高考数学复习-空间直线、平面的垂直（附答案）

空间直线、平面的垂直

一、单项选择题

1.已知m是一条直线,好是两个不同的平面，且〃江火则“〃是忆_1_/'的（）

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.（2024•安徽蚌埠高三期末）已知mji是两条不同的直线,a/j是三个不同的平面,

下列命题正确的是（）

A.若mua,nuB、m〃〃，则a//fi

B.若m_1_。,/〃_1_尸，则a邛

C.若cua.u/"n_L〃，则aJL£

D.若〃%则

3.（2024・重庆高三期末）下列四个正方体图形中,/是正方体的一条对角线，点DEF

分别为其所在棱的中点,能得出/J_平面。E/的是（）

4.在正方体48。。-4囱。。|中,E为4囱的中点,0为C。的中点，则下列直线与

AB\不垂直的是（）

A.O4B.OiB

C.A\CD.OE

5.如图，在正方体A，C0-48IG£>I中,EfMN分别为棱人风4DQQC向的中点,

过E/,M,N四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（）

A.该截面是六边形

B.AC_L平面EFMN

C.平面EFMN〃平面ADiBi

D.该截面过棱BBi的一个三等分点

二、多项选择题

6如图,在直二棱柱人AC4办G中，点/分别是楂4G,RC的中点，则下列结论

中一定正确的是（）

A.CG1•平面481G

B.A/_L平面CBBC

C.E/〃平面488A

D.AE〃平面48G

7.如图，在三棱柱A8CA出G中,NC4B=NCBA=45°,N4AC=NAC8,P为线段

BBi的中点，点N为线段AiBi上靠近Bi的三等分点，则（）

A.AC1BC

B.AC±CBi

C.AC_L平面NPC

D.平面ACP_L平面BCCiBi

8.（2024•福建莆田期末）在棱长为6的正方体A8CD-A0GA中，点E为棱44的

中点，则（）

A.ACI±CDI

B.平面BOE〃平面BiCDi

C.平面平面ACC\Ai

D.平面BiCD、截该正方体外接球的截面面积为2471

三、填空题

9.（2024•上海闵行模拟）如图,对于直四棱柱ABCDABIGOI,要使4cLs。，则在

四边形A8CZ）中，满足的条件可以是.（只需写出一个正确的条件）

AiDi

10.如图所示，在四棱锥P-ABCD中,PA_L底面43cA且底面各边都相等,M是PC

上的一动点，当点M满足时，平面平面尸CD.（只要填写一个你

认为是正确的条件即兀）

11.在长方体人3CD-A出G。中，已知文，若在线段A3上存在点£使得

EG_LEO,则实数t的取值范围是.

四、解答题

12.（13分）如图，在四棱锥P-ABCD中队8〃。。4314。,。。二24用平面PAQ_L底面

A8C7）,PA_LA。出和F分别是CD和PC的中点.求证:

⑴PA_L底面4。。。；

(2)平面平面PCD.

13.(15分)(2024-广西南宁模拟)如图(1),点E是直角梯形ABCD底边CO上的一

点,/ABC=90；BC=。£=1/8二。£=2,将4。A£：沿4£折起,使得D-AE-B成直二

面角，连接CO和3。,如图(2).

⑴求证:平面A8O_L平面BCD;

(2)在线段BD上确定一点E使得C/〃平面ADE.

14.(17分)如图,四边形PQCE为矩形,1四边形A8CQ为梯形，平面PDCE,平面

ABCD,/BAD=/ADC=9(r,AB=AD=^CD=\,PD=\TL

⑴若M为PA的中点，求证:AC〃平面MDE.

(2)求直线PB与直线CD所成角的大小.

(3)设平面平面EBC4试判断/与平面ABCD能否垂直?并证明你的结论.

答案:

1.B由tn//尸,得在平面夕内有一条直线/与机平行，又"z_La,所以/_LG，所以a_L

优

由"2_La,a_L£，得加〃4或mu°.

故“小〃夕是的充分不必要条件.

2.D对于A项，如图，当mua,nuB，m〃鹿时以与£相交，所以A错误;

对于B项，如图，当m.La,mLp时,a〃夕，所以B错误;

对于C项,如图，当〃?ua,〃u0,〃2JL〃时,a〃氏所以C错误;

对于D项，设an产/,在平面a内作因为a_L>,所以/?_Ly,因为夕〃人所以b邛,

因为hua,所以a_L4所以D正确.

aIb__

&_____/

3.C设下底面端点A,B,C及上底面对应端点Bi,如图所示,

连接AB\,B\C和AC,由三垂线定理知,/_LAC且LLSC,又因为ACnBC=C,ACu平

面ABC/iCu平面ABC,所以/_L平面AB\C.

