大学高等数学-何春江-PPT文稿资料课件PPT
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第一节 函数及其性质,一、函数的概念,二、函数的表示法,三、函数的几种特性,1.常量与变量,在某过程中不发生变化而保持一定数值的量称为常量;在某过程中可以取不同数值的量称为变量.常量通常用字母 等表示,变量通常用字母 等表示.,2.函数的概念,定义1 设 是两个变量, 是一个给定的数集.如果有一个对应法则 ,使得对于每一个数值 ,变量 都有唯一确定的数值与之对应,则称变量 是变量 的函数,记为 其中 称为自变量, 称为因变量.集合 称为函数的定义域,记为 .,当自变量 取数值 时,与 对应的 的值称为函数 在点 处的函数值,记为 或 ,函数值组成的数集称为函数的值域,记为 .,函数的两要素:定义域 和对应法则 .如果两个函数具有相同的定义域和对应法则,那么它们是相同的函数.,例1 下列函数是否相同，为什么？,解 与 不是相同的函数,因为定义域不同., 与 是相同的函数,因为定义域与对应法则都相同.,注 求函数定义域时应注意的一般规律 开偶次方,根号内的表达式不小于零; 对数中的真数必须大于零; 分式中的分母不能为零; 反正弦和反余弦符号下的表达式的绝对值不能 大于1; 分段函数的定义域是各段定义域的并集.,1.解析法,例2 作自由落体运动的物体下落时间为 ,下落的距离为 ,假定开始下落的时刻为 ,那么 与 之间的依赖关系由下式给出:,当时间 变化时,距离 作相应的变化.,图1,2.表格法,例3 某炼钢厂上半年生产的钢产量如下表，这里的时间 (月)和产量 (吨)之间是两个相互依赖的变量.,对每个月份 ,都有唯一一个与 相应的产量 .,3.图像法,例4 某自动记录仪记录的某电容放电的电容情况,如图2所示的曲线.,图2,根据此曲线,就可知道某电容随时间的变化情况.,1.函数的奇偶性,设函数 的定义域 关于原点对称,对于任意的 ,若 ,则称 为奇函数;若 ,则称 为偶函数.,注 奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像 关于 轴对称; 一个函数可以既不是奇函数,也不是偶函数, 如函数 .,2.函数的周期性,设函数 的定义域为 ,如果存在一个常数 ,使得对任意 有 ,且 ,则称函数 为周期函数, 称为 的周期.,显然,若 是周期函数 的周期,则 也是 的周期 ,通常说的周期就是最小正周期.,如函数 和 都是以 为周期的周期函数.,3.函数的单调性,设函数 在区间 上有定义,对 内的任意两点 ,当 时,若有 ,则称 在 上是单调增加的;若有 ,则称 在 上是单调减少的. 它们统称为单调函数.使函数保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单调区间 .,如函数 在 内是单调增加的,函数 在 内是单调减少的.,4.函数的有界性,设函数 在区间 上有定义,如果存在正常数 ,使得对于区间 内所有 ,恒有 ,则称函数 在区间 上有界.如果这样的 不存在,则称 在区间 上无界.,如函数 在区间 内是有界的.这是因为对于任意的 都有 成立.而函数 在区间 内是无界的.,第一节 函数及其性质一、函数的概念二、函数的表示法三、函数的几种特性1.常量与变量2.函数的概念注 求函数定义域时应注意的一般规律 开偶次方,根号内的表达式不小于零; 对数中的真数必须大于零; 分式中的分母不能为零; 反正弦和反余弦符号下的表达式的绝对值不能 大于1; 分段函数的定义域是各段定义域的并集.1.解析法2.表格法3.图像法例4 某自动记录仪记录的某电容放电的电容情况,如图2所示的曲线. 根据此曲线,就可知道某电容随时间的变化情况.1.函数的奇偶性2.函数的周期性3.函数的单调性4.函数的有界性第二节 初等函数,一、复合函数,二、初等函数,三、反函数与隐函数,定义2 设 是 的函数 ,而 又是 的函数 .如果对于 的定义域中某些 值所对应的 值,函数 有定义,则 通过 也成为 的函数,称为由 及 复合而成的复合函数,记为 ,其中 称为中间变量.,注 只有当 时,复合函数 才有意义.如 无意义,因为内函数的值域与外函数的定义域没有公共部分,不能复合.,例1 函数 是有哪些较简单的函数复合而成的?,解 是由 三个较简单的函数复合而成的.,1.基本初等函数,2.