2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一（打包17套）新人教版
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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一（打包17套）新人教版,全国高校,自主,招生,数学模拟,试卷,打包,17,新人
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用心 爱心 专心 1 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一 一、选择题（本题满分 36分，每小题 6分） 1. 如图，在正四棱锥 P 0，则二面角 A的平面角的余弦值为（ ） A. 71B. 71C. 21D. 212. 设实数 2xa|+|3x2a| 满足条件的 是（ ） A. 31,31B. 21,21C. 31,41D. 3， 3 3. 将号码分别为 1、 2、 9 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为 a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为 b。则使不等式 a2b+100成立的事件发生的概率等于（ ） A. 8152B. 8159C. 8160D. 81614. 设函数 f(x)=3。若实数 a、 b、 af(x)+bf(xc)=1对任意实数 a ） A. 21B. 21C. 1 D. 1 5. 设圆 2是两个定圆，动圆 P 与这两个定圆都相 切，则圆 P 的圆心轨迹不可能是（ ） 6. 已知 A 与 B 是集合 1， 2， 3， 100的两个子集，满足： A 与 B 的元素个数相同，且为 A n A 时总有 2n+2 B，则集合 A B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分 54分，每小题 9分） 7. 在平面直角坐标系内，有四个定点 A(3， 0)， B(1， 1)， C(0， 3)， D(1， 3)及一个动点 P，则 |最小值为 _。 8. 在 F 的中点， F=1， ， 33 若 2 则 夹角的余弦值等于 _。 9. 已知正方体 1，以顶点 32为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 _。 10. 已知等差数列 公差 ，等比数列 公比 的正有理数。若 a1=d，b1=321232221 是正整数，则 _。 11. 已知函数 )4541(2)c o s ()s )( f(x)的最小值为 _。 12. 将 2个 个 b 共 4个字母填在如图所示的 16 个小方格内，每个小方爱心 专心 2 格内至多填 1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有 _种（用数字作答）。 三、解答题（本题满分 60分，每小题 20分） 13. 设 1(1 ，求证：当正整数 n 2时， 0成立的事件 发生的概率等于（ D ） A. 8152B. 8159C. 8160D. 8161解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有 9种不同的结果，故基本事件总数为 92=81个。由不等式 a2b+100得 2(1)， 01 121 2)， 01 121 (3)，由此解得 143 k。对求导，得211 ，则2111|1 ，2211|2 ，于是直线 方程为 )(11(1211 ，即)(11()1( 12111 ，化简后得到直线 1( (4)。同用心 爱心 专心 8 理可求得直线 1( (5)。 (4)(5)得 022)11(212122 p ，因为 有21212 xx p (6)。将 (2)(3)两式代入 (6)式得 。 (4)+(5)得)11(2)11(2(2212221 (7) ，其中 111212121 xx 12)1(212)(2)(112122121222121221222122212221 入 (7)式得 232k)，而 ，得 2k。又由 143 点 ， 2)， (2， 点间的线段（不含端点）。 15. 设函数 f(x)对所有的实数 f(x+2 )=f(x)，求证：存在 4个函数 fi(x)(i=1， 2，3， 4)满足：（ 1）对 i=1， 2， 3， 4， fi(x)是偶函数，且对任意的实数 x，有 fi(x+ )=fi(x)；（ 2）对任意的实数 x，有 f(x)=f1(x)+f2(x)f3(x)f4(x) 证明：记2 )()()( ，2 )()()( ，则 f(x)=g(x)+h(x)，且 g(x)是偶函数， h(x)是奇函数，对任意的 x R， g(x+2 )=g(x)， h(x+2 )=h(x)。令2 )()()(1 ，202c o )()(2 k k )()(3 ，2022s )()(4 k 其中 k 为任意整数。 