2014高中数学课件（全册打包26套）北师大版必修1
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2014高中数学课件（全册打包26套）北师大版必修1,高中数学,课件,打包,26,北师大,必修
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第一章 集合 1 集合的含义与表示 解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系 .(易混点） 形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用 .(重点、难点） 当你刚刚走进一个新的班集体时，坐在教室里环顾四周，有一些是你过去的同学，还有很多陌生的面孔。经过 一段时间 ,你就会发现 ,班级里有些同学参加了校舞蹈队， 有些同学参加了校乐队，有些同学参加了校篮球队 学过这一章，你就可以用集合的语言非常清晰、方便地表述上面的事情 . 下面就让我们开始吧！ “ 集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为 :许多的人或物聚在一起 . 在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的“集合”？ 在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗 ? 请同学们回忆我们已经接触过的一些集合 含有未知数的不等式的所有解就组成了这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集 . 到一定点的距离等于定长的点的集合就构成了圆 . 湖泊名称 所在地 水面面积 /面海拔 /m 蓄水量 /(亿 湖水最深 /m 湖水性质 青海湖 青海 4340 3195 7 咸 鄱阳湖 江西 3583 22 9 淡 洞庭湖 湖南 2691 33 4 淡 太湖 江苏 2428 3 淡 呼伦湖 内蒙古 2339 546 淡 纳木错湖 西藏 1962 4718 5 咸 洪泽湖 江苏 1577 12 淡 南四湖 山东 1097 33 淡 博斯腾湖 新疆 992 1048 6 淡 接下来看表格回答几个问题： 从表中我们可以看到： 水面面积在 3000 、 ； 水面面积在 2000至 3000 、 、 ； 水面面积在 990至 2000 、 、 、 . 青海湖 鄱阳湖 洞庭湖 太湖 呼伦湖 纳木错湖 洪泽湖 南四湖 博斯腾湖 这样，我们将这些湖按水面面积大小分成了三类 . 根据需要，我们还可以将这些湖按咸水湖和淡水湖分类或按其他标准进行分类 . 1集合与元素的概念 (1)一般地， 称为集合，集合常用 表示 (2)集合中的 叫作这个集合的元素，常用 _ _ 表示 每个对象小写字母 a、 b、 c、 d, 指定的某些对象的全体 大写字母 A、 B、 C、 D, 若 在集合 说 属于集合 A，记作 A ； 若 不在集合 说 不属于集合 A，记作 A 2. 集合与元素的关系 集合与元素的关系只有属于与不属于两种关系 意义 名称 记法 组成的集合 自然数集 N 组成的集合 正整数集 _ 组成的集合 整数集 Z 组成的集合 有理数集 Q 组成的集合 实数集 R 3常用数集的意义及表示 自然数 正整数 整数 有理数 实数 N 或 N* 列举法 把集合中的元素 出来写在大括号内的方法 . 描述法 用 表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法 . 一一列举确定的条件 例如，江苏省水面面积在 1500成的集合用列举法可以表示为 C=太湖，洪泽湖 ; 不等式 的解集用描述法可以表示为 A x x 3 2 ;方程 的解集用描述法可以表示为 2x 2 x 02B x x 2 x 0 x 又如，在平面直角坐标系中第二象限的点构成的集合，用描述法可以表示为 C ( x , y ) x 0 , y 0 . 且函数 y=2x,y)的集合可以表示为 D ( x , y ) y 2 x .(1) ； (2) ； (3) 确定性 互异性 无序性 思考 1“高个子的同学”、“我国的小河流”能构成集合吗？ 【 提示 】 “ 高个子 ” 是一个含糊不清的概念，具有相对性，多高才算高？同样地， “ 小河流 ” 的 “ 小 ” 具体指什么，是流量还是长度？它们都没有明确的标准，也就是说，它们都是一些不能够确定的对象因此，它们都不能构成集合 1,2,2,4,2,1表示是否正确 ? 【 提示 】 集合的元素 “ 1” 出现了两次 ， “ 2” 出现了三次 ，不满足集合的互异性 ， 所以不正确 ， 应该为： A 1,2, 4 . 