2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一（打包17套）新人教版
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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一（打包17套）新人教版,全国高校,自主,招生,数学模拟,试卷,打包,17,新人
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用心 爱心 专心 1 2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷二 一、填空题（ 64 分） 1设集合 ,4321 ，若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为8,5,3,1B ，则集合 A 2函数11)(2 3设 为正实数， 2211 32 )(4)( ，则 4如果 )c o s( o s 3355 ， )2,0 ，那么 的取值范围是 5现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 （用数字作答） 6在四面体 ，已知 60C D ， 3 2则四面体 外接球的半径为 7直线 012 抛物线 2 交于 两点， C 为抛物线上的一点， 90则点 C 的坐标为 8已知 )95,2,1(216 2 0 032 0 0 数列 二、解答题（ 56 分） 9 （ 16 分 ） 设 函 数 |)1)( 实数 )(, 满足 )21()( 1610( 求 的值 用心 爱心 专心 2 10（ 20 分）已知数列 321R 且 )1t ， 12 1)1(2)32(11 n( N)* （ 1）求数列 （ 2）若 0t ，试比较1 11（ 20 分）作斜率为31的直线 l 与椭圆 C ： 143622 于 两点（如图所示），且)2,23(P 在直线 l 的左上方 （ 1）证明： 内切圆的圆心在一条定直线上； （ 2）若 60求 面积 2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷二 参考答案 1 3,0,2,6 . 提示：显然，在 A 的所有三元子集中，每个元素均出现了 3 次，所以 15853)1()(3 4321 故 54321 是集合 A 的四个元素分别为 5（ 1） 6， 5 3 2， 5 5 0，y x O P A B 用心 爱心 专心 3 5 8 3，因此，集合 6,2,0,3A 2 2( , (1 , )2 . 提示：设22, x，且4，则 )4s 21c o ss a nc o 设 )4 u，则 12 u ，且 0u ，所以 ),1(22,(1)( 3 提示：由 2211 2 又 23322 )(8)(24)(44)(4)( ， 即 2 于是 2 再由不等式 中等号成立的条件，得 1与 联立解得,12,12,12,12故 1 4 45,4 . 提示：不等式 )c o s( o s 3355 等价于 5353 c o o . 又53 71)( 是 ),( 上的增函数，所以 ，故 45242 Z) 因为 )2,0 ，所以 的取值范围是 45,4 5 15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形： （ 1）有一个项目有 3 人参加，共有 3600!5!5 1537 用心 爱心 专心 4 （ 2）有两个项目各有 2 人参加，共有 1 1 4 0 0!5!5)(21 252527 所以满足题设要求的方案数为 15000114003600 6 3 . 提示：设四面体 外接球球心为 O ，则 O 在过 外心 N 且垂直于平面 垂线上由题设知， 正三角形，则点 N 为 中心设 分别为 的中点，则 N 在 ，且 ， 因为 60C D A ，设 平面 成角为 ，可求得32s i n,31c o s 在 ， 332 33232,121 由余弦定理得 231312)3(1 222 故 2四边形 外接圆的直径 3322 故球 O 的半径 3R 7 )2,1( 或 )6,9( 提示： 设 )2,(),(),( 22211 ,4 ,0122 0482 则 821 421 又 12,122211 以 182)(2 2121 11)(24 212121 因为 90所以 0即有 0)2)(2()( 212212 即 0)(24)( 21212212214 即 031614 24 A B C D O P M N 用心 爱心 专心 5 即 0)14)(34( 22 显然 0142 否则 01222 则点 C 在直线 012 ，从而点 C 与点 重合所以 0342 解得 3,121 故所求点 C 的坐标为 )2,1( 或 )6,9( 8 15. 提示： 54003200200 23 要使 )951( 有6 5400,3200 均为整数，从而 4|6 n 当 n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80 时，3200n和6 5400 n均为非负整数，所以有 14 个 当 86n 时， 863886200 23 ，在 C!114!86 !20086200 中， !200 中因数 2 的个数为 1 9 722 0 022 0 022 0 022 0 022 0 022 0 022 0 0 765432 ， 同理可计算得 !86 中因数 2 的个数为 82， !114 中因数 2 的个数为 110，所以 的个数为 511082197 ，故86 当 92n 时， 9203692200 23 ，在 C!108!92 !20092200 中，同样可求得 !92 中因数 2 的个数为88, !108 中因数 2 的个数为 105,故 的个数为 410588197 ，故92 因此，整数项的个数为 15114 9因为 )21()( 以 |)2|)21|)121|)1| 所以 21 1)2)(1( 又因为 ，所 以 21 所以 1)2)(1( 又由 |)1)( 意义知 10 a ，从而 2110 于是 2110 所以 1210)2(6)2(6)1(101)21610( 用心 爱心 专心 6 从而 210)2(6l g |210)2(6l g |)21610( 又 21610( 所以 210)2(6 故 16210)2(6 得31b （舍去） 把31)2)(1( 得52a 所以 52a，31b 10（ 1）由原式变形得 112 )1)(1(2 11 ta 则 2111)1(212)1(21111 记11 ，则 221 n nn 21221111 又 211,2111 11 而有 221)1(11 1 n ， 故 11，于是有 1)1(2 （ 2）(21 )1(2 11 )1)(1()1()1( )1(2 11 t )()()1()1( )1(2)1()1( )1(2 11 t 132212 )1()1()1( )1(2 t ， 显然在 )1(0 恒有 01 nn nn 1 用心 爱心 专心 7 11（ 1）设直线 l ： 31， ),(),(2211 将 31代入 143622 ，化简整理得 036962 22 于是有2 369,322121 32,2322211 则 12121 2 2 112223 2 3 2( 2 ) ( 3 2 ) ( 2 ) ( 3 2 )( 3 2 ) ( 3 2 )P A P x y ， 上式中， 分子 )23)(231()23)(231( 1221 (26)(22(32 2121 )2(26)3)(22(2 36932 2 01226263123 22 从而， 0 又 P 在直线 l 的左上方，因此， 的角平分线是平行于 y 轴的直线，所以 内切圆的圆心在直 线 23x 上 （ 2）若 60，结合（ 1）的结论可知 3,3 直线 方程为： )23(32 代入 143622 ，消去 y 得 0)3313(18)331(6914 2 它的两根分别是
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