容易验证 fi(x)， i=1， 2， 3， 4是偶函数，且对任意的 x R， fi(x+ )=fi(x)， i=1， 2， 3，4。下证对任 意的 x R，有 f1(x)+f2(x)g(x)。当2k x 时，显然成立；当2时，因为2 )()()(c )( 121 ，而 )()2()2()1(223()23()( ，故对任意的 x R， f1(x)+f2(x)g(x)。 下证对任意的 x R，有 f3(x)f4(x)h(x)。当2时，显然成立；当 x=，h(x)=h(=h(2=h(=h( ，所以 h(x)=h(=0，而此时f3(x)f4(x)，故 h(x)=f3(x)f4(x)2时， )()2()2()1(223()23()( ，故用心 爱心 专心 9 )(2 )()(s 3 ，又 f4(x) ， 从 而 有h(x)=f3(x)f4(x) 于是，对任意的 x R，有 f3(x)f4(x)h(x)。综上所述，结论得 证。 用心 爱心 专心 1 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷七 一选择题（ 36分，每小题 6 分） 1、 函数 f(x)=)32(21 (A) (-， (B) (-， 1) (C) (1， + ) (D) (3， + ) 解：由 f(x)=u= 选 A 2、 若实数 x, x+5)2+(y 12)2=142，则 x2+(A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 解： B 3、 函数 f(x)=221 xx x (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解： A 4、 直线 134 91622 交于 A， 圆上点 P，使得 ，这样的点 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4 个 解：设 3 (00，所以只须求 x 令 x y= 中有 34 0 y R 0 3u 当33,334 u= 3 ，故 的最小值是 3 12、 使不等式 1+一切 x R 恒成立的负数 a 的取值范围是 。 解 ： 1+4 )1()2 1(c o 使得存在 t R，只要 x 1,m，就有 f(x+t) x 解： f(f(2函数的图象关于 x= 12 a 由知当 x= 1时 ,y=0，即 a b+c=0 由得 f(1) 1，由得 f(1) 1 用心 爱心 专心 6 f(1)=1，即工 +了 +以 =1，又 a b+c=0 a=41b=21c=41 f(x)=412141 2 5分 假设存在 t R，只要 x 1,m，就有 f(x+t) x 取 x=1时，有 f(t+1) 141(t+1)2+21(t+1)+41 1 4 t 0 对固定的 t ，取 x=m，有 f(t m) m 41 (t+m)2+21 (t+m)+41 m m2 t+1) 0 1 m 1 10 分 m 1 )4(4)4(1 =9 15分 当 t= 任意的 x 1,9，恒有 f(x 4) x=41(0x+9)=41(x 1)(x 9) 0 。 20分 另解： f(f(2函 数的图象关于 x= 12 a 由知当 x= 1时 ,y=0，即 a b+c=0 由得 f(1) 1，由得 f(1) 1 f(1)=1，即工 +了 +以 =1，又 a b+c=0 a=41b=21c=41 f(x)=412141 2 1(x+1)2 5分 由 f(x+t)=41(x+t+1)2 x 在 x 1,m上恒成立 4f(x+t)(x+(t+1)2 0当 x 1,m时，恒成立 令 x=1有 t 0 4 t 0 令 x=m 有 (m+1)t+( 0 当 t 时，恒有解 10分 令 t= 4得， 0m+9 0 1 m 9 15 分 即当 t= 4时，任取 x 1,9恒有 用心 爱心 专心 7 f(x=41(0x+9)=41(x 1)(x 9) 0 20分 用心 爱心 专心 1 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷三 一、选择题（ 36 分） 1函数 254()2 x 在 ( ,2) 上的最小值是 （ ） A 0 B 1 C 2 D 3 2设 2,4)A ， 2 4 0 B x x a x ，若 ，则实数 a 的取值范围为 （ ） A 1,2) B 1,2 C 0,3 D 0,3) 3甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0分，比赛进行到有一人 比对方多 2分或打满 6局时停止设甲在每局中获胜的概率为 23，乙在每局中获胜的概率为13 ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 的期望 E 为 （） A. 24181B. 26681C. 27481D. 6702434若三个棱长均为整数（单位： 正方体的表面积之和为 564 这三个正方体的体积之和为 （ ） A. 764 86 B. 764 C. 586 64 D. 586 方程组 0,0,0x y zx y z zx y y z x z y 的有理数解 ( , , )x y z 的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6设 的内角 所对的边 , c o t c o c o t c o B的取值范围是 （ ） A. (0, ) B. 51(0, )2C. 5 1 5 1( , )22D. 51( , )2 二、填空题（ 54 分，每小题 9分） 7设 ()f x ax b，其中 ,( ) ( )f x f x，1 ( ) ( ( )x f f x ， 1,2,3,n ，若7 ( ) 1 2 8 3 8 1f x x，则 . 用心 爱心 专心 2 题 15 图 8设 ( ) c o s 2 2 (1 c o s )f x x a x 的最小值为 12，则 a 9将 24个志愿者名额分配给 3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种 10设数列 n 项和1( 1)nn ， 1,2,n ，则通项 11设 () 上的函数，若 (0) 2008f ，且对任意 xR ，满足 ( 2 ) ( ) 3 2 xf x f x ， ( 6 ) ( ) 6 3 2 xf x f x ，则 )2008(f = 12一个半径为 1的小球在一个内壁棱长为 46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 12一个半径为 1的小球在一个内壁棱长为 46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 14解不等式 1 2 1 0 8 6 422l o g ( 3 5 3 1 ) 1 l o g ( 1 )x x x x x 15如题 15 图， P 是抛物线 2 2上的动点，点 在 y 轴上，圆 22( 1) 1内切于 ，求 面积的最小值 用心 爱心 专心 3 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷三 参考答案 1解 当 2x 时， 20x，因此 21 ( 4 4 ) 1( ) ( 2 )22x x 12 ( 2 )2 2 ，当且仅当 1 22 时上式取等 号而此方程有解 1 ( , 2)x ，因此 () ,2)上的最小值为 2 解法一 因 2 40x 有两个实根 21 424 ， 22 424 ， 故 等价于1 2x 且2 4x ，即 24224 且 24424 ， 解之得 03a 解 法 二 （ 特 殊 值 验 证 法 ） 令 3 , 1 , 4 ,a B B A ，排除 C ，令1 1 7 1 1 71 , , 22 ， 排除 A、 B，故选 D。 解法三 （根 的 分 布 ） 由 题 意 知 2 40x 的 两 根 在 2,4)A 内，令2( ) 4f x x a x 则2) 0(4) 0 解之得： 03a 2解法一 依题意知， 的所有可能值为 2， 4， 6. 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 222 1 5( ) ( )3 3 9 用心 爱心 专心 4 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响从而有 5( 2)9P ， 4 5 2 0( 4 ) ( ) ( )9 9 8 1P ， 24 1 6( 6 ) ( )9 8 1P ， 故 5 2 0 1 6 2 6 62 4 69 8 1 8 1 8 1E 解法二 依题意知， 的所有可能值为 2， 4， 6. 令k 局比赛中获胜，则k 局比赛中获胜 由独立性与互不相容性得 1 2 1 2 5( 2 ) ( ) ( ) 9P P A A P A A ， 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4( 4 ) ( ) ( ) ( ) ( )P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A 332 1 1 2 2 02 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 8 1 ， 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4( 6 ) ( ) ( ) ( ) ( )P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A 222 1 1 64 ( ) ( )3 3 8 1， 故 5 2 0 1 6 2 6 62 4 69 8 1 8 1 8 1E 3解 设这三个正方体的棱长分别为 ,有 2 2 26 5 6 4 ， 2 2 2 94 ，不妨设 1 10 ，从而 2 2 2 23 9 4c a b c ， 2 31c 故 6 10c c 只能取 9，8， 7， 6 若 9c ，则 2 2 29 4 9 1 3 ，易知 2a ， 3b ，得一组解 ( , , ) (2 , 3, 9 ) 若 8c ，则 22 9 4 6 4 3 0 ， 5b 但 22 30b ， 4b ，从而 4b 或 5若 5b ，则 2 5a 无解，若 4b ，则 2 14a 无解此时无解 若 7c ，则 22 9 4 4 9 4 5 ，有唯一解 3a ， 6b 若 6c ，则 22 9 4 3 6 5 8 ，此时 2 2 22 5 8b a b ， 2 29b 故 6b ，但6 ，故 6b ，此时 2 5 8 3 6 2 2a 无解 用心 爱心 专心 5 综上，共有两组解 2,3,9 或 3,6, 体积为 3 3 31 2 3 9 7 6 4V 3 32 3 6 7 5 8 6V 4解 若 0z ，则 y ，解得 00 ，或 ， 若 0z ，则由 0z得 1 由 0x y z 得 z x y 将代入 0xy yz xz y 得 22 0x y xy y 由得 1，代入化简得 3( 1)( 1) 0y y y . 易知 3 10 无有理数根，故 1y ，由得 1x ，由得 0z ，与 0z 矛盾，故该方程组共有两组有理数解 0,0,0 或 1,1, 5解 设 ,q ，则 2,b aq c ，而 s i n c o t c o s s i n c o s c o s s i ns i n c o t c o s s i n c o s c o s s i A A C A B B C B C s i n ( ) s i n ( ) s i ns i n ( ) s i n ( ) s i B B A A a 因此，只需求 q 的取值范围 因 ,大边只能是 a 或 c ，因此 ,需且只需 a b c 且 b c a 即有不等式组 22,a aq aq a 即 221 0,1 解得1 5 5 1 ,225 1 5 1 或从而 5 1 5 122q，因此所求的取值范围是 5 1 5 1( , )22 用心 爱心 专心 6 6解 由题意知 12( ) ( 1 )n n x a x a a a b 11nn aa x ， 由7 ( ) 1 2 8 3 8 1f x x得 7 128a ， 7 1 3811a ，因此 2a ， 3b ， 5 7解 2( ) 2 c o s 1 2 2 c o sf x x a a x 2212 ( c o s ) 2 122ax a a ， (1) 2a 时， ()x 时取最小值 14a ； (2) 2a 时， ()x 时取最小值 1； (3) 22a 时， ()取最小值21 212 又 2a 或 2a 时， ()2， 故2112122 ，解得 23a ， 23a (舍去 ) 8解法一 用 4条棍子间的空隙代表 3个学校，而用 表示名额如 | | | | 表示第一、二、三个学校分别有 4， 18， 2个名额 若把每个“ ”与每个“ | ”都视为一个位置，由于左右两端必须是“”，故不同的分配方法相 当于 24 2 26 个位置（两端不在内）被 2个“”占领的一种“占位法” “每校至少有一个名额的分法”相当于在 24 个“ ”之间的 23 个空隙中选出 2 个空隙插入“”，故有 223C 253种 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种 综上知，满足条件的分配方法共有 253 31 222种 解法二 设分配给 3 个学校的名额数分别为1 2 3,x x x，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程 1 2 3 24x x x 的正整数解的个数，即方程1 2 3 21x x x 的非负整数解的个数，它等于 3个不同元素中取21个元素的可重组合： 2 1 2 1 23 2 3 2 3H C C 2 5 3 用心 爱心 专心 7 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31种 综上知，满足条件的分配方法共有 253 31 222种 9解 1 1 1 1( 1 ) ( 2 ) ( 1 )n n n n S a an n n n ， 即 2nn )1( 111)2)(1( 221=)1( 1)2)(1( 2 n， 由此得 2)1( 1)2)(1( 1( 1 令 1( 1) ，111122 (1 0a)， 有1 12，故 12n ，所以)1( 121 10解法一 由题设条件知 ( 2 ) ( ) ( ( 4 ) ( 2 ) ) ( ( 6 ) ( 4 ) ) ( ( 6 ) ( ) )f x f x f x f x f x f x f x f x 243 2 3 2 6 3 2 3 2x x x x ， 因此有 ( 2 ) ( ) 3 2 xf x f x ，故 ( 2 0 0 8 ) ( 2 0 0 8 ) ( 2 0 0 6 ) ( 2 0 0 6 ) ( 2 0 0 4 ) ( 2 ) ( 0 ) ( 0 )f f f f f f f f 2 0 0 6 2 0 0 4 23 ( 2 2 2 1 ) ( 0 )f 1 0 0 3 1413 ( 0 )41 f 20082 2007 解法二 令 ( ) ( ) 2 xg x f x，则 2( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) 2 2 3 2 3 2 0x x x xg x g x f x f x ， 6( 6 ) ( ) ( 6 ) ( ) 2 2 6 3 2 6 3 2 0x x x xg x g x f x f x ， 即 ( 2 ) ( ) , ( 6 ) ( )g x g x g x g x ， 故 ( ) ( 6 ) ( 4 ) ( 2 ) ( )g x g x g x g x g x ， 得 ()的周期函数， 所以 2 0 0 8 2 0 0 8 2 0 0 8( 2 0 0 8 ) ( 2 0 0 8 ) 2 ( 0 ) 2 2 2 0 0 7f g g 用心 爱心 专心 8 答 12 图 1 答 12 图 2 11解 如答 12图 1，考虑小球挤在一个角时的情况， 记小球半径为 r ，作平面1 1 1平面 小球相切于点 D ，则小球球心 O 为正四面体1 1 1P A 中心，1 1 1 B C 面，垂足 D 为1 1 1 因1 1 1 1 1 113P A B C A B P D 1 1 14 O A B 1 1 114 3 A B D ， 故 44D r，从而 43P O P D O D r r r 记此时小球与面 接1 2 2 2 211 ( 3 ) 2 2P P P O O P r r r 考虑小球与正四面体的一个面 (不妨取为 切时的情况，易知小球在面 为1答 12 图 2记正四面体 的棱长为 a ，过1A于 M 因1 6，有11 3c o s 2 2 62P M P P M P P r r ，故小三角形的边长1 2 2 6P E P A P M a r 小球与面 答 12图2中阴影部分） 1 223 ( ( 2 6 ) )4 a a r 23 2 6 3ar r 又 1r ， 46a ，所以 1 2 4 3 6 3 1 8 3P A B P E 由对称性，且正四面体共 4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 72 3 三、解答题（本题满分 60分，每小题 20分） 12证 ()y )0( k 的三个交点如答 13图所示，且在 3( , )2内相切，其切点为 ( , A ， 3( , )2 5分 用心 爱心 专心 9 由于 ( ) x x ， 3( , )2x ，所以 ，即 10分 因此 c o s c o ss i n s i n 3 2 s i n 2 c o s 14 15分 22co s co s21 214 20分 解法一 由 44221 l o g ( 1 ) l o g ( 2 2 ) ，且20, ) 上为增函数，故原不等式等价于 1 2 1 0 8 6 43 5 3 1 2 2x x x x x 即 1 2 1 0 8 6 43 5 3 2 1 0x x x x x 5分 分组分解 12 10 8x x x 10 8 62 2 2x x x 8644 4 4x x x 6 4 2x x x 4210 ， 8 6 4 2 4 2( 2 4 1 ) ( 1 ) 0x x x x x x ， 10分 所以 4210 ， 221 5 1 5( ) ( ) 022 15 分 所以 2 152x ，即 152x 或 152x 故原不等式解集为 5 1 5 1( , ) ( , )22 20分 解法二 由 44221 l o g ( 1 ) l o g ( 2 2 ) ，且20, ) 上为增函数，故原不等式等价于 用心 爱心 专心 10 1 2 1 0 8 6 43 5 3 1 2 2x x x x x 5分 即 6 4 2 2 2 3 22621 3 3 1 2 2 ( 1 ) 2 ( 1 )x x x x x ， )1(2)1()1(2)1(232232 10 分 令 3( ) 2g t t t，则不等式为 221( ) ( 1)g g ， 显然 3( ) 2g t t t在 R 上为增函数，由此上面不等式等价于 221 1， 15分 即 2 2 2( ) 1 0 ，解得 2 512x ( 2 512x 舍去 )， 故原不等式解集为 5 1 5 1( , ) ( , )22 20分 13解 设00( , ) , ( 0 , ) , ( 0 , )P x y B b C c，不妨设 直线 00b ， 化简得 0 0 0( ) 0y b x x y x b 又圆心 (1,0) 到 ， 0022 1()y b x by b x ， 5分 故 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0( ) ( ) 2 ( )y b x y b x b y b x b ， 易知0 2x ，上式化简得 20 0 0( 