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第三节 二阶常系数线性微分方程一、二阶线性微分方程解的结构二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法的方程，称为二阶线性微分方程.当 时，方程(1)成为形如定理 设y1(x)， y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个解，则 也是方程(3)的解，其中C1, C2是任意常数.(一)二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构 这个定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两个解y1(x)， y2(x)的线性组合 ，仍是方程的解.那么， 是不是方程(3)的通解呢？例1 对于二阶常系数线性齐次微分方程也是它的解.但这个解中只含有一个任意常数C，显然它不是所给方程的通解.问题：方程(3)的两个特解y1(x)， y2(x)满足什么条件时，才是方程(3)的通解？定义 设y1(x) 与y2(x)是定义在某区间内的两个函数，如果存在不为零的常数k (或存在不全为零的常数k1 , k2)，使得对于该区间内的一切x ，有成立，则称函数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线性相关，否则称y1(x) 与y2(x) 线性无关.定理 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个线性无关的特解，则就是方程(3)的通解.例2二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式它所对应的齐次方程为(二) 二阶常系数线性非齐次微分 方程解的性质与通解结构定理 设 是二阶常系数线性非齐次微分方程(1)的一个特解， 是方程(1)所对应的齐次方程(2)的通解，则是方程(1)的通解.例1定理 设的特解，则 是微分方程的特解，其中p，q是常数.分别是二阶常系数线性非齐次微分方程证称一元二次方程(5)为二阶常系数线性齐次微分方程(3)的特征方程.是方程(3)的解，特征方程(5)的根为再由定理11.1可知，函数即 线性无关，故得微分方程(3)的通解为求二阶常系数齐次线性微分方程(3)的通解步骤：1.写出特征方程，并求出特征方程的两个根；2 .根据两个特征根的不同情况，按照公式(6)、(7)或(8)写出微分方程的通解.可使用下表:例3 求微分方程即 (r+1)(r3)=0,例4例51. ，其中 是常数， 是x的一个m次多项式此时微分方程(1)成为分三种情形讨论此式：(1)设 不是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的 根，即 .设方程(4)的一个特解为(2)设 是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的 单根，即 .设方程(4)的一个特解为(3)设 是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的重根，即 .设方程(4)的一个特解为小结：对于二阶常系数线性非齐次微分方程(4)例2 求微分方程例3(1)先求所给方程对应的齐次方程的通解Y.(2)再