大学高等数学-何春江-PPT文稿资料课件PPT
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积分
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第一节 二重积分的概念及性质,一、引例 二、二重积分的定义 三、二重积分的性质,解 分三步解决这个问题.,引例1 质量问题.,已知平面薄板D的面密度(即单位面积的质量) 随点(x,y)的变化而连续变化,求D的质量.,分割 将D用两组曲线任意分割成n个小块:,其中任意两小块 和 除边界外无公共 点.与一元函数的情况类似,我们用符号 既表 示第i个小块,也表示第i个小块的面.(i=1,2,n).,故所要求的质量m的近似值为,近似、求和 若记 为 的直径(即 表示 中任 意两点间距离的最大值),将任意一点 处的密度 近似看作为整个小块 的面密 度.得,引例2 曲顶柱体的体积.,若有一个柱体,它的底是Oxy平面上的闭区域D, 它的侧面是以D的边界曲线为准线,且母线平行于z轴 的柱面,它的顶是曲面z=f(x,y),设f(x,y)0为D上的连 续函数.我们称这个柱体为曲顶柱体.现在来求这个曲 顶柱体的体积.,其中任意两小块 和 除边界外无公共点. 其中 既表示第i个小块,也表示第i个小块的面积.,取极限 若记 ,则定义,为所讨论的曲顶柱体的体积.,定义1 设f(x,y)在闭区域D上有定义且有界.,分割 用任意两组曲线分割D成n个小块 其中任意两小块 和 除边界外无公共点, 既表示第i小块,也表示第i小块的面积.,近似、求和 对任意点 ,作和式,取极限 若 为 的直径,记 ,若极限,存在,且它不依赖于区域D的分法,也不依赖于点 的取法,称此极限为f(x,y)在D上的二重积分. 记为,(2),称f(x,y)为被积函数,D为积分区域,x,y为积分变元, 为面积微元(或面积元素).,由这个定义可知,质量非均匀分布的薄板D的质 量等于其面密度 在D上的二重积分.因此二重积 分 的物理意义可以解释为:二重积分的值 等于面密度为f(x,y)的平面薄板D的质量.,二重积分 的几何意义:,(1) 若在D上f(x,y)0,则 表示以区域D为底,以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.,(2) 若在D上f(x,y)0,则上述曲顶柱体在Oxy面的下 方,二重积分 的值是负的,其绝对值 为该曲顶柱体的体积.,(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的,在D的另一些 子区域上为负的,则 表示在这些子区域 上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶 柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).,二重积分的存在定理 若f(x,y)在有界闭区域D上连续,则f(x,y)在D上的二重积分必存在(即f(x,y)在D上必可积).,二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y),g(x,y)在区域 D上都是可积的.,性质1 有限个可积函数的代数和必定可积,且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和,即,性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面,即,性质3 若D可以分为两个区域D1,D2,它们除边界外无公共点,则,性质4 若在积分区域D上有f(x,y)=1,且用S(D)表示区域D的面积,则,性质5 若在D上处处有f(x,y)g(x,y),则有,推论,性质6(估值定理) 若在D上处处有mf(x,y)M,且S(D)为区域D的面积,则,(3),证 由f(x,y)在D上连续知,f(x,y)在D上能达到其最小值m和最大值M,因而估值式(3)成立.即有,成立.再由有界闭区域上连续函数的介值定理知,存在 ,使,(5),(5)式的等号右边的式子称为函数f(x,y)在D上平均 值.因而,积分中值定理又可以这样说:“对有界闭区 域D上连续函数f(x,y),必在D上存在一个点 使 取f(x,y)在D上的平均值”.故积分中值
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