初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算或有限次的函数复合步骤所构成,并可用一个解析式表示的函数称为初等函数.,如 等都是初等函数.,在工程技术中常常用到双曲函数,其定义如下: 双曲正弦 双曲余弦 双曲正切 双曲余切,关于双曲函数的一些恒等式：,1.反函数,设 是定义在 上的一个函数,其值域为 .如果对每一数值 ,有确定的且满足 的数值 与之对应,其对应法则记为 ,则定义在 上的函数 称为函数 的反函数.,习惯上用 表示自变量, 表示因变量,故常把 的反函数记为,例2 求 的反函数.,解 由 得 交换 和 ,得 所以 是 的反函数.,注 函数 与其反函数 的图形关于直线 对称.,2.隐函数,由二元方程 确定的二元函数称为隐函数.,如,前面学习的形如 的函数称为显函数.,注 有的隐函数可以改写为显函数的形式,如 的显函数形式为 而有的隐函数则不能改写成显函数的形式,如 .把隐函数改写成显函数,叫做隐函数的显化.,在函数的定义中,规定了对于变量 的每一个数值,变量 有唯一确定的数值与之对应,这样的函数称为单值函数;如果变量 有两个或更多个确定的数值与之对应,就称 是 的多值函数,我们主要研究单值函数.,第二节 初等函数一、复合函数二、初等函数三、反函数与隐函数1.基本初等函数 2.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算或有限次的函数复合步骤所构成,并可用一个解析式表示的函数称为初等函数.1.反函数2.隐函数第一节 极限的概念,一、数列的极限 二、函数的极限 三、极限的性质 四、无穷小量与无穷大量,一般地, 按照确定的次序排列起来的无穷多个,一、数列的极限,三、极限的性质,四、无穷小量与无穷大量,第一节 极限的概念一、数列的极限二、函数的极限三、极限的性质四、无穷小量与无穷大量一般地, 按照确定的次序排列起来的无穷多个一、数列的极限三、极限的性质四、无穷小量与无穷大量第二节 极限的运算,一、极限的运算法则 二、两个重要极限 三、无穷小的比较,一、极限的运算法则,（3）,（1）,（2）,例1 求,解 原式,例2 求,解 原式,例3 求,解 原式,例4 求,解 原式,其中,的极限，有下面结论：,一般地,对于有理函数（即两个多项式函数的商）,例5 下列做法是否正确?,(1),解 错.正确的为,(2),解 错.正确的为,1.,此极限也可记为：,（式中代表同一个变量）,例 求,解,（令,当,时,）,例8 求,解,例7 求,解,2,这里的,是一个无理数2.71828182845904，,此极限也可记为,（式中代表同一变量）,例9 求,解,1、问题的提出,考察下列极限，例如，,当,时,都是无穷小,而,，,，,没极限,这一事实反映了同一过程中如,时各个,的快慢程度.,小趋于,无穷,为比,为等价无穷小,记作,高阶的无穷小,记作,与,与,定义 设,（1）若,则称,（2）若,，,为常数,则称,（3）若,则称,与,是自变量的同一变化过程中的两个,无穷小,则在所论过程中：,;,为同阶无穷小;,2、无穷小的比较,是比,例如:,当,时,高阶的无穷小,当,时,与,是同阶无穷小,),),(,(,阶无穷小,是关于,当,时,的,(,),当,时,与,是等价无穷小,(令,则,当,时,于是,),常见的等价无穷小:,当,时,存在,则,3、无穷小的等价代换,定理 设在自变量的同一变化过程中,，,且,无穷小的等价代换只能代换乘积因子,注意:,在乘积的极限运算中,等价的无穷小因子可以相,互代换.,，,例10 求,解,例11 求,解,第二节 极限的运算 一、极限的运算法则二、两个重要极限 三、无穷小的比较一、极限的运算法则例1 求 例2 求解 原式 例3 求解 原式 其中的极限，有下面结论：一般地,对于有理函数（即两个多项式函数的商）例5 下列做法是否正确?解 错.正确的为(2)解 错.正确的为1.此极限也可记为：（式中代表同一个变量）例 求解 （令,当时,） 例8 求 解 例7 求解 2 这里的是一个无理数2.71828182845904，此极限也可记为（式中代表同一变量）例9 求解 1、问题的提出考察下列极限，例如，当时都是无穷小而，没极限这一事实反映了同一过程中如时各个的快慢程度. 