【创新设计】2013-2014高中数学同步练习+同步课件（打包45套） 北师大版选修1-2
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创新
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45
北师大
选修
- 资源描述：
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【创新设计】2013-2014高中数学同步练习+同步课件（打包45套） 北师大版选修1-2,创新,立异,设计,高中数学,同步,练习,课件,打包,45,北师大,选修
- 内容简介：
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1 了解间接证明的一种基本方法 反证法 2 了解反证法的思考过程 、 特点 3 理解反证法的推理过程 ， 证明步骤 ， 体会直接证明与间 接证明的区别与联系 1 体会反证法的思考过程 、 特点 ， 培养逆向思维能 力 (重点 ) 2 利用反证法证明 (难点 、 重点 ) 3反证法的假设 (易错点 ) 4 反证法 【 课标要求 】 【 核心扫描 】 在证明数学问题时 ， 先假定 成立 ， 在这个 前提下若推出的结果与 、 、 矛盾 ， 或 与命题中的 相矛盾 ， 或与 相矛盾 ， 从 而断定 不可能成立 ， 由此断定 . . 成立 ， 这种证明方法叫作反证法 自学导引 1反证法的定义 命题结论的反面 定义 公理 定理 已知条件 假定 命题结论的反面 命题的结论 2 反证法证明的思维过程 反 证法的证明过程可以概括为 “ 否定 推理 否 定 ” ，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑 矛盾，从而达到新的否定 ( 即肯定原命题 ) 的过程 用反证法证明命题 “ 若 p 则 q ” 的过程可以用以下框图 表示： 肯定条件 p ，否定结论 q 导致逻辑矛盾 “ p 且 綈 q ” 为假 “ 若 p 则 q ” 为真 分析反证法证明命题 “ 若 p则 q” 时 ， 可能会出现几 种情况 ？ 提示 可能会出现以下三种情况： (1)导出非 即 也就是与原命题的条件矛盾； (2)导出 即与假设 “ 非 矛盾； (3)导出一个恒假命题 ， 即与定义 、 公理 、 定理矛盾 想一想： 通过导出矛盾 ， 归结为谬误而使命题得证 因此 ， 这种反 证法也叫归谬法 在反证法的应用中 ， 其难点是如何引出矛盾 ， 用反证法证 明命题 “ 若 p则 q” 时 ， 引出矛盾的形式有下面三个方面： (1)假设结论 经过推理论证得到条件 即 与原命题的条件矛盾 (2)假设结论 经过推理论证得到结论 即由 “ 非 推出了 “ ， 形成了自相矛盾 名师点睛 1 反证法的特征 2反证法矛盾构设的几种情况 (3)假设结论 经过推理论证得到了一个恒假命 题 ， 即与某个 “ 公理 、 定义 、 定理 、 性质 ” 矛盾 ， 或与某 个概念结论显然矛盾 反证法主要适用于以下几种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显 ， 直接由条件推出 结论的线索不够清晰； (2)如果从正面证明 ， 需要分成多种情形进行分类讨论 ， 而 从反面进行证明 ， 只需研究一种或很少的几种情形 3反证法的应用 4反证法的证题步骤 设 a， b， c， d R， 且 1， 求证： . 由条件不能正面证明结论 ， 采用反证法假设结 论不成立 ， 将已知条件代入整理可得出与已知条件矛盾 题型一 “ 否定 ” 型命题 【 例 1】 思路探索 假设 1， 因为 1， 所以 0， 即 (a b)2 (c d)2 (a d)2 (b c)2 0， 所以 a b 0， c d 0， a d 0， b c 0， 所以 a b c d 0， 这与已知条件 1矛盾 故假设不成立 ， 所以 . 本题为 “ 否定 ” 型命题 ， 显然从正面证明需 要证明的情况太多 ， 不但过程繁琐而且容易遗漏 ， 故可以 考虑采用反证法 一般当题目中含有 “ 不可能 ” 、 “ 都 不 ” 等否定性词语时 ， 宜采用反证法证明 规律方法 证明 【训练 1 】 用反证法证明：已知 a ， b 均为有理数，且 a 和 b 都是无理数，求证： a b 是无理数 证明 假设 a b 为有理数， 则 ( a b )( a b ) a b . 