2 ) 2 0x b y b x ， 同理有 20 0 0( 2 ) 2 0x c y c x 10 分 所以002 2 ， 00 2x ，则 222 0 0 020448() ( 2 )x y x 因00( , )P x 2002则 用心 爱心 专心 11 22 0204() ( 2 )x ， 002 2 15 分 所以00 0 00014( ) ( 2 ) 42 2 2xS b c x x 2 4 4 8 当 20( 2) 4x 时，上式取等号，此时004, 2 2 因此最小值为 8 20分 用心 爱心 专心 1 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷九 一、 选择题（ 36 分，每小题 6分） 1设全集是实数，若 A=x| x 2 0， B=x|102=10x， 则 A ) (A)2 (B)1 (C)x|x 2 (D) 2设 0， 0， 且 则 3的 取值范围是 ( ) (A)(2k+6， 2k+3)， kZ (B)( 2 6， 23)， k Z (C)(2k+56 ， 2k+)， k Z (D)(2k+4， 2k+3)(2 k+56 ， 2k+)，k Z 3已知点 x2的左顶点，点 在双曲线的右分支上， ) (A) 33 (B) 3 32 (C)3 3 (D)6 3 4给定正数 p， q， a， b， c，其中 pq，若 p， a， q 是等比数列， p， b， c， q 是等差数列，则一元二次方程 ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 5平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线 y=53x+45的距离中的最小值是 ( ) (A) 34170 (B) 3485 (C) 120 (D) 130 6设 =以 ， 3， 7， 9为根的方程是 ( ) (A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4x3+x2x+1=0 (C) x4x3x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2x1=0 二填空题（本题满分 54分，每小题 9分） 1 =_ 2设 (3 x)n 的展开式中 x 项的系数 (n=2， 3， 4， )，则 (323+3)=_. 3等比数列 a+a+a+_. 4在椭圆 (a b 0)中，记左焦点为 F，右顶点为 A，短轴上方的端点为 12 ，则 _. 用心 爱心 专心 2 5一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为 a，则这个球的体积是_. 6如果 ： (1)a， b， c， 1， 2， 3， 4； (2)ab， bc， cd， da； (3)a是 a， b， c， 那么，可以组成的不同的四位数_ 三、解答题 (60分，每小 题 20分 ) 1设 +2+3+ +n， nN*，求 f(n)= Sn(n+32)的最大值 2若函数 f(x)= 1232在区间 a， b上的最小值为 2a，最大值为 2b，求 a， b 3已知 x2+和 (a b 0)试问：当且仅当 a， ，均存在以 P 为顶点 ，与 与 证明你的结论 用心 爱心 专心 3 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷九 参考答案 一选择题（本题满分 36分，每小题 6分） 1设全集是实数，若 A=x| x 2 0， B=x|102=10x， 则 A ) (A)2 (B)1 (C)x|x 2 (D) 解： A=2， B=2， 1，故选 D 2设 0， 0， 且 则 3的取值范围是 ( ) (A)(2k+6， 2k+3)， kZ (B)( 2 6， 23)， kZ (C)(2k+56 ， 2k+)， k Z (D)(2k+4， 2k+3)(2 k+56 ， 2k+)，kZ 解：满足 0， 0 的 的范围是 (2k+2， 2k+ )，于是 3的取值范围是(26， 23)， 满足 3 的取值范围为 (2k+4 ， 2k+54 )故所求范围是 (2k+4 ，2k+3)(2 k+56 ， 2k+)， kZ选 D 3已知点 x2的左顶点，点 在双曲线的右分支上， ) (A) 33 (B) 3 32 (C)3 3 (D)6 3 解： A( 1， 0)， y= 33 (x+1)，代入双曲线方程，解得 B(2， 3)， S=3 3选 C 4给定正数 p， q， a， b， c，其中 pq，若 p， a， q 是等比数列， p， b， c， 一元二次方程 ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 解： a2=b+c=p+q b=2p+ c=p+2 14 =bc=19(2p+q)(p+2q)=29(p q)2|b|，从而 f(a)是最小值 f(b)= 1232=3932=2a0与 a0矛盾故舍 0 