2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一（打包17套）新人教版
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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一（打包17套）新人教版,全国高校,自主,招生,数学模拟,试卷,打包,17,新人
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用心 爱心 专心 1 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷五 一选择题 (本题满分 36分，每小题 6分 ) 1设锐角 使关于 x 的方程 0 有重根，则 的弧度数为 ( ) A 6 B 12或 512 C 6或 512 D 12 2已知 M=(x， y)|， N=(x， y)|y=mx+b若对于所有的 m R，均有 M N，则 b 的 取 值 范 围 是 ( ) A 62 ， 62 B ( 62 ， 62 ) C ( 2 33 ， 2 33 D 2 33 ，2 33 3不等式 1+120的解集为 A 2， 3) B (2， 3 C 2， 4) D (2， 4 4设点 有 0，则 ) A 2 B 32 C 3 D 53 5设三位数 n=以 a， b， c 为三条边长可以构成一个等腰 (含等边 )三角形，则这样的三位数 ) A 45 个 B 81 个 C 165 个 D 216个 6顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形， 足为 B， 足为 H，且 ， 点 ， 则 当 三 棱 锥 O 体 积 最 大 时 ， 长为 ( ) A 53 B 2 53 C 63 D 2 63 二填空题 (本题满分 54分，每小题 9分 ) 7在平面直角坐标系 数 f(x)=a0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数 g(x)= 的图像所围成的封闭图形的面积是 ； 8设函数 f： R R，满足 f(0)=1，且对任意 x， y R，都有 f()=f(x)f(y) f(y) x+2，则 f(x)= ； 9如图，正方体 面角 A ； 10设 p 是给定的奇质数，正整数 k 使得 k= ； 11已知数列 ， 满足关系式 (3 )(6+18，且 ，A 1D 1用心 爱心 专心 2 则ni=01 ； 12在平面直角坐标系 ，给定两点 M( 1， 2)和 N(1， 4)，点 P在 ； 三解答题 (本题满分 60分，每小题 20分 ) 13一项“过关游戏 ”规则规定：在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次，如果这 n 次抛掷所出现的点数的和大于 2n，则算过关问： 某人在这项游戏中最多能过几关？ 他连过前三关的概率是多少？ 14在平面直角坐标系 定三点 A(0， 43)， B( 1， 0)， C(1， 0)，点 B、 求点 若直线 L 经过 内心 (设为 D)，且与 P 点轨迹恰好有 3 个公共点，求 L 的斜率 15已知 ， 是方程 441=0(t R)的两个不等实根，函数 f(x)=2x 的定义域为 ， 求 g(t)=x) x)； 证明：对于 (0， 2)(i=1， 2， 3)，若 ，则 1g( 1g( 1g(的解集为 A 2， 3) B (2， 3 C 2， 4) D (2， 4 解：令 t 1时， t 132t 2 t 1， 2)， x 2， 4)，选 C 4设点 有 0，则 ) A 2 B 32 C 3 D 53 解：如图，设 ，则 S， S， S选 C 5设三位数 n=以 a， b， 含等边 )三角形，则这样的三位数 ) A 45 个 B 81个 C 165个 D 216个 解：等边三角形共 9个； 1爱心 专心 4 等腰但不等边三角形 ：取两个不同数码 (设为 a， b)，有 36 种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时， 一个最小正周期长的区间上的图像与函数 g(x)= 的图像所围成的封闭图形的面积是 ； 解： f(x)= )，周期 =2a ，取长为 2a ，宽为 2 