对于C项,因为QE〃办C,。产〃AC/CTlBiC=C,所以平面OE/7〃平面ABC,所以I

_L平面DEF.

A,B,D选项中平面。石尸与平面ABC均不平行，故选C.

4.D对于A项，在正方体ABCD-A\B\C\D\中J_平面BCDiA】,又04u平面

BCZMi,所以故A不合题意；

对于B项，在正方体ABCD-AXB\C\D\中，。出_L平面ABC,又A^u平面A8C,所以

D]_L48i,故B不合题意；

对于C项，在正方体ABCD-AiBiCiDi中AC_L平面ABIQI,又平面AS。,所

以4CJLAB1,故C不合题意;

在平面内的一条直线，若它和平面内的一条斜线在平面内的射影垂直，则它也和这

条斜线垂直，如图，取A小中点£连接OF,FE,易知。匚L平面A3BA],所以FE为

QE在平面A8囱4内的射影，又AS与庄•不垂直，所以A5与OE不垂直，所以D

满足题意.

5.D过E,F,M,N四点，确定截面的一条边EA延长EF交CB于一点，连接该点与

点N即可得到与棱BB\的交点P,利用基本事实3确定交线PN/E,同样的方法找

出其他交线，即可得到截面如图所示.

该截面是六边形FEPNMQ,P,Q分别是8即/）。]的中点，故A正确,D错误；

在正方形中,4OJ_ADi,OCJ_平面ADOA,A/）|U平面ADDiAhDCl

AOi,OCn4O=Q,QCu平面4。&4。（=平面AQC,所以AQi_L平面4OC,ACu

平面4QC,所以ACLAOi,同理可得4。，。山1,2）山1"4。|=。4。（=平面

A出BQ出u平面AOBi,所以AC_L平面ADiBi；

因为MN〃&DiBDiu平面出,MNC平面4。出,所以MN〃平面AQB,因为

NP〃AOSdu平面ADiBi,NPC平面AO同，所以NP〃平面

ADIBT,NPCMN=N,NPU平面EFMN,MNu平面EFMN,所以平面ETMN〃平面

AD\B\yC正确；

因为4C_L平面4。闰,平面E/MN〃平面AQIBI,所以4cL平面EFMN,B正确.

6.AC对于选项A,因为三棱柱ABC-AiBiQ为直三棱柱，所以CG_L平面4SG,

故A正确；

对于选项B,若平面CBBQ,且BCu平面CBBQ,则ARLBC,又因为点尸分

别是棱BC的中点，可知AB=AC,但题设条件不能确定A8=4C,所以不能确定”

J_平面CBBi面，故B错误;

对于选项C,取A3的中点。，连接40,0"，因为D,F分别为AB,BF的中点，则DF

〃AC,Q/二，C又因为ACG4为平行四边形，且E为4G的中点，则4七〃

4cHiE二女C,即DF〃4£。£=4£可知AiEED为平行四边形，则E/〃4。,且

EFC平面AHA,A|OC平面A山iB4,所以〃平面Ai田8A,故C正确；

对于选项D,因为E为AiCi的中点，可知AECI平面4BG=（故D错误.

7.ABDA选项，因为NC/W=NCB4=45。，故NAC9=90°，所以AC_LC8,A正确;

B选项，因为N44C=NACB=90°，所以侧面A4GC为矩形，故ACJ_CG,又AC

J_BC,BCnCG二C,BC,CGu平面CG%B,所以AC_L平面CCiBiB,而CB|U平面

CGBiB,故AC_LCBi,B正确；

C选项，平面NPC不平行于平面CG58,所以AC不垂直于平面NPCC错误；

D选项，因为ACu平面ACP,ACJ_平面CG8民所以平面ACP_L平面CGB】B,D

正确.