例 1 用列举法表示下列集合： （ 1）由大于 3小于 10的整数组成的集合； （ 2）方程 的解的集合 . 解 :（ 1）由大于 3小于 10的整数组成的集合用列举法可表示为 4， 5， 6， 7， 8， 9； （ 2）方程 的解的集合用列举法可表示为 3. 例 2 用描述法表示下列集合： （ 1）小于 10的所有有理数组成的集合； （ 2）所有偶数组成的集合 . x Q x 1 0 ；（ 2）偶数是能被 2整除的数，可以写成 x=2n(nZ) 的形式，因此，偶数的集合用描述法可表示为 x x 2 n , n Z .解： （ 1）小于 10的所有有理数组成的集合用描述法可表示为 空集：不含有任何元素的集合 有限集：含有限个元素的集合 无限集：含无限个元素的集合 序性和互异性 面的字母表示集合中的元素 素的表示用小写字母 1. （ 2012 聊城高一检测）下列四个集合中，空集 是（ ） 2A . 0 B . x x 8 , x 5 C . x N x 1 0 D . x x 4 且B ”或“ ”填空： (1) (2) 3) _Q (4) _Z (5) 0_N (6) 0_N+ (7) (8) (_Z (9) 2_R (10) 1_Q （ 1）小于 20的素数组成的集合； （ 2）由大于 3小于 9的整数组成的集合； （ 3）所有奇数组成的集合； （ 4）方程 的解的集合 . 2 , 3 , 5 , 7 , 1 1 , 1 3 , 1 7 , 1 9 4 , 5 , 6 , 7 , 8 x x 2 n 1 , n Z 2 , 2 确定性，互异性，无序性； 第二章 函数 1 生活中的变量关系 1. 结合生活实例体会变量与变量之间的依赖关系 .(易混点） 2. 能够明确变量之间的函数关系 . 3. 体会并非有依赖关系的两个变量都有函数关系 . （难点、重点 ) 世界是变化的 我们在初中学习过的函数就描述了因变量随自变量而变化的依赖关系 . 下面是一些函数的图像，体现了一定的依赖关系 初中学习过的函数描述了两个变量因变量 设在一个变化过程中有两个变量 x与 y, 如果对于 一个值 , 一的值 与它对应 , 那么就说 y是 数 . 变量 . 函数关系 请同学们举一些生活中的函数关系 . 变量间的关系 依赖关系与函数关系 并非有依赖关系的两个变量都有函数关系 ,只有满足对于其中一个变量的每一个值 ,另一个变量都有唯一确定的值与之对应时 ,才称它们之间有函数关系 . 在高速公路的情境下 ,你能发现 哪些函数 关系 ? 我国的道路交通网，近十几年的发展非常迅速 . 988年开始建设高速公路以来，全国高速公路通车总里程，于 1998年底，位居世界第八； 1999年底，位居世界第四； 2000年底，位居世界第三； 2001年底，超过了加拿大，跃居世界第二位（如表所示） . 1988 2001年全国高速公路总里程 单位： 份 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 总里程 147 271 522 574 652 1145 1603 年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 总里程 2141 3422 4771 8733 11605 16314 19453 1988147 271 522574 65211451603214134224771873311605194531631405000100001500020000250001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 141988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 里程 /份 高速公路里程数随年份的变化而变化 速公路里程数可以看成因变量，年份看成自变量，从而高速公路里程数是年份的函数 . 个时刻都有唯一的行驶路程与它对应 变量）随时间（自变量）的变化而变化，行驶路程是时间的函数 车的速度、耗油量也是时间的函数 . 加油站常用圆柱体储油罐储存汽油 d，截面半径 面高度 h、油面宽度 w、储油量 d h r w 储油量 油量 并非有依赖关系的两个变量都有函数关系 一个变量都有唯一确定的值与之对应时，才称它们之间有函数关系 . 对于油面高度 有唯一的储油量 以，储油量 而对于油面宽度 是可以有两种储油量 以，储油量 讨论 : (1)还有哪些常量 ? 哪些变量？ (2)哪些变量之间存在依赖关系？ (3)哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？ 例如：邮局 ,机场等 . 