2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一（打包17套）新人教版
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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一（打包17套）新人教版,全国高校,自主,招生,数学模拟,试卷,打包,17,新人
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用心 爱心 专心 1 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷三 一、选择题（ 36 分） 1函数 254()2 x 在 ( ,2) 上的最小值是 （ ） A 0 B 1 C 2 D 3 2设 2,4)A ， 2 4 0 B x x a x ，若 ，则实数 a 的取值范围为 （ ） A 1,2) B 1,2 C 0,3 D 0,3) 3甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0分，比赛进行到有一人 比对方多 2分或打满 6局时停止设甲在每局中获胜的概率为 23，乙在每局中获胜的概率为13 ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 的期望 E 为 （） A. 24181B. 26681C. 27481D. 6702434若三个棱长均为整数（单位： 正方体的表面积之和为 564 这三个正方体的体积之和为 （ ） A. 764 86 B. 764 C. 586 64 D. 586 方程组 0,0,0x y zx y z zx y y z x z y 的有理数解 ( , , )x y z 的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6设 的内角 所对的边 , c o t c o c o t c o B的取值范围是 （ ） A. (0, ) B. 51(0, )2C. 5 1 5 1( , )22D. 51( , )2 二、填空题（ 54 分，每小题 9分） 7设 ()f x ax b，其中 ,( ) ( )f x f x，1 ( ) ( ( )x f f x ， 1,2,3,n ，若7 ( ) 1 2 8 3 8 1f x x，则 . 用心 爱心 专心 2 题 15 图 8设 ( ) c o s 2 2 (1 c o s )f x x a x 的最小值为 12，则 a 9将 24个志愿者名额分配给 3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种 10设数列 n 项和1( 1)nn ， 1,2,n ，则通项 11设 () 上的函数，若 (0) 2008f ，且对任意 xR ，满足 ( 2 ) ( ) 3 2 xf x f x ， ( 6 ) ( ) 6 3 2 xf x f x ，则 )2008(f = 12一个半径为 1的小球在一个内壁棱长为 46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 12一个半径为 1的小球在一个内壁棱长为 46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 14解不等式 1 2 1 0 8 6 422l o g ( 3 5 3 1 ) 1 l o g ( 1 )x x x x x 15如题 15 图， P 是抛物线 2 2上的动点，点 在 y 轴上，圆 22( 1) 1内切于 ，求 面积的最小值 用心 爱心 专心 3 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷三 参考答案 1解 当 2x 时， 20x，因此 21 ( 4 4 ) 1( ) ( 2 )22x x 12 ( 2 )2 2 ，当且仅当 1 22 时上式取等 号而此方程有解 1 ( , 2)x ，因此 () ,2)上的最小值为 2 解法一 因 2 40x 有两个实根 21 424 ， 22 424 ， 故 等价于1 2x 且2 4x ，即 24224 且 24424 ， 解之得 03a 解 法 二 （ 特 殊 值 验 证 法 ） 令 3 , 1 , 4 ,a B B A ，排除 C ，令1 1 7 1 1 71 , , 22 ， 排除 A、 B，故选 D。 解法三 （根 的 分 布 ） 由 题 意 知 2 40x 的 两 根 在 2,4)A 内，令2( ) 4f x x a x 则2) 0(4) 0 解之得： 03a 2解法一 依题意知， 的所有可能值为 2， 4， 6. 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 222 1 5( ) ( )3 3 9 用心 爱心 专心 4 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响从而有 5( 2)9P ， 4 5 2 0( 4 ) ( ) ( )9 9 8 1P ， 24 1 6( 6 ) ( )9 8 1P ， 故 5 2 0 1 6 2 6 62 4 69 8 1 8 1 8 1E 解法二 依题意知， 的所有可能值为 2， 4， 6. 