小趋于无穷为比为等价无穷小,记作高阶的无穷小,记作与与定义 设（1）若,则称（2）若，为常数,则称（3）若,则称与 是自变量的同一变化过程中的两个无穷小,则在所论过程中：;为同阶无穷小;2、无穷小的比较是比例如:当时,高阶的无穷小当时,与是同阶无穷小)(阶无穷小是关于当时,的()当时,与是等价无穷小 (令,则,当时,于是 )常见的等价无穷小:当时存在,则3、无穷小的等价代换定理 设在自变量的同一变化过程中，且无穷小的等价代换只能代换乘积因子 注意:在乘积的极限运算中,等价的无穷小因子可以相互代换.，例10 求解例11 求解第三节 函数的连续性,一、函数的连续性概念 二、初等函数的连续性 三、闭区间上连续函数的性质,处有增量,称为函数,处连续，,1函数的连续性概念,定义1 设函数,时,相应地函数有增量,.如果当自变量增量,也趋于零,即,在点,在,的某邻域内有定义,当自,变量,在点,趋于零时,函数增量,则称函数,的连续点,处的函数值,即,的某邻域内有定义,如果,若记,则,且当,故定义1又可叙述为,时,处连续,定义2 设函数,在,极限,存在,且等于函数在,则称函数,在点,例1 讨论函数,在,的连续性.,证,又,由定义可知,函数,在,处连续.,在开区间（,）内连续,有定义.,在点,注意,是否存在或值为多少与,无关,而,处连续,首先必须,在点,2.,如果函数,在（,）内每一点都连,续,则称,1.,3.,在,处左(右)连续:,函数,处连续,必须同时满足以下三个条件：,的某邻域内有定义；,2函数的间断点及其类型,在点,在,上述三个条件中只要有一条不满足,则称函数,在点,处间断,称为函数,的间断点,(1),(2),存在；,(3),如果,是函数,的间断点,可将其分成两类:,在点,在点,第一类间断点,处的左右极限至少有,处的左右极限存在;,第二类间断点,一个不存在.,可去间断点,无穷间断点,振荡间断点,其它,其它,例2 考察函数,在,处的连续性.,解,为函数的第一类间断点,且为可去间断点.,、,处连续,处连续,那么,定理1（连续函数的四则运算） 如果,在点,均,也在,连续函数的和、差、积、商 （分母不为零）仍是连续函数,基本初等函数在其定义域内连续,定理2（反函数的连续性） 连续函数的反函数在其,对应区间上也是连续函数,例如,在,内连续,故,在其定义域内连续.,由以上三个定理可知：一切初等函数在其有定义的,区间内是连续的,计算初等函数,在其定义区间内某点,只要计算,在点,处的函数值,即可,处的极限,也没最小值;函数,如函数,三、闭区间上连续函数的性质,定理4（最值定理） 闭区间上的连续函数一定有,最大值和最小值,在,在闭区间,上有间断点,最大值和最小值,内既没有最大值，,它在此区间上没有,定理5（介值定理） 设函数,在闭区间,续,且,为介于,数,则至少存在一点,使得,上连,与,之间的任一实,若,推论 如果,上连续,且,则至少存在一点,使得,推论表明，对于方程,条件,则方程在,内至少存在一个根,，,又称为函,的零点,此时推论又称为零点定理或根的存在,满足推论中的,数,定理,例5 证明方程,证 设,上连续,且,由根的存在定理知,在,内至少有点,使,即方程,内至少有一个实根,内至少有一个实根,第三节 函数的连续性 一、函数的连续性概念 二、初等函数的连续性 三、闭区间上连续函数的性质 处有增量称为函数处连续，1函数的连续性概念定义1 设函数时,相应地函数有增量.如果当自变量增量也趋于零,即在点在的某邻域内有定义,当自变量在点趋于零时,函数增量,则称函数的连续点处的函数值,即的某邻域内有定义,如果若记,则,且当,故定义1又可叙述为时,处连续定义2 设函数在极限存在,且等于函数在,则称函数在点例1 讨论函数 在的连续性.证又,由定义可知,函数在处连续.在开区间（）内连续有定义.在点注意 是否存在或值为多少与无关,而处连续,首先必须在点2.如果函数在（）内每一点都连续,则称1.3.在处左(右)连续:函数处连续,必须同时满足以下三个条件：的某邻域内有定义；2函数的间断点及其类型在点在上述三个条件中只要有一条不满足,则称函数在点处间断,称为函数的间断点 (1)(2)存在；(3)如果是函数的间断点,可将其分成两类:在点在点第一类间断点处的左右极限至少有处的左右极限存在;第二类间断点一个不存在.可去间断点无穷间断点振荡间断点其它其它例2 考察函数在处的连续性.解为函数的第一类间断点,且为可去间断点.