000元一台的价格进了一批电视机 ,然后以 2100元一台的价格售出 ,随着售出台数的变化，商店获得的收入是怎样变化的 ?其收入和售出的台数间存在函数关系吗 ? 解： 如果不考虑税收等因素，设售出的台数为 入为 则 y=（ 2100入和售出的台数间存在函数关系 . 电梯距地面的高度与时间之间存在怎样的依赖关系 ? 解： 坐电梯时，电梯距地面的高度与时间之间存在函数关系 于任意给定的时间，电梯都有唯一的高度 . 在未达到饱和之前糖水的质量浓度与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系 ?如果是函数关系 ,指出自变量和因变量 . 解： 在一定量的水中加入蔗糖，在未达到饱和之前糖水的质量浓度与所加蔗糖的质量之间存在函数关系 以视所加蔗糖的质量为自变量，糖水的质量浓度为因变量；也可以视糖水的质量浓度为自变量，所加蔗糖的质量为因变量 . 它同样普遍存在着 . 2 对函数的进一步认识 函数概念 1. 通过丰富的实例，使学生建立起函数概念的背景 . 2. 体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型 .（重点、难点） 3. 正确使用区间表示数集 .（易混点） 4. 会求一些简单函数的定义域 .(重点） 在变化过程中 ,有两个变量 x和 y, 如果给定一个 相应地就确定了一个 那么我们称 数 变量， 初中定义的函数 回忆初中学习过哪些函数？ 正比例函数 y=kx(k0) 一次函数 y=ax+b(a0) 反比例函数 k 0 )x二次函数 2y a x b x c ( a 0 ) 随着数学的发展，对函数概念的理解不断深入，对函数概念的描述越来越清晰 . 前面我们学习了集合，从集合的观点出发，还可以给出以下的函数定义，请同学们看教材理解一下 . 函数定义 给定两个非空数集 ,如果按照某个对应关系 f ,对于集合 x, 在集合 f (x) 与之对应 , 那么就把对应关系 上的 函数 . 记作 f:AB, 或 y=f(x)， xA. 此时 ,变量 ,集合 义域 , 集合 f(x)|xA 叫作函数的 值域 y是 定义域 ,值域 ,对应关系 要素 值域由 定义域 和 对应关系 两个函数相同必须是它们的定义域和对应关系分别完全相同 . 有时给出的函数没有明确说明定义域 ,这时它的定义域就是自变量的允许取值范围 . 如果函数涉及实际问题，它的定义域还必须使实际问题有意义 . 当 x=用 f(a)表示函数 y=f(x) 的函数值 . 例如，在初中物理中，我们曾经学习过下面几个函数： =t+273, 其中， t T是 的定义域是 t|t 气压 （ ） 0 沸点 （ ） 81 100 121 152 179 510 义域是 10. (1) y=1(xR) 是函数吗？ (2) y=x与 y= 2 思考 : 是 不是 定义 名称 符号 几何表示 x|ax b 闭区间 a， b a b x|aa xb xb （ ， b （ ， b） （ a， +） a， +） 1.x|2x3 2.x|x2 3.x|2x3 x|5x9 4.x|x0 5.x|2x3 (2,3) (-,2 (2,3) (5,9) (-,0) (0,+) 2,3) 例 1. 一次函数 y=ax+b(a0) 定义域是 R. 值域是 R. 例 2. 二次函数 y=bx+c (a0) 的定义域是 R. 值域是 当 a 0时 ,为： ， 244ac 当 a 0时 ,为 : . 244ac 求函数的定义域 (值域）就是使其解析式有意义的自变量 (因变量）的取值的集合 . 特别提醒： 例 500m, 海平面温度为 25, 气温是海拔高度的函数 , 而且高度每升高 100m, 请你用解析表达式表示出气温 并指出函数的定义域和值域 . 解： 函数解析式为 0 . 6 x 3T ( x ) 2 5 2 5 x 0 5 0 0 函数的定义域为 0,7500,值域为 5. 注意 y=( ). A. y=( )2 ; ; C. y= . B x 3 2f ( x ) x ; g ( t ) t2 x ) ; g ( x ) x 2 42f ( x ) x ; g ( x ) x2f ( x ) x , x 0 , 1 ; f ( x ) x , x 0 , 1 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 是 不是，定义域不同 不是， 定义域不同 不是，对应法则不同 (1) f(x)=5 f(4); (2) g(t)=4 g(2); (3) F(u)=u,M(u)=6u2+ F(3)+M(2). 解 : (1) f(4)=5 47; (2) g(2)=4 22+2 23; (3) F(3)+M(2)=3+6 22+26. 