8.ACD在正方体A8CO-4SGQi中,AiGJ_8Qi,且44」平面AiBCOi,

又因为囱。口平面AWCiDi,所以A41JLB0,因为4hnA£=Ai,且AAiAGu平

面ACG4,所以8。」平面ACCiAi,因为AGu平面ACG4,所以AC同

理可得8iC_L8G（正方形对角线垂直）,8C_LA8（由A8_L平面8cle8可得），又因

为8C£A8=8,BG,A8u平面A8G,所以8C_L平面ABG,又因为AGu平面

43G，所以ACi_LB]C,因为田。由囱。=。[,且EDiBCu平面ACDi,所以4。1_1_平

面3C。,又因为COu平面囱CO],所以4G_LC£h,故A正确；

因为BD〃B】Di,所以BD_1_平面4CGA,又因为BDu平面所以平面BDEL

平面4CG4,故C正确；

由A知4G_L平面囱CDi,AG_LC。],若平面8OE〃平面囱CD,则AGJ■平面

BDEACJBE,

取。。|的中点尺连接CF,因为点E为棱44的中点，所以CF〃BE,又因为

CQCb=。,所以AG不垂直CE所以AG不垂直矛盾，所以平面BDE,平面

BCQ不平行，故B错误；

因为平面BiCDi三个点都是正方体A8CQ-48CQi上的点，所以平面8C。截

该正方体外接球的截面即为等边△BCQ的外接圆，等边△BCDi的边长为6应，设

△BiCDi的外接圆的半径为八则由正弦定理可得T-二2二即『2迷，所以截面面

sin60

积为兀,=7ix（2历）2=24工故D正确.

9.AC_L囱9（只要使得即可）连接/LG,如图所示，

因为CG_L平面AiBQC,3]D|U平面AiBCQ,则囱。1_LCG,若4G_L

BDAGnee二CCGAC1U平面ACC".小。」平面ACGJ.'AiCu平面

9

A\CC\y»»A\C-LB\D\.

10.OMJ_PC（或MBLPC）连接AC,

p

因为底面ABCD各边者3相等，所以AC_L3O,因为尸A_L底面A8CD8OU底面

A5CO,所以PA_LBO,又4CnP4=A4C,P4u平面PAC,所以3E>J_平面P4C,因为

尸Cu平面P4C,所以BDLPC.

所以当QMJ_PC(或BM_LPC)时,PC与平面MB。内两条相交直线垂直，即有PC

_L平面M3D,而PCu平面PCD,所以平面平面PCD.

11.(0,1］因为GCJ_平面ABCQ,EQu平面ABCD可得GCJ_E。,由EG_L

EO,EGnGC=G,EG,CiCu平面ECG,可得EOJ_平面ECG,所以EDJ_EC,在矩

形ABCD中，设AE=“0WaW2,则BE=2・a,由NDEA+NCEB=90°，可得tanZ

DEAtanZCEB=—.—=——=1,即产二〃(2-4)=-(〃-1)2+1.当a=\时,产取得最大值

AEBEa(2-a)

1,即/的最大值为1;

当。=0或2时,尸取得最小值0,但由于10,所以t的取值范围是(0』］.

12.证明(1)因为平面尸AO_L底面A8CDPA_L4。，平面尸AZX1底面

A8CO=AO,PAu平面PAD,所以PA_L底面A8CD

⑵•・.43〃。£),。。=2/1艮£：为CD中点，

・•.AB//DEAB=DE,则四边形ABED为平行四边形.

*：ABLAD,：.四边形4BEO为矩形，，区工LCD,AO_LCD

・；PA_L底面ABOZCDc平面ABCD.；.PALCD.

又PA/Ou平面PAD且PAnAO=A,・・・CO_L平面PAD.

♦：PDu平面PAO,I.CD_LPD.

•・・E和"分别是CO和PC的中点，

：.PD//EF,：.CDLEF.

又CD±BE,EFCiBE=E,EF,BEu平面BEF,；.CQ_L平面BEF.

•「CQu平面PCD,

，平面BE7LL平面PCD.

13.⑴证明在直角梯形A8CO中，取OE中点为M连接AM,

则0M=EM=1/M=BC=1,所以AE=AO=&,所以从序+4£>2=。序,所以QA_LA£

因为D-AE-B成百二面角，所以平面平面ABCE,又平面AOECl平面

48CE=4E,D4u平面AD及所以Q4_L平面ABCE.

因为BCu平面A8CE,所以OA_L8C,又AB_L8C,D4nAB=A,QAu平面A8O,A8u

平面ABD,所以8C_L平面ABD,因为BCu平面BCD,所以平面A3。，平面BCD.

(2)解如图，分别取线段BDAB的中点EG,连接CG,FG,FC、

则“G〃AD,又bG《平面AOE/Qu平面AQE,所以/G〃平面AOE.在直角梯形

ABCD中,AG〃EC且AG=EC=1,所以四边形AGCE为平行四边形，所以AE//GC.

又CGC平面AQJ4EU平面AOE,所以CG〃平面AOE,又尸GCCG=G,RS,CG二平

面CFG,所以平面CFG〃平面ADE,又因为CR=平面