、处连续处连续,那么定理1（连续函数的四则运算） 如果在点,均也在 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是连续函数基本初等函数在其定义域内连续定理2（反函数的连续性） 连续函数的反函数在其对应区间上也是连续函数例如在内连续,故在其定义域内连续.由以上三个定理可知：一切初等函数在其有定义的区间内是连续的计算初等函数在其定义区间内某点只要计算在点处的函数值即可 处的极限,也没最小值;函数如函数三、闭区间上连续函数的性质定理4（最值定理） 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值在在闭区间上有间断点最大值和最小值内既没有最大值，,它在此区间上没有定理5（介值定理） 设函数在闭区间续,且,为介于数,则至少存在一点,使得 上连与之间的任一实,若推论 如果上连续,且,则至少存在一点使得推论表明，对于方程条件,则方程在内至少存在一个根，又称为函的零点,此时推论又称为零点定理或根的存在满足推论中的数定理例5 证明方程证 设上连续,且,由根的存在定理知,在内至少有点,使,即方程内至少有一个实根 内至少有一个实根第一节 导数的概念,一、导数概念的引例 二、导数的概念与几何意义 三、可导与连续的关系 四、小结,一、导数概念的引例,例1,变速直线运动的速度,-,-,播放,例2,平面曲线的切线斜率,切线？,如图,如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,极限位置即,二、导数的概念与几何意义,1.导数的概念,定义1,其它形式:,即,关于导数的说明：,注意:,右导数:,左导数:,单侧导数,定义2,步骤:,2.用定义求导数,例3,解,更一般地,例如,例4,解,例5,解,例6,解,例7,解,3.导数的几何意义,切线方程为:,法线方程为:,解 因 ，由导数几何意义,曲线在 的切线与法线的斜率分别为 于是所求的切线方程为 ， 即 法线方程为 ， 即 ,例8 求曲线 在点 处的切线和法线方程,三、可导与连续的关系,证,定理2 如果函数 在点 处可导，则 在点 处连续,注意：定理2的逆命题不成立.,例9,因为,则,而,证,1. 导数的实质:增量比的极限;,3. 导数的几何意义:切线的斜率;,5. 函数可导一定连续,但连续不一定可导。,4. 求导数最基本的方法:由定义求导数;,四、小结,例2,平面曲线的切线斜率,切线？,播放,例2,平面曲线的切线斜率,切线？,播放,例2,平面曲线的切线斜率,切线？,播放,例2,平面曲线的切线斜率,切线？,播放,例2,平面曲线的切线斜率,切线？,播放,例2,平面曲线的切线斜率,切线？,播放,例2,平面曲线的切线斜率,切线？,播放,例2,平面曲线的切线斜率,切线？,播放,例2,平面曲线的切线斜率,切线？,播放,例2,平面曲线的切线斜率,切线？,播放,第一节 导数的概念一、导数概念的引例二、导数的概念与几何意义 三、可导与连续的关系 四、小结一、导数概念的引例例1 变速直线运动的速度 -播放例2 平面曲线的切线斜率 切线？如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即二、导数的概念与几何意义1.导数的概念定义1其它形式:即关于导数的说明：注意: 右导数:左导数:单侧导数定义2步骤:2.用定义求导数 例3解更一般地,例如,例4解 例5 解例6解例7解3.导数的几何意义切线方程为:法线方程为:三、可导与连续的关系证注意：定理2的逆命题不成立.例9则证1. 导数的实质:增量比的极限;3. 导数的几何意义:切线的斜率;5. 函数可导一定连续,但连续不一定可导。4. 求导数最基本的方法:由定义求导数; 四、小结例2 平面曲线的切线斜率 切线？播放例2 平面曲线的切线斜率 切线？播放例2 平面曲线的切线斜率 切线？播放例2 平面曲线的切线斜率切线？播放例2 平面曲线的切线斜率切线？播放例2 平面曲线的切线斜率切线？播放例2 平面曲线的切线斜率切线？播放例2 平面曲线的切线斜率切线？播放例2 平面曲线的切线斜率切线？播放例2 平面曲线的切线斜率切线？