判断两个函数是否为同一函数 . 准确地运用函数定义解题 . 函数的表示法 1. 通过实例，体会函数的三种表示方法 .（易混点） 2. 体会三种表示方法的使用情境与各自的特点 .（重点） 3. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 . （难点） x y o 法一：列表法，即题中的表格 . 法二：解析法， 2y x x 0 .（ ）法三：图像法 . 初中学习过的函数的表示方法有三种： 在研究函数的过程中，采用不同的方法表示函数，可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质 . 在实际问题中常常使用表格，有些表格描述了两个变量间的函数关系，比如，某天一昼夜温度变化情况如下表 . 时刻 0： 00 4： 00 8： 00 12： 00 16： 00 20： 00 24： 00 温度 /（ ） 5 4 9 1 像这样，用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为 列表法 . 特点： 列表法不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观 只能表示有限个元素间的函数关系 . 人的心脏跳动强度是时间的函数，医学上常用的心电图，就是利用仪器记录心脏跳动的强度（函数值）随时间变化的曲线图 . 特点： 图像法可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势 . 像这样，用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为 图像法 . 一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式 （简称解析式）表示出来，这种方法称为 解析法 . 例如，设正方形的边长为 x，面积为 y，则 y是 解析法表示为 2y x , x ( 0 , ) . 特点： 解析法表示的函数关系能较便利地通过计算等手段研究函数性质 些实际问题很难找到它的解析式 . 例 y=|x|的图像 . 解： 由绝对值的定义，得 它的图像为第一和第二象限 的角平分线，如图： x , x 0 x 0 x y 2 3 2 3 4 5 函质量 （ m） /g 邮资 (M)/元 2 0m 2 0 4 0m 4 0 6 0m 6 0 8 0m 8 0 1 0 0每封信函的质量和对应的邮资如下表 : 画出图像 ,并写出函数的解析式 . 解： 邮资是信函质量的函数 , 函数图像如下 : m/g 0 M/元 40 60 80 100 。 。 。 。 。 O 0m 20 20m 40 M= 40m 60 60m 80 80m 100 函数的解析式为 这种在定义域的不同部分，有不同的对应关系的函数称为分段函数 . 分段函数是一个函数 ,非几个函数 . 例 0它的图像如下图 这个函数 , 并求出 9质点的速度 . 10 20 30 10 30 v/（ cm/s） t/s O 15 20 25 5 5 15 25 解： 速度是时间的 函数，解析式为 v(t)= 10+t, t0,5) ， 3t, t5,10) ， 30, t10,20) ， 由上式可得， t=9点的速度 v(9)=3 9=27 (cm/s). 0, t20,30. (1)分段函数是一个整体 ,并不会因为每一部分自变量和解析式的不同而当作多个函数 . (2)分段是针对定义域而言的 ,将定义域分成几段 ,各 段的对应关系不一样 . (3)一般而言 ,分段函数的定义域部分是不相交的 ,这 是由函数定义中的唯一性决定的 . 在函数的定义域内 ,如果对于自变量 x 的不同取值范围 ,有着不同的对应关系 ,那么这样的函数通常叫作 分段函数 . 提升总结：提示： 所走千米数 图像如右图，解释其实 际意义并用解析法表示 出这个函数 4 8 12 16 20 24 10 20 30 39 26 30 y(元 ) x(千米 ) O 0 4 , 1 04 2 0 1 0 ( 4 ) 1 62 0 , 1 0 1 6 ( 2 0 ) 1 . 3 1 . 31 0 ,6,1 . 3 , 当 时当 时 , 当 时综 上 所 述 , 与 的 函 数解 :关 系 为式y x xx y x 0 4 )( 4 2 0 )( 2 0 ) 元，买 x 本笔 记本需要多少元？试用函数的三种表示方法表示此函数 . 