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第二节 偏导数 一、偏导数 二、高阶偏导数1.偏导数的定义 在点定义 设函数的某邻域内有定义,而在取得增量时,函数相应取得如果极限存在,在点处对或增量(称为偏增量):固定的偏导数,记为则称此极限值为函数 类似地,函数在点处对记为 或偏导数定义为:的2. 偏导数的求法例1: 求z = x2 +3xy + y2在点(1, 2)处的偏导数.解 把 y 看成常数,得把 x 看成常数,得例2求函数的偏导数解:例3 设,证明:证 因为 所以例4: 已知理想气体的状态方程PV=RT(R为常数.)证: 因为求证:所以= 1偏导数的记号是一个整体,不能看成微商,否则导致运算错误例5: 求在点(0,0)处的偏导数.解:= 0 注意: 二元函数在某点存在偏导数,并不能保证函数在该点连续,与一元函数可导必连续是不相同的3.偏导数的几何意义是曲面与平面的交线在点处的切线轴的斜率. 对是曲面与平面的交线在点处的切线轴的斜率. 对二、高阶偏导数函数它们都是的函数,如果这两个函的偏导数也存在,则称它们的偏导数的二阶偏导数 数关于 是的二个偏导数四个二阶偏导数二阶混合偏导数 类似地,可定义三阶、四阶以至 阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，而 和 称为函数的一阶偏导数 例6: 设 z = x3 y2 3 xy3xy +1,解:及 求 定理如果函数的两个二阶混合偏导在区域内连续,则对任何有数即二阶混合偏导数连续的条件下,混合偏导数与求导的