播放第二节 求导法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则 二、复合函数的求导法则 三、反函数的导数 四、初等函数的导数 五、隐函数和由参数方程确定的函数的导数,设函数 与 在点 处均可导，则它们的和、差、积、商（当分母不为零时）在点 处也可导，且有以下法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则,定理1,(1)求增量:给自变量一个增量 ，则,证(1)、(2)略.,证(3),令,(2)算比值:,(3)取极限:因在点 处可导，则在该点处必连续，故当 时, ， .,又当 时，,所以，,特别地，若 则可得公式,定理推广：,解,例2 设 ,求 解,用类似地方法，可得,解,例3 求 的导数,即,例4 求 的导数, 用类似地方法，可得,即,解,定理2,即由外层向内层逐层求导再相乘（链导法）,或,或,二、复合函数的求导法则,证,如三层复合，,或,或,推广 对于多次复合的函数，其求导公式类似，,解 可看作是由 复合而成的，因此,例5 设 ，求 ,例6 设 ，求 ,解,三、反函数的求导法则,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,因 是 的反函数，故可将函数 中的 看作中间变量，从而组成复合函数 上式两边对 求导，应用复合函数的链导法，得,证,或,因此,是 的反函数，而 在区间 内单调且可导，且 ，因此在对应的区间 内，有,解,即,同理可得,是 的反函数，而 在区间 内单调且可导，且 ,因此在对应的区间 上，有,解,即,同理可得,1.常数和基本初等函数的导数公式,四、初等函数的导数,2.函数的和、差、积、商的求导法则,3.复合函数的求导法则,注意：(1)利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.,(2)初等函数的导数仍为初等函数.,解,所以,例10,解,函数 可以写成,所以,将函数 两边取自然对数，即 两边对 求导，注意左端的 是 的函数，由链导法，有,因此,方法2,方法2称为对数求导法，一般地对于函数,（称为幂指函数）,对数求导法除适用于幂指函数外，还适用于多个因式连乘的函数,解,等式两边取对数得,例12,五、隐函数和由参数方程确定函数得导数,定义:,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,1.隐函数的导数,例1,解,解得,例2,解,所求切线方程为,显然通过原点.,2.由参数方程所确定的函数的导数,例如,消去参数,问题: 消参困难或无法消参如何求导?,由复合函数及反函数的求导法则得,例6,解,所求切线方程为,于是所求的切线方程为,六、高阶导数,如果函数 的导函数 仍是 的可导函数，就称 的导数为函数 的二阶导数,记作,或,即,或,类似地，这个定义可推广到的更高阶的导数,而加速度 是速度对时间的导数,是位置函数对时间的二阶导数,即 ,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数有明显的物理意义:考虑物体的直线运动，设位置函数为,则速度为,如 阶导数,例16 设 ，求,解,特别地，,根据高阶导数的定义，求函数的高阶导数就是将函数逐次求导，因此，前面介绍的导数运算法则与导数基本公式，仍然适用于高阶导数的计算,例17 求 次多项式函数 的 阶导数（ 是正整数）,解,例18 设 ，求,解,即,同理可得,第二节 求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则二、复合函数的求导法则 三、反函数的导数 四、初等函数的导数五、隐函数和由参数方程确定的函数的导数 设函数 与 在点 处均可导，则它们的和、差、积、商（当分母不为零时）在点 处也可导，且有以下法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1(1)求增量:给自变量一个增量 ，则 证(1)、(2)略.证(3)(2)算比值: 又当 时，所以，定理推广：解用类似地方法，可得 解例3 求 的导数即 用类似地方法，可得即即由外层向内层逐层求导再相乘（链导法）二、复合函数的求导法则证如三层复合， 推广 对于多次复合的函数，其求导公式类似，三、反函数的求导法则即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证解解1.常数和基本初等函数的导数公式四、初等函数的导数2.函数的和、差、积、商的求导法则3.复合函数的求导法则 注意：(1)利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.(2)初等函数的导数仍为初等函数.