解： 这个函数的定义域是数集 1， 2， 3， 4， 5，用解析法可将函数 y=f(x)表示为 用列表法可将函数表示为 笔记本数 x(本 ) 1 2 3 4 5 钱数 y(元 ) 5 10 15 20 25 x 1 , 2 , 3 , 4 , 5 y 5 x , x 1 , 2 , 3 , 4 , 5用图像法可将函数表示为下图 . O 1 2 3 4 5 5 10 15 20 25 x(本 ) y(元 ) （ 1） 5公里以内 (含 5公里 )，票价 2元； （ 2） 5公里以上，每增加 5公里，票价增加 1元（不足 5 公里的按 5公里计算） . 已知两个相邻的公共汽车站间相距为 1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）有 21个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像 . 解： 设票价为 y，里程为 x，则根据题意，如果某空调汽车运行路线中设 21个汽车站，那么汽车行驶的里程约为 20公里，所以自变量 0， 20 由空调汽车票价的规定，可得到以下函数解析式： 2 0 x 53 5 x 1 0 0 x 1 55 1 5 x 2 0 . ， ;， ;， ;， 根据函数解析式，可画出函数图像，如下图 0 5 10 15 20 1 2 3 4 5 x(公里 ) y(元 ) 活运用三种表示法来表示函数 . 准确地运用函数图像解题 ; 映射 1. 通过丰富的实例，理解映射的概念 .（重点） 2. 了解像与原像的概念 . 3. 正确理解映射与函数的关系 .（难点） 日常生活中存在着丰富的对应关系 . 请思考并分析下面给出的对应关系，它们有什么共同特点？ 中国，美国，英国，日本， 北京，东京，华盛顿，伦敦，对应关系是：对于集合中的 每一个 国家，在集合中 都有一个 首都与它对应 . 全班同学，集合全班同学的姓，对应关系是：集合中的 每一个 同学在集合中 都有一个 属于自己的姓 . 0, , , , , ,1 , 集合， ,对应关系是：集合中的 每一个 数，在集合中 都有 其对应的平方数 . （）对于第一个集合中的 每一个元素 在第二个集合中的 对应元素是唯一的 . 三个对应关系的共同特点： （）第一个集合中的 每一个元素 在第二个集合中 都有 对应元素； 映射的概念 像这样，两个非空集合与间存在着对应关系 f，而且对于中的 每一个元素 x，中 总有唯一的一个元素 称这种对应为从 到的映射 ，记作 f： AB 中的元素 像 ，中的对应元素 ， 记作 f:x y (1)函数是一种特殊的映射 ; (2)两个集合中的元素类型有区别 ; (3)对应 的要求有区别 . 90 60 45 30 1222321A B 求正弦 3 3 2 2 1 1 9 4 1 A B 求平方 9 4 1 3 3 2 2 1 1 不是映射 A B 求平方根 1 2 3 4 5 6 1 2 3 A B 乘以 2 4 12 20 0 1 2 3 4 5 不是映射 A B 乘以 4 映射 f:AB ，可理解为以下四点： 中都有唯一的像与之对应 . 中不同的元素，在 . 中元素没有原 像 . 中元素的对应关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多 . 在实际中，我们经常使用一种特殊的映射，通常叫作一一映射 中都有唯一的像与之对应； 函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射 . 函数概念可以叙述为：设 A,到 么映射 f:AB 叫作 的 函数 . 在函数中 ,原像的集合称为定义域 ,像的集合称为值域 . 说明 在研究实际问题的过程中，人们通常通过编号等方式（如风、海浪、地震等的级别）把一般映射数字化，使之成为函数，因为一旦表示为函数，那么有关函数的性质以及函数值的运算就都可以使用了 . 解： (1)点 (2,3)在映射 1,7); (2)点（ 4， 6）在映射 1） . 1. (2012 菏泽高一检测）点 (x， y)在映射 是 (2x y， 2x y)， （ 1）求点（，）在映射 （ 2）求点 (4， 6)在映射 . a b c e f g a b c d e f g a b c e f g d 是 是 不是 3. 下面的对应哪些是从 的映射，哪些不是？ （ 1） A=0,1,2 ， B=0,1,2,对应关系 f:的余数 ; （ 2） A=平面上的点 ， ,对应关系 f: （ 3） A=R,B=R,对应关系 f: ( , ) , B x y x y R1 , , .y x A y 是 是 不是 如 , f： AB) 表示 哪些是一一映射 ?哪些是函数 ? (1)A=你们班的同学 ， B=体重 ， f:每个同学对应自己的体重； (2)M=1,2,3,4,N=2,4,6,8,f:n=2m,nN,mM. (3)X=R,Y=非负实数 ,f:y=x4,xX,yY. 