大学高等数学-何春江-PPT文稿资料课件PPT
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- 内容简介：
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第三节 函数的连续性,一、函数的连续性概念 二、初等函数的连续性 三、闭区间上连续函数的性质,处有增量,称为函数,处连续，,1函数的连续性概念,定义1 设函数,时,相应地函数有增量,.如果当自变量增量,也趋于零,即,在点,在,的某邻域内有定义,当自,变量,在点,趋于零时,函数增量,则称函数,的连续点,处的函数值,即,的某邻域内有定义,如果,若记,则,且当,故定义1又可叙述为,时,处连续,定义2 设函数,在,极限,存在,且等于函数在,则称函数,在点,例1 讨论函数,在,的连续性.,证,又,由定义可知,函数,在,处连续.,在开区间（,）内连续,有定义.,在点,注意,是否存在或值为多少与,无关,而,处连续,首先必须,在点,2.,如果函数,在（,）内每一点都连,续,则称,1.,3.,在,处左(右)连续:,函数,处连续,必须同时满足以下三个条件：,的某邻域内有定义；,2函数的间断点及其类型,在点,在,上述三个条件中只要有一条不满足,则称函数,在点,处间断,称为函数,的间断点,(1),(2),存在；,(3),如果,是函数,的间断点,可将其分成两类:,在点,在点,第一类间断点,处的左右极限至少有,处的左右极限存在;,第二类间断点,一个不存在.,可去间断点,无穷间断点,振荡间断点,其它,其它,例2 考察函数,在,处的连续性.,解,为函数的第一类间断点,且为可去间断点.,、,处连续,处连续,那么,定理1（连续函数的四则运算） 如果,在点,均,也在,连续函数的和、差、积、商 （分母不为零）仍是连续函数,基本初等函数在其定义域内连续,定理2（反函数的连续性） 连续函数的反函数在其,对应区间上也是连续函数,例如,在,内连续,故,在其定义域内连续.,由以上三个定理可知：一切初等函数在其有定义的,区间内是连续的,计算初等函数,在其定义区间内某点,只要计算,在点,处的函数值,即可,处的极限,也没最小值;函数,如函数,三、闭区间上连续函数的性质,定理4（最值定理） 闭区间上的连续函数一定有,最大值和最小值,在,在闭区间,上有间断点,最大值和最小值,内既没有最大值，,它在此区间上没有,定理5（介值定理） 设函数,在闭区间,续,且,为介于,数,则至少存在一点,使得,上连,与,之间的任一实,若,推论 如果,上连续,且,则至少存在一点,使得,推论表明，对于方程,条件,则方程在,内至少存在一个根,，,又称为函,的零点,此时推论又称为零点定理或根的存在,满足推论中的,数,定理,例5 证明
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