解 所以 例10解因此 方法2方法2称为对数求导法，一般地对于函数（称为幂指函数） 对数求导法除适用于幂指函数外，还适用于多个因式连乘的函数解等式两边取对数得五、隐函数和由参数方程确定函数得导数定义:隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?1.隐函数的导数解解得例2解所求切线方程为显然通过原点.2.由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题: 消参困难或无法消参如何求导?由复合函数及反函数的求导法则得例6解 所求切线方程为六、高阶导数 类似地，这个定义可推广到的更高阶的导数, 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.特别地， 根据高阶导数的定义，求函数的高阶导数就是将函数逐次求导，因此，前面介绍的导数运算法则与导数基本公式，仍然适用于高阶导数的计算 第三节 微 分,一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似法则中的应用,例1 设有一个边长为 的正方形金属片，受热后它的边长伸长了 ，问其面积增加了多少？,一、微分的概念,受热后，当边长由 伸长到 时，面积 相应的增量为,从上式可以看出, 可分成两部分:,这表明，当 很小时，(2)的绝对值要比(1)的绝对值小得多，可以忽略不计，即可用（2)作为 的近似值：,定义1 设函数 在点 的某邻域内有定义，如果函数 在点 处的增量 可以表示为 ，其中 是与 无关的常数， 是当 时比 高阶的无穷小，则称函数 在点 处可微， 称为 在点 处的微分，记作,或,于是,由此引进函数微分的概念：,导数一种比值的极限，即函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于零时的极限.,微分函数增量的近似值，即自变量取得微小增量时函数值增量的近似值.,那么，导数与微分之间存在什么样的联系呢？,于是,可微函数：如果函数 在区间 内每一点都可微，则称该函数在 内可微，或称函数 是在 内的可微函数此时，,函数 在 内任意一点 处的微分记 为 ，即,由此有，,因此，通常把函数的导数与微分的运算统称为微分法在高等数学中，把研究导数和微分的有关内容称为微分学,因此，微分与导数紧密相关，求出了导数立即可得微分，求出了微分亦可得导数，,例2 求函数 当 ， 时的微分,解 函数在任意点的微分,于是,例3 半径为 的圆的面积为 当半径增大 时，求圆面积的增量与微分,面积的微分为,当自变量 有增量 时，切线 的纵坐标相应地有增量,二、微分的几何意义,过曲线 上一 点 作切线 ，设 的 倾角为 ，则,当 有增量 时，曲线 在对应点 处的切线的纵坐标的增量 ,因此，微分 几何上表示:,用 近似代替 ,就是用曲线 在点 处的切线纵坐标的增量近似代替曲线 的纵坐标的增量.,三、微分的运算法则,1基本初等函数的微分公式,2函数的和、差、积、商的微分运算法则,设函数 ， 均可微，则,（ 为常数）,3复合函数的微分法则,而,于是,设函数 都是可导函数，则复合函数 的微分为,解,导数为,微分为,四、微分在近似计算中的应用,这些公式都可用来求函数 的近似值.,若,应用 可以推得一些常用的近似公式,当 很小时,有,另外，,于是，得,即,则,第三节 微 分一、微分的概念二、微分的几何意义三、微分的运算法则四、微分在近似法则中的应用一、微分的概念由此引进函数微分的概念： 导数一种比值的极限，即函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于零时的极限. 微分函数增量的近似值，即自变量取得微小增量时函数值增量的近似值. 那么，导数与微分之间存在什么样的联系呢？