函数 函数 一一映射 1. 映射的概念 . 2. 像与原像的概念 . 3. 映射与函数的关系 . 3 函数的单调性 调区间的概念，能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思 . 用自已的语言表述概念；并能根据函数的图 像 指出单调性、写出单调区间 .（重点） 运用函数单调性的定义证明简单函数的单调性 .（难点） 求某些函数的最大值及最小值 .（重点、难点） 建立函数的目的是研究函数值与自变量的关系，自变量的变化对函数值变化的影响是经常受到关注的问题例如水位的涨落随时间变化的规律，是防涝抗旱工作中必须解决的实际问题 函数的单调性 画出下列函数的图像，观察其变化规律： _ _上 ， 随着 f(x)的值随着 _ f(x) = x (-,+) 增大 上升 _上 ， f(x)的值随着 _ _上 ， f(x)的值随着 _. f(x) = -,0 (0,+) 增大 减小 画出下列函数的图像，观察其变化规律： 2 3 4 5 4 1 2 能说出它的函数值 怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢？ O 在函数 y=f(x)的定义域内的一个区间 如果对于任意两数 ， 当 那么 ,就称函数 y=f(x)在区间 有时也称函数 y=f(x)在区间 减 的 调性、单调函数 如果 y=f(x)在区间 么称 如果函数 y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的 ,那么就称函数 y=f(x)在这个子集上具有单调性 . 如果函数 y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减小的 ,我们分别称这个函数为增函数或减函数 ,统称为单调函数 . 是函数的 局部性质 ； 注意： 内的 任意 两个自变量 分别是增函数或减函数 . 例 1 说出函数 的单调区间，并指明在该区间上的单调性 . 1() :（ - ， 0）和（ 0， + ）都是函数的单调区间，在 这两个区间上函数 是减少的 . 1()像不是连续上升或连续下降时，相同单调区间不能合并 . 证明 : 设 x1,0， +) 上任意两个实数，且 由 所以 f( f(0, 即 f( f( 0 , 变式练习 1 画出函数 的图像，判断它的单调性，并加以证明 . f ( x ) 3 x 2解： 作出 f(x)=3x+2的图像 数 f(x)的图像在 数 f(x)是 证明： 设 是 且 则 : 12x , x 122( ) ( )f x f x x )1212x x 0 12f ( x ) f ( x ) 0 12f ( x ) f ( x )f ( x ) 3 x 2 在 12( 3 2 ) ( 3 2 ) 作差变形 判断差值符号 下结论 函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的数，因而没有增减变化 因此，在考虑它的单调区间时，端点有定义时包括端点 ， 端点无定义时不包括端点 . 我们观察上图 ， 可知对于定义域中的任意 x,都有f(x)f( 1),我们就说 f(1)是这个函数的最大值 . 4最大值 一般地，对于函数 y=f(x)，其定义域为 D，如果存在 D, f(M,使得对于任意的 x D,都有 f(x)M,那么，我们称 y=f(x)的 最大值， 即当 x= ，f(函数 y=f(x)的最大值，记作 f( 例 3 如图 ,某地要修一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为 直方向为 么水流喷出的高度 h(单位： m)与水平距离 x(单位： m) 之间的函数关系式为 h=x+ 55, x 0 , 42 解： 由函数 h=x+ 的图像可知，显 然，函数图像的顶点就是水流喷出的最高点 函数取得最大值 h=x+ ， 当 x=1时，函数有最大值 2 1+ （ m). 于是水流喷出的最高高度是 m. 55, x 0 , 4255, x 0 , 42594494 例 4 已知函数 ，求函数的最大值和最小值 . 2( ) , 0 , 2 1f x 分析： 由函数 的图像可知，函数 f(x)在区间 0,2上递增 数 f(x)在区间 0,2的两个端点上分别取得最小值和最大值 . 2( ) , 0 , 2 1f x 解： 设 x1,0,2上的任意两个实数， 且 )()0, 所以 f(f(0 ,即 f(f(， 故 f(x)在区间 0,2上是增加的 . 因此，函数 在区间 0， 2的左端点取得最小值，右端点取得最大值， 即最小值是 f(0)=大值是 f(2)= . 