令k 局比赛中获胜，则k 局比赛中获胜 由独立性与互不相容性得 1 2 1 2 5( 2 ) ( ) ( ) 9P P A A P A A ， 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4( 4 ) ( ) ( ) ( ) ( )P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A 332 1 1 2 2 02 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 8 1 ， 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4( 6 ) ( ) ( ) ( ) ( )P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A 222 1 1 64 ( ) ( )3 3 8 1， 故 5 2 0 1 6 2 6 62 4 69 8 1 8 1 8 1E 3解 设这三个正方体的棱长分别为 ,有 2 2 26 5 6 4 ， 2 2 2 94 ，不妨设 1 10 ，从而 2 2 2 23 9 4c a b c ， 2 31c 故 6 10c c 只能取 9，8， 7， 6 若 9c ，则 2 2 29 4 9 1 3 ，易知 2a ， 3b ，得一组解 ( , , ) (2 , 3, 9 ) 若 8c ，则 22 9 4 6 4 3 0 ， 5b 但 22 30b ， 4b ，从而 4b 或 5若 5b ，则 2 5a 无解，若 4b ，则 2 14a 无解此时无解 若 7c ，则 22 9 4 4 9 4 5 ，有唯一解 3a ， 6b 若 6c ，则 22 9 4 3 6 5 8 ，此时 2 2 22 5 8b a b ， 2 29b 故 6b ，但6 ，故 6b ，此时 2 5 8 3 6 2 2a 无解 用心 爱心 专心 5 综上，共有两组解 2,3,9 或 3,6, 体积为 3 3 31 2 3 9 7 6 4V 3 32 3 6 7 5 8 6V 4解 若 0z ，则 y ，解得 00 ，或 ， 若 0z ，则由 0z得 1 由 0x y z 得 z x y 将代入 0xy yz xz y 得 22 0x y xy y 由得 1，代入化简得 3( 1)( 1) 0y y y . 易知 3 10 无有理数根，故 1y ，由得 1x ，由得 0z ，与 0z 矛盾，故该方程组共有两组有理数解 0,0,0 或 1,1, 5解 设 ,q ，则 2,b aq c ，而 s i n c o t c o s s i n c o s c o s s i ns i n c o t c o s s i n c o s c o s s i A A C A B B C B C s i n ( ) s i n ( ) s i ns i n ( ) s i n ( ) s i B B A A a 因此，只需求 q 的取值范围 因 ,大边只能是 a 或 c ，因此 ,需且只需 a b c 且 b c a 即有不等式组 22,a aq aq a 即 221 0,1 解得1 5 5 1 ,225 1 5 1 或从而 5 1 5 122q，因此所求的取值范围是 5 1 5 1( , )22 用心 爱心 专心 6 6解 由题意知 12( ) ( 1 )n n x a x a a a b 11nn aa x ， 由7 ( ) 1 2 8 3 8 1f x x得 7 128a ， 7 1 3811a ，因此 2a ， 3b ， 5 7解 2( ) 2 c o s 1 2 2 c o sf x x a a x 2212 ( c o s ) 2 122ax a a ， (1) 2a 时， ()x 时取最小值 14a ； (2) 2a 时， ()x 时取最小值 1； (3) 22a 时， ()取最小值21 212 又 2a 或 2a 时， ()2， 故2112122 ，解得 23a ， 23a (舍去 ) 8解法一 用 4条棍子间的空隙代表 3个学校，而用 表示名额如 | | | | 表示第一、二、三个学校分别有 4， 18， 2个名额 若把每个“ ”与每个“ | ”都视为一个位置，由于左右两端必须是“”，故不同的分配方法相 当于 24 2 26 个位置（两端不在内）被 2个“”占领的一种“占位法” “每校至少有一个名额的分法”相当于在 24 个“ ”之间的 23 个空隙中选出 2 个空隙插入“”，故有 223C 253种 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种 综上知，满足条件的分配方法共有 253 31 222种 解法二 设分配给 3 个学校的名额数分别为1 2 3,x x x，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程 1 2 3 24x x x 的正整数解的个数，即方程1 2 3 21x x x 的非负整数解的个数，它等于 3个不同元素中取21个元素的可重组合： 2 1 2 1 