于是由此有， 因此，通常把函数的导数与微分的运算统称为微分法在高等数学中，把研究导数和微分的有关内容称为微分学 因此，微分与导数紧密相关，求出了导数立即可得微分，求出了微分亦可得导数，二、微分的几何意义三、微分的运算法则1基本初等函数的微分公式2函数的和、差、积、商的微分运算法则（ 为常数）3复合函数的微分法则 解四、微分在近似计算中的应用另外，第一节 微分中值定理,一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理,定理1 设函数f(x)满足,(1) 在闭区间a,b上连续,(2) 在开区间(a,b)内可导,(3) f(a)=f(b),注意：罗尔中值定理的条件有三个，如果缺少其中任何一个条件，定理将不成立.,一、罗尔中值定理,罗尔中值定理几何意义：,若曲线弧在a,b上为连续弧段，在(a,b)内曲线弧上每点都有不平行于y轴的切线，且曲线弧段在两个端点处的纵坐标相同，那么曲线弧段上至少有一点，过该点的切线必定平行于x轴.,定理2 设函数f(x)满足,(1) 在闭区间a,b上连续；,(2) 在开区间(a,b)内可导；,则至少存在一点,分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 使 在a,b上满足罗尔定理条件，且由 能导出 则问题可解决.,二、拉格朗日中值定理,拉格朗日中值定理的几何意义：,如果在a,b上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.,弦线的方程为,作辅助函数,即可. 的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差.,推论1 若 在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必为某常数.,事实上，对于(a,b)内的任意两点 ，由拉格朗日中值定理可得,由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论：,位于x1， x2之间，故有f(x1)= f(x2).由x1， x2的任意性可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.,推论2 若在(a,b)内恒有 ，则有,其中C为某常数.,由推论1可知f(x)g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.,f(x)=g(x)+C,事实上，由已知条件及导数运算性质可得,例 试证,对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系.因此可以设f(x)=arctan x.,证 设f(x)=arctan x ,不妨设ab .,由于arctan x在a,b上连续，在(a,b)内可导.,可知必定存在一点 ,使得 由于,因此arctan x在a,b上满足拉格朗日中值定理条件.,由于 ，因此,从而有,例 当x0时,试证不等式,分析,取f(t)=ln(1+t) ，a=0，b=x.,则f(t)=ln(1+t) 在区间0,x上满足拉格朗日中值定理，因此必有一点 使得.,说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明不等式时，f(x)与a,b的选取不是惟一的.,即,进而知,第一节 微分中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理定理1 设函数f(x)满足(1) 在闭区间a,b上连续,(2) 在开区间(a,b)内可导,(3) f(a)=f(b),注意：罗尔中值定理的条件有三个，如果缺少其中任何一个条件，定理将不成立.一、罗尔中值定理罗尔中值定理几何意义： 若曲线弧在a,b上为连续弧段，在(a,b)内曲线弧上每点都有不平行于y轴的切线，且曲线弧段在两个端点处的纵坐标相同，那么曲线弧段上至少有一点，过该点的切线必定平行于x轴.定理2 设函数f(x)满足(1) 在闭区间a,b上连续；(2) 在开区间(a,b)内可导；二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的几何意义： 如果在a,b上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.推论1 若 在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必为某常数.由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论：推论2 若在(a,b)内恒有 ，则有其中C为某常数.