ab此时，最大值为 f(a)=2b，最小值为 f(b)=2a 用心 爱心 专心 6 1232=2a 1232=2b相减得 a+b=4解得 a=1， b=3 a， b=1， 3或 2 17， 134 3已知 x2+和 (a b 0)试问：当且仅当 a， ，均存在以 P 为顶点，与 与 证明你的结论 解：设 0外切且与 知圆的外切平行四边形是菱形即 是 设 P( ， Q( +90 )， +90 )，则在直角三角形 有 用 面积 )即 1 但1，即1 同理， 1相加得1 反之，若 1 成立，则对于椭圆上任一点 P( ，取椭圆上点Q( +90 )， +90 )，则 1，1，于是1，此时 0相切即存在满足条件的平 行四边形 故证 用心 爱心 专心 1 2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷二 一、填空题（ 64 分） 1设集合 ,4321 ，若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为8,5,3,1B ，则集合 A 2函数11)(2 3设 为正实数， 2211 32 )(4)( ，则 4如果 )c o s( o s 3355 ， )2,0 ，那么 的取值范围是 5现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 （用数字作答） 6在四面体 ，已知 60C D ， 3 2则四面体 外接球的半径为 7直线 012 抛物线 2 交于 两点， C 为抛物线上的一点， 90则点 C 的坐标为 8已知 )95,2,1(216 2 0 032 0 0 数列 二、解答题（ 56 分） 9 （ 16 分 ） 设 函 数 |)1)( 实数 )(, 满足 )21()( 1610( 求 的值 用心 爱心 专心 2 10（ 20 分）已知数列 321R 且 )1t ， 12 1)1(2)32(11 n( N)* （ 1）求数列 （ 2）若 0t ，试比较1 11（ 20 分）作斜率为31的直线 l 与椭圆 C ： 143622 于 两点（如图所示），且)2,23(P 在直线 l 的左上方 （ 1）证明： 内切圆的圆心在一条定直线上； （ 2）若 60求 面积 2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷二 参考答案 1 3,0,2,6 . 提示：显然，在 A 的所有三元子集中，每个元素均出现了 3 次，所以 15853)1()(3 4321 故 54321 是集合 A 的四个元素分别为 5（ 1） 6， 5 3 2， 5 5 0，y x O P A B 用心 爱心 专心 3 5 8 3，因此，集合 6,2,0,3A 2 2( , (1 , )2 . 提示：设22, x，且4，则 )4s 21c o ss a nc o 设 )4 u，则 12 u ，且 0u ，所以 ),1(22,(1)( 3 提示：由 2211 2 又 23322 )(8)(24)(44)(4)( ， 即 2 于是 2 再由不等式 中等号成立的条件，得 1与 联立解得,12,12,12,12故 1 4 45,4 . 提示：不等式 )c o s( o s 3355 等价于 5353 c o o . 又53 71)( 是 ),( 上的增函数，所以 ，故 45242 Z) 因为 )2,0 ，所以 的取值范围是 45,4 5 15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形： （ 1）有一个项目有 3 人参加，共有 3600!5!5 1537 用心 爱心 专心 4 （ 2）有两个项目各有 2 人参加，共有 1 1 4 0 0!5!5)(21 252527 所以满足题设要求的方案数为 15000114003600 6 3 . 提示：设四面体 外接球球心为 O ，则 O 在过 外心 N 且垂直于平面 垂线上由题设知， 正三角形，则点 N 为 中心设 分别为 的中点，则 N 在 ，且 ， 因为 60C D A ，设 平面 成角为 ，可求得32s i n,31c o s 在 ， 332 33232,121 由余弦定理得 231312)3(1 222 故 2四边形 外接圆的直径 3322 故球 O 的半径 3R 7 )2,1( 或 )6,9( 提示： 设 )2,(),(),( 22211 ,4 ,0122 0482 则 821 421 又 12,122211 以 182)(2 2121 11)(24 212121 因为 90所以 0即有 0)2)(2()( 212212 即 0)(24)( 21212212214 即 031614 24 A B C D O P M N 用心 爱心 专心 5 即 0)14)(34( 22 显然 0142 否则 01222 则点 C 在直线 012 ，从而点 C 与点 重合所以 0342 解得 3,121 故所
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