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第一节 定积分的概念与性质一、引入定积分概念的实例 二、定积分的概念 三、定积分的几何意义四、定积分的性质引例1 曲边梯形的面积曲边梯形 设函数f(x)在区间a,b(ab)上非负且连续，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧y=f(x)称为曲边，线段ab称为底边.问题 求由x=a, x=b, y=0与y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积.求曲边梯形的面积A的具体做法：(1)分割 在(a,b)内插入n1个分点过每个分点xi(i=1,2,n)作y轴的平行线，将曲边梯形分割成n个小曲边梯形. 我们同样可以用这种“分割，近似、求和，取极限”的方法解决变速直线运动的路程的问题. 以上两问题虽然不同，但解决问题的方法却相同，即归结为求同一结构的总和的极限.由此引入定积分的概念.定义定积分(简称积分)其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，a,b叫做积分区间. 根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述：定积分的存在定理如果函数f(x)在区间a,b上的定积分存在，则称函数f(x)在区间a,b上可积. 关于定积分的概念，还应注意两点: (1)定积分 是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数f(x)及积分区间a,b有关，而与积分变量的记法无关.即有 如果在a,b上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分 在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.性质1设函数f(x)，g(x)在a,b上可积两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外，即 如果积分区间a,b被分点c分成区间a,c和c,b，则性质3 性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分. 当c在区间a,b 之外时，上面表达式也成立.例1性质4性质5特别的,性质6 (定积分估值定理)例2性质7(积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一个点 ，使下式成立即数值 介于f(x)在a,b上的最大值M和最小值m之间.性