由推论1可知f(x)g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.f(x)=g(x)+C,例 试证对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系.因此可以设f(x)=arctan x.证 设f(x)=arctan x ,不妨设a0时,试证不等式取f(t)=ln(1+t) ，a=0，b=x.说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明不等式时，f(x)与a,b的选取不是惟一的.第二节 洛必达法则,如果函数 ，其分子、分母都趋于零或都趋于无穷大.,那么，极限 可能存在，也可能不存在.通常称这种极限为未定型.,并分别简记为 .这节将介绍一种计算未定型极限的有效方法洛必达 法则.,一、,定理 如果f(x)和g(x)满足下列条件：,那么,定理 如果f(x)和g(x)满足下列条件：,那么,例1,例2,例3,例4,二、,定理 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：,那么,定理4 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：,那么,例5,例6,三、可化为 型或 型极限,1.如果 ， 则称,对于 型，先将函数变型化为 型或 .再由洛必达法则求之.如,或,2.如果,例7,解,例8,解,应该单独求极限，不要参与洛必达法则运算，可以简化运算.,例9,说明 如果 型或 型极限中含有非零因子，,如果引入等价无穷小代换，则,例10,注意极限过程为,但是注意到所求极限的函数中含有因子 ，且 ，因此极限不为零的因子 不必参加洛必达法则运算.,例11,又当 时， ，故,第二节 洛必达法则 如果函数 ，其分子、分母都趋于零或都趋于无穷大.定理 如果f(x)和g(x)满足下列条件： 定理 如果f(x)和g(x)满足下列条件：例1例2例3例4定理 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：定理4 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：例5例61.如果 ， 则称或2.如果例7例8应该单独求极限，不要参与洛必达法则运算，可以简化运算.例9例10例11第三节 函数的单调性，极值和最值,一、函数的单调性 二、函数的极值 三、函数的最大值和最小值,一、函数的单调性,定理 设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导.则有,(1) 如果在(a,b)内 ，那么，函数f(x)在a,b上单调增加.,(2) 如果在(a,b)内 ，那么，函数f(x)在a,b上单调减少.,例1,解,在(2,1)内所给的函数严格单调减少.,由此可知，在 及 内，所给函数严格单调增加，,例2,解,例3,解,为了研究函数的单调性，我们只关心 在上述四个子区间内的符号，,这三个点x=1，0，1将y的定义域 分为 四个子区间.,表中第一栏由小至大标出函数的定义域被三个特殊点划分的四个区间.,第二栏标出 在各子区间内的符号.第三栏为函数的增减性.如本例可列表：,可知所给函数严格单调增加区间为 .,严格单调减少区间为 .,如果F(x)满足下面的条件：,例4,解,在实际问题中经常遇到需要解决在一定条件下的最大、最小、最远、最近、最好、最优等问题，这类问题在数学上常可以归结为求函数在给定区间上的最大值或最小值问题，这里统称为最值问题.本节将介绍函数的极值问题与最值问题.,二、函数的极值,定义 设函数f(x)在x0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于x0的x都有,(2) 成立，则称 为f(x)的极小值，称 为f(x)的极小值点.,极大值、极小值统称为极值.极大值点、极小值点统称为极值点.,定理(极值的必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导，且x0为f(x)的极值点，则,注意：可导函数的极值点必定是它的驻点.但是需要注意，函数的驻点并不一定是函数的极值点.,例如 为其驻点，但是x=0不是 的极值点.,还要指出，有些函数的不可导的点也可
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