2()1 fx 用其单调性求最值 1. (2012 东营高一检测）若函数 f (x) 在区间 a, b及 (b, c上都单调递减 , 则 f (x)在区间 a, c上的单调性为 ( ) D y=x 的单调减区间是 _. （ - ， 2） （ 1， + ） 的单调增区间是 _. 23 6 1y x x 4. 如图 ,已知 y=f(x) 的图像 (包括端点 ),根据图像说出函数的单调区间 ,以及在每一单调区间上 ,函数是增函数还是减函数 . 1 2 1 ( 1,0,1上是减函数 ;,1,2上是增函数 . 5. 求函数 f(x)=,x2,7 的最大值和最小值 . 解： 由函数 f(x)=在区间 2， 7上是减函数， 可知， f(x)f(2)=-4,f(x)f(7)= 讨论函数的单调性必须在定义域内进行 ,故讨论函数的单调性 ,必须先确定函数的定义域 . 根据定义证明函数单调性的一般步骤是： 设 是给定区间内的任意两个值，且 12x , x 12x x .12f ( x ) f ( x ) 作差 并将此差变形 (要注意变形的程度 ). 判断 的正负（说理要充分） . 12f ( x ) f ( x ) 根据 的符号确定其增减性 . 12f ( x ) f ( x )数的单调性 求最值的方法 . 4 二次函数性质的再研究 二次函数的图像 y=y=a(x+h)2+k(a0) 及 y=bx+图像之间的关系 .（难点） 2 y a ( x h ) k a 0 )a , h , k 1 二 次 函 （ 中 的的 作 用 ;y=bx+a(x+h)2+k(a0) 的形式； （重点） 数 参数 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 22( 4) 5 2()y a x h k 2x 4x 0 ,0开口向上 ,a0开口向下 . |a|越小，图像开口就越大 . 2y a x ( a 0 )下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为 _ (4),(2),(3),(1) 21( 3 ) ( )3f x 2 ) ( )2f x 1 ) ( )4f x 4 ) ( ) 3f x 21 ) 3 ） (22 ）21 ) 1 ） 3(2 ） 22 3 2 1 3(对于二次函数 (a0)的图像 1 . a 决 定 了 二 次 函 数 图 像 的 开 口 大 小 及 方 向2() y a x h hh 了 二 次 函 数 图 像 的 左 右 平 移“ 正 左 移 ， 负 右 移 ”3 . 了 二 次 函 数 图 像 的 上 下 平 移“ 正 上 移 ， 负 下 移 ” 将二次函数 的图像平行移动 ,顶点移到 (2), 则它的解析式为 _ 233 ( 3 ) 2 练一练 例 f(x)与 g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数 g(x)的解析式和 f(x)图像的顶点，写出函数 f(x)的解析式 2g ( x ) x , f ( x ) ( 4 , 7 ) ;( 1 )函 数 图 像 的 顶 点 是2g ( x ) 2( x 1 ) , f ( x ) ( 3 , 2) . ( 2 )函 数 图 像 的 顶 点 是22y a x, , ( h , k ) , x h ) k . 如 果 二 次 函 数 的 图 像 与 的 图 像 开 口 大小 相 同 开 口 方 向 也 相 同 顶 点 坐 标 是 则 其解 析 式 为解222f ( x ) g ( x ) x , ( 4 , 7 ) ,f ( x ) ( x 4 ) 7 x 8 x 9( 1 ) 因 为 与 的 图 像 开 口 大 小 相 同开 口 方 向 也 相 同 f ( x ) 图 像 的 顶 点 是 所 以 学会相互转化 222222f ( x ) g ( x ) 2 ( x 1 ), , g ( x ) 2 ( x 1 ) y 2 x, f ( x )y 2 x ,f ( x ) ( 3 , 2 ) ,f ( x ) 2 ( x 3 ) 2 2 x 1 2 x 1 6 . ( 2 ) 因 为 与 的 图 像 开 口 大 小相 同 开 口 方 向 也 相 同 又 与的 图 像 开 口 大 小 相 同 开 口 方 向 也 相 同 ， 所 以 与的 图 像 开 口 大 小 也 相 同 开 口 方 向 也 相 同 为 图 像 的 顶 点 是 所 以(1)已知三点坐标求解析式 ,可将函数解析式设为 y=+bx+c,将点的坐标代入 ,列出关于 a、 b、 c 的三元一次 方程组 ,解出 a、 b、 c 即可 . (2)已知顶点坐标为 (m,n),可设 y=a(+n,再借助 其他条件求 a; (3)已知二次函数图像与 x 轴有两个交点 x1,设y=a(再借助其他条件求 a. 