由 a 0 ， b 0 ，得 a b 0. a b a b a 、 b 为有理数，且 a b 为有理数， a a b 为有理数， ( a b ) ( a b ) 为有理数 ， 即 2 a 为有理数 从而 a 也应为有理数 ， 这与已知 a 为无理数矛盾 a b 一定为无理数 用反证法证明：过已知直线 有且只有一条 直线 由平行直线的定义可知过直线外一点至少可以 作一条已知直线的平行线 而 “ 只有一条 ” 可通过假设过 点 由平行公理推出与假设矛 盾 证明 由两条直线平行的定义和几何图形可知 ， 过点 少有一条直线与直线 假设过点 b 与已知直线 即 bb A， b b a， 由平 行公理知 b bb 所以假设错 误 ， 原命题成立 题型二 “ 唯一 ” 型命题 【 例 2】 思路探索 用反证法证明问题时要注意以下三点： (1)必须先否定结论 ， 即肯定结论的反面 ， 当结论的反面呈 现多样性时 ， 必须罗列出各种可能结论 ， 缺少任何一种可 能 ， 反证都是不完全的； (2)反证法必须从否定结论进行推理 ， 即应把结论的反面作 为条件 ， 且必须根据这一条件进行推证 ， 否则 ， 仅否定结 论 ， 不从结论的反面出发进行推理 ， 就不是反证法； (3)推导出的矛盾可能多种多样 ， 有的与已知矛盾 ， 有的与 假设矛盾 ， 有的与事实矛盾等 ， 推导出的矛盾必须是明显 的 规律方法 已知两条相交直线 a， b， 求证：直线 a， 一个交点 证明 假设结论不成立 ， 即有两种可能： 无交点；至少有两个交点 (1)若直线 a， 那么 a b或 a， 与已 知矛盾； (2)若直线 a， 和 B， 这样同时经过点 A， B 就有两条直线 ， 这与 “ 经过两点有且只有一条直线 ” 相矛 盾 综上所述 ， 两条相交直线 a， 【 训练 2】 (12分 )已知 a， b， 求证：由 y 2c， y 2a， 和 y 2拋物线至少有一条与 当命题出现 “ 至多 ”“ 至少 ”“ 唯一 ” 等形式 时 ， 适合用反证法 题型三 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 型命题 【 例 3】 审题指导 【 解题流程 】 规范解答 假设题设中的函数确定的三条拋物线都不 与 (2分 ) 由 y 2c， y 2a， y 2b， 得 1 (2b)2 4， 且 2 (2c)2 4， 且 3 (2a)2 4. (5分 ) 同向不等式求和得： 444444 (7分 ) 222222 (8分 ) (a b)2 (b c)2 (a c)20 (9分 ) a b c (10分 ) 这与题设 a， b， 因此假设不成立 ， 从而命题得证 (12分 ) 常见的 “ 结论词 ” 与 “ 反设词 ” 【 题后反思 】 原结论词 至少有一个 至多有一个 至少有 至多有 反设词 一个也没有 (不存在 ) 至少有两个 至多有 n1个 至少有 n1个 原结论词 只有一个 对所有 对任意 反设词 没有或至 少有两个 存在某个 存在某个 原结论词 都是 是 p或 q p且 q 反设词 不都是 不是 綈 q 綈 q 已知 00， 求证： 少有一个数大于 25. 证明 假设 5， 即 5， 5， 5， 5， 则 5 25 25 25 00矛盾 ， 故假设不成立 所以 ， 5. 【 训练 3】 已知实数 2p 1)(p 2) 0， 用反证法证 明：关于 2x 5 0无实根 误区警示 用反证法证明时，忽略步骤致错 【 示例 】 错解 假设方程 2 x 5 0 有实根，由已知实数 p 满足不等式 (2 p 1) ( p 2) 0 ，解得 2 p 12，方 程 2 x 5 0 的判别式 4( 4) ， 2 p 12， 14 4 ， 0. 即关于 x 的方程 2 x 5 0 无实根 利用反证法进行证明时 ， 首先要对所要证明的结 论进行否定性的假设 ， 并以此为条件进行推理 ， 得到矛 盾 ， 从而证明原命题成立 即反证法必须严格按照 “ 否定 推理 否定 ” 的步骤进行 正解 假设方程 2 x 5 0 有实根，则该方程的 判别式 4 4( 5 0 ，解得 p 2 或 p 2 ，而由
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