的矩形，由对称性知，面积之半即为所求故填 2a 爱心 专心 5 又解： 101 )a 20(1 pa 8设函数 f： R R，满足 f(0)=1，且对任意 x， y R，都有 f()=f(x)f(y) f(y) x+2，则 f(x)= ； 解：令 x=y=0，得， f(1)=1 1 0+2， f(1)=2 令 y=1，得 f(x+1)=2f(x) 2 x+2，即 f(x+1)=2f(x) x 又， f()=f(y)f(x) f(x) y+2，令 y=1 代入，得 f(x+1)=2f(x) f(x) 1+2，即f(x+1)=f(x)+1 比较、得， f(x)=x+1 9如图，正方体 面角 A ； 解：设 ，作 1M=33 N= 63 12 12=23+23+13 223 12 =60 10设 整数 k= ； 解：设 pk=n，则 (k n2=(2k p+2n)(2k p 2n)=k=14(p+1)2 11已知数列 ， 满足关系式 (3 )(6+18，且 ，则ni=01 ； 解： 1=23， 令 3，得 3， 1， 32n即 1n+1 13 ， ni=013(2n+2 n 3) 12在平面直角坐标系 ，给定两点 M( 1， 2)和 N(1， 4)，点 P在 ； 解：当 大时， x 轴相切于点 P(否则 Q，则线段 的点 P使 更大 )于是，延长 ( 3， 0)，有 P(1， 0)， ( 7， 0)，但 (1，0)处 而点 1 三解答题 (本题满分 60分，每小题 20分 ) 13一项“过关游戏”规则规定：在第 果这 n，则算过关问： 某人在这项游戏中最多能过几关？ 他连过前三关的概率是多少？ 解： 设他能过 第 多得 6 D 1爱心 专心 6 由 6n2n，知， n 4即最多能过 4关 要求他第一关时掷 1次的点数 2，第二关时掷 2次的点数和 4，第三关时掷 3次的点数和 8 第一关过关的概率 =46=23； 第二关过关的基本事件有 62种，不能过关的基本事件有为不等式 x+y 4的正整数解的个数，有 (亦可枚举计数： 1+1， 1+2， 1+3， 2+1， 2+2， 3+1)计 6种，过关的概率 =1 662=56； 第三关的基本事件有 63种，不能过关的基本事件为方程 x+y+z 8的正整数解的总数，可连写 8个 1，从 8个空档中选 3个空档的方法为 76321=56种，不能过关的概率 =5663=727，能过关的概率 =2027； 连过三关的概率 =23562027=100243 14在平面直角坐标系 定三点 A(0， 43)， B( 1， 0)， C(1， 0)，点 B、 求点 若直线 L 经过 内心 (设为 D)，且与 P 点轨迹恰好有 3 个公共点，求 L 的斜率 解： 设点 x， y)， x 1+3， 4x 3y+4=0， y=0， 4x+3y 4=0， 25|y|2=|(4x 3y+4)(4x+3y 4)|， 256(3y 4)2=0， 1664y 16=0， 2y 2=0 或 25163y 4)2=0， 16344y 16=0， 8172y 8=0 所求轨迹为圆 ： 2y 2=0， 或双曲线 ： 8172y 8=0 但应去掉点 ( 1， 0)与 (1， 0) (0， 12)：经过 x=0或 y=2 (a) 直线 x=0与圆有两个交点，与双曲线没有交点； (b) k=0 时，直线 y=12与圆切于点 (0， 12)，与双曲线交于 ( 58 2， 12)，即 k=0 满爱心 专心 7 足要求 (c) k= 12时，直线与圆只有 1 个公共点，与双曲线也至多有 1 个公共点，故舍去 (c) k0时， k12时，直线与圆有 2个公共点，以代入得： (8 17k2)5254=0 当 8 17或 (5k)2 25(8 170，即得 k= 2 3417 与 k= 22 所求 0， 2 3417 ， 22 15已知 ， 是方程 441=0(t R)的两个不等实根，函数 f(x)= 2x 的定义域为 ， 求 g(t)=x) x)； 证明：对于 (0， 2)(i=1， 2， 3)，若 ，则 1g( 1g( 1g(当 ， 时， f (x)= 2() 2x(2x t)()2 = 2(2()2 而当 x ， 时， f(x)在 ， 上单调增 g(t)= 2 t2+1 2 t2+1 =(2 t)(2+1) (2 t)(2+1)(2+1)(
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