提升总结： 用待定系数法求二次函数解析式的方法技巧 : 22y x 8 x 1 2 ( x 4 ) 4 解 析 ：221 y x 8 x 1 2 y x 由 如 何 变 换 得 到 ？2 由 向 右 平 移 4 个 单 位 ， 再 向下 平 移 4 个 单 位 得 到想一想： 22y 2 x 8 x 1 2 y 2 x . 由 如 何 变 换 得 到 ？22222y 2 x 8 x 1 2 2 x 4 x ) 1 22 x 4 x 4 4 ) 1 2 2 ( x 2 ) 4y 2 x 2 （故 应 由 向 右 平 移 个 单 位 ， 再 向上 平 移 4 个 单解 析 ：位 得 到 的图像经过怎样的平移变换， 可以得到 的图像 . 向右平移 8个单位 2( 8 )22( 1 ) f ( x ) 3 5 x 2 x ;3( 2) f ( x ) x 2 1. 把 下 列 二 次 函 数 配 方 :25 4 9( ) 2 ( )48f x x 23 4 4( ) ( )4 3 3f x x 的图像向右平移个单位，再向下平移个单位所得图像对应的函数解析式为 _ . 2y x 3x22y ( x 2) 3 ( x 2) 3 x 7 x 7 和 的图像都是开口向上的抛物线，在同一直角坐标系中，哪个开口大些？ 21()2g x x21()3f x x21()3g x x 开 口 大 些答案： y= 2y a ( x h ) k a 0)a , h , k 1. 二 次 函 数 （ 中 的 参 数的 作 用22y a x ( a 0 ) y a ( x h ) k a 0 ) 2 . = 与 （ 的 图 像变 换 规 律二次函数的性质 （重点） 点坐标，并能研究其定义域、值域、单调性、最值等性质 . （重点、难点） 烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻 ? 漂亮的喷泉，它的喷嘴应放在什么位置呢 ? 你会对函数 2() f x a x b x 22 2 2 4( ) ( ) ( )24 b b a c bf x a x b x c a x x c a xa a 你能说出上面二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、 单调区间、最大值和最小值吗？ 222 4( ) ( )24 b a c bf x a x b x c a 4( , )24 b a c 称轴为直线2( ) ( )24 b a c bf x a x b x c a a 时，它的图像开口向上，在( , 2 少 的， 在 , )2 加 的， 此 时，函数 有 最 小 值 244a c a 时，它的图像开口向下，在( , 2 b ， 在 , )2 b ，此 时，函数 有 最大值 244a c ( ) ( )24 b a c bf x a x b x c a 设 0a ，任取 12,且12 2 a，则 222 1 2 2 1 1f ( x ) f ( x ) ( a x b x c ) ( a x b x c ) = 222 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) a x x b x x x x a x x 12 ,22 2() a x x b ，也就是 12( ) 0 a x x b 又 21 0所以 21( ) ( ) 0f x f x ，即 21( ) ( )f x f x 由函数单调性的定义，函数 2() f x a x b x , 2 b a 上是 减少 的 你能给出其单调性的证明过程吗？ 同理可证， f（ x）在 上是增加的 , )2 223 6 1 3 ( 1 ) 4 y x x x 由于 2x 的系数是负数，所以函数图像开口向下 ； 顶点坐标为 ( 1 , 4 ) ；对称轴为直线 1x ； 函数在区间 ( , 1 上是增加的，在区间 1 , ) 上是减少的 ； 函数有最大值，没有最小值，函数的最大值是 例 配方，确定其对称轴、顶点坐标并求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像 23 6 1 y x 五点作图法 先确定对称轴及顶点 . 采用描点画图，选顶点 A（ 4），与 B（ ， 0）和 C（ ， 0），与 (0， 1)，再任取点 E（ 1），过这 5个点画出图像，如图 2 3 33 2 3 33已知函数 f(x) 23x 1 (1)求这个函数图像
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