和棱 l 的距离分别为 2 2，4 和 4 2，则二面角的大小为 ( ) A 45 或 30 B 15 或 75 C 30 或 60 D 15 或 60 4从点 P 引三条射线 两条夹角均为 60 ，则二面角 B C 的余弦值是 ( ) C. 33 D. 32 5在正方体 E 为 平面 平面 成的锐二面角的余弦值为 ( ) C. 33 D. 22 6长方体 2， 1， E 为 异面直线 成角的余弦值为 ( ) 2 A. 1010 B. 3010 510 010 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7若两个平面 ， 的法向量分别是 n (1,0,1)， ( 1， 1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是 _ 8如图， 已知正三棱柱 M 是侧棱 异面直线 成的角的大小是 _ 9已知三棱柱 的射影为 中点，则异面直线 _ 三、解答题 10长方体 4， 2， E， F 分别 是面 1异面直线 成角的余弦值 11. 在三棱锥 S ， 90 ， 2， 4， 4 2. (1)证明： (2)求二面角 A S 的大小 3 能力提升 12. 如图所示，在正三棱柱 2 D 是 E 在 D 和平面 13. 如图，直三棱柱 D 为 E 为 E 3(1)证明： 异面直线 D 的公垂线； (2)设异面直线 D 的夹角为 45 ，求二面角 4 1异面直线所成的角可以利用两个向量的夹角来求 2二面角可以利用立体几何方法作出二面角的平面角，然后利用几何方法或向量进行计算；也可以直接利用两个平面的法向量来求，要注意角的范围 3利用向量解题，大致可以利用基底法和坐标法 5 夹角的计算 5 1 直线间的夹角 5 2 平面间的夹角 知识梳理 1 0， 2 0， 2 方向向量 2 0， 法向量 相等或互补 作业设计 1 A 2 D 5 如图所示，建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0)， M 1， 12， 1 ， C(0,1,0)， N 1， 1， 12 . 0， 12， 1 ， 1， 0， 12 . 12， | 52 |. ， 1252 52 25. 3 B 如图 (1)， (2)所示，分别是 P 在二面角 l 的内部、外部时的情况因为 ，所以 l，因为 l，所以 l 面 理， l 面 面 面 公共点，所以面 面 重合，即 A， B， C， P 在同一平面内， 在 ， 2 24 2 12，所以 30. 在 ， 44 2 22 ，所以 45 ，故 30 45 75( 图 (1)，或 45 30 15( 图 (2) 图 (1) 图 (2) 4 B 在射线 取一点 O，分 别在平面 作 A ， A 交 、 F，则 所求二面角的平面角 ，令 1，则由题意可求得， 32 ， 3434 12 32 32 13. 5 B 6 建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为 1， 则 (1,0,1)， (1,1， 12) 设平面 法向量 (x， y， z)， 则 0， 0， x z 0x y 0. 解得 x z，y 令 z 1， ( 1， 12， 1) 平面 一个法向量为 (0,0,1)， 11 14 11 23. 6 B 建立坐标系如图 则 A(1,0,0)， E(0,2,1)， B(1,2,0)， ,2,2) ( 1,0,2)， ( 1,2,1)， ， | | 3010 E 所成角的余弦值为 3010 . 7 60 解析 n， nv|n|v| 12 2 12， n， 120. 故两平面所成的锐二面角为 60. 8 90 解析 7 建立如图所示的坐标系，设正三棱柱的棱长为 1，则 B 32 ， 12， 0 ， M 32 ， 12， 12 ， 32 ， 12， 1 ， 因此 32 ， 12， 1 ， 0， 1， 12 ，设异面直线 M 所成的角为 ， 则 |， | 0 12 12| | 0， 90. 析 建立 如图所示的空间直角坐标系，设 1D 平面 32 ， 1 知 12. 故 0， 0， 12 32 ， 0， 0 ， B 0， 12， 0 ， 32 ， 0， 12 ， 32 ， 12， 0 ， ， 34. 又 ， ， 故异面直线 4. 10解 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 8 则 A(2,0,0)， B(2,4,0)， ,4,2)， ,0,2)， E(1,2,2)， F(1,4,1)， ( 1,4,1)， ( 1， 2,2)， | 18 3 2， | 9 3， 1 8 2 5， ， 53 23 5 218 . 异面直线所成角的范围是 0， 2 ， 设 成角为 ， 则 |， | 5 218 . 11 (1)证明 由已知 90 ，以 C 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,2,0)， B(4,0,0)， C(0,0,0)， S(0,2,2 3)， 则 (0， 2， 2 3)， ( 4,0,0)， 0， (2)解 90 ， 平面 (0,0,2 3)是平面 法向量 设侧面 法向量为 n (x， y， z)， (0， 2， 2 3)， ( 4,0,0) 9 n 0， n 0， 2y 2 3z 0， 4x 0， x 0.令 z 1，则 y 3， 则得平面 一个法向量 n (0， 3， 1)， ， n n| n| 2 32 32 12， 即二面角 A S 的大小为 60. 12解 如图所示， 设 O 是 中点，以 O 为原点建立空间直角坐标系，不妨设 2，则 2，相关各点的坐标分别是 A(0， 1,0)， B( 3， 0,0)， ,1， 2)， D 32 ， 12， 2 B ( 3， 1,0)， (0,2， 2)， ( 32 ， 12， 2) 设平面 n (x， y， z)，则有 n 3x y 0，n 2y 2z 0，解 得 x 33 y， z 2y， 故可取 n (1， 3， 6) 所以 n， n n| | 2 310 3 105 . 由此可知，直线 平面 05 . 13 (1)证明 以 B 为 坐标原点，射线 x 轴正半轴、 y 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设 2，则 A(2,0,0)， 10 ,2,0)， D(0,1,0)， E(12， 32， 0)又设 C(1,0， c)，则 (12， 12， 0)， (2，2,0)， (1， 1， c) 于是 0， 0，故 E， D. 所以 异面直线 D 的公垂线 (2)解 因为 ， 等于异面直线 D 的夹角，故 | |5 ， 即 2 2 2 22 4. 解得 c 2，故 ( 1,0， 2) 又 (0,2,0)， 所以 ( 1,2， 2) 设平面 m (x， y， z)， 则 m 0， m 0， 即 x 2y 2z 0
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