23 2 3 2 3H C C 2 5 3 用心 爱心 专心 7 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31种 综上知，满足条件的分配方法共有 253 31 222种 9解 1 1 1 1( 1 ) ( 2 ) ( 1 )n n n n S a an n n n ， 即 2nn )1( 111)2)(1( 221=)1( 1)2)(1( 2 n， 由此得 2)1( 1)2)(1( 1( 1 令 1( 1) ，111122 (1 0a)， 有1 12，故 12n ，所以)1( 121 10解法一 由题设条件知 ( 2 ) ( ) ( ( 4 ) ( 2 ) ) ( ( 6 ) ( 4 ) ) ( ( 6 ) ( ) )f x f x f x f x f x f x f x f x 243 2 3 2 6 3 2 3 2x x x x ， 因此有 ( 2 ) ( ) 3 2 xf x f x ，故 ( 2 0 0 8 ) ( 2 0 0 8 ) ( 2 0 0 6 ) ( 2 0 0 6 ) ( 2 0 0 4 ) ( 2 ) ( 0 ) ( 0 )f f f f f f f f 2 0 0 6 2 0 0 4 23 ( 2 2 2 1 ) ( 0 )f 1 0 0 3 1413 ( 0 )41 f 20082 2007 解法二 令 ( ) ( ) 2 xg x f x，则 2( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) 2 2 3 2 3 2 0x x x xg x g x f x f x ， 6( 6 ) ( ) ( 6 ) ( ) 2 2 6 3 2 6 3 2 0x x x xg x g x f x f x ， 即 ( 2 ) ( ) , ( 6 ) ( )g x g x g x g x ， 故 ( ) ( 6 ) ( 4 ) ( 2 ) ( )g x g x g x g x g x ， 得 ()的周期函数， 所以 2 0 0 8 2 0 0 8 2 0 0 8( 2 0 0 8 ) ( 2 0 0 8 ) 2 ( 0 ) 2 2 2 0 0 7f g g 用心 爱心 专心 8 答 12 图 1 答 12 图 2 11解 如答 12图 1，考虑小球挤在一个角时的情况， 记小球半径为 r ，作平面1 1 1平面 小球相切于点 D ，则小球球心 O 为正四面体1 1 1P A 中心，1 1 1 B C 面，垂足 D 为1 1 1 因1 1 1 1 1 113P A B C A B P D 1 1 14 O A B 1 1 114 3 A B D ， 故 44D r，从而 43P O P D O D r r r 记此时小球与面 接1 2 2 2 211 ( 3 ) 2 2P P P O O P r r r 考虑小球与正四面体的一个面 (不妨取为 切时的情况，易知小球在面 为1答 12 图 2记正四面体 的棱长为 a ，过1A于 M 因1 6，有11 3c o s 2 2 62P M P P M P P r r ，故小三角形的边长1 2 2 6P E P A P M a r 小球与面 答 12图2中阴影部分） 1 223 ( ( 2 6 ) )4 a a r 23 2 6 3ar r 又 1r ， 46a ，所以 1 2 4 3 6 3 1 8 3P A B P E 由对称性，且正四面体共 4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 72 3 三、解答题（本题满分 60分，每小题 20分） 12证 ()y )0( k 的三个交点如答 13图所示，且在 3( , )2内相切，其切点为 ( , A ， 3( , )2 5分 用心 爱心 专心 9 由于 ( ) x x ， 3( , )2x ，所以 ，即 10分 因此 c o s c o ss i n s i n 3 2 s i n 2 c o s 14 15分 22co s co s21 214 20分 解法一 由 44221 l o g ( 1 ) l o g ( 2 2 ) ，且20, ) 上为增函数，故原不等式等价于 1 2 1 0 8 6 43 5 3 1 2 2x x x x x 即 1 2 1 0 8 6 43 5 3 2 1 0x x x x x 5分 分组分解 12 10 8x x x 10 8 62 2 2x x x 8644 4 4x x x 6 4 2x x x 4210 ， 8 6 4 2 4 2( 2 4 1 ) ( 1 ) 0x x x x x x ， 10分 所以 4210 ， 221 5 1 5( ) ( ) 022 15 分 所以 2 152x ，即 152x 或 152x 故原不等式解集为 5 1 5 1( , ) ( , )22 20分 解法二 由 44221 l o g ( 1 ) l o g ( 2 2 ) ，且20, ) 上为增函数，故原不等式等价于 用心 爱心 专心 10 1 2 1 0 8 6 43 5 3 1 2 2x x x x x 5分 即 6 4 2 2 2 3 22621 3 3 1 2
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