07年全国各省[37套]高考数学试题（有答案）全部详解点拨
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用心 爱心 专心 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 卷 ） 文科数学 一、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） . 1设 | 2 1 0 S x x ， | 3 5 0 T x x ，则 A B 1 | 2C 5 | 3 15 | 23 解： 设 | 2 1 0 S x x =x| x21， | 3 5 0 T x x =x| x35， 则 15 | 23 ，选 D。 2 是第四象限角， 12，则 A 513B 513C 512D 512解： 是第四象限角， 12，则 2 51 c o ，选 B。 3已知向量 ( 5, 6)a ， (6,5)b ，则 a 与 b A垂直 B不垂直也不平行 C平行且同向 D平行且反向 解： 已知向量 ( 5, 6)a ， (6,5)b ， 3 0 3 0 0 ，则 a 与 b 垂直，选 A。 4已知双曲线的离心率为 2，焦点是 ( 4,0) ， (4,0) ，则双曲线方程为 A 2214 12B 22112 4C 22110 6D 2216 10解： 已知双曲线的离心率为 2，焦点是 ( 4,0) ， (4,0) ，则 c=4， a=2， 2 12b ， 双曲线方程为 2214 12，选 A。 5甲、乙、丙 3 位同学选修课 程，从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门， 则不同的选修方案共有 A 36 种 B 48 种 C 96 种 D 192 种 解： 甲、乙、丙 3 位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门， 则不同的选修方案共有 2 3 34 4 4 96C C C 种，选 C。 用心 爱心 专心 6下面给出的四个点中，位于 1010 表示的平面区域内的点是 A (0,2) B ( 2,0) C (0, 2) D (2,0) 解： 将四个点的坐标分别代入不等式组 1010 ，满足条件的是 (0, 2) ，选 C。 7如图，正棱柱1 1 1 1A B C D A B C D中，1 2B， 则异面直线1A 15B 25C 35D 45解： 如图，连 接 AB=a， 则 a， 1B= 5 a， 2 a， 5，选 D。 8设 1a ，函数 ( ) lo x x在区间 ,2 2，则 a A 2 B 2 C 22 D 4 解： 1a ，函数 ( ) lo x x在区间 ,2 lo g 2 , lo g 1它们的差为 12 ， 1 2a ， a 4，选 D。 9 ()() 上的函数， ( ) ( ) ( )h x f x g x， 则“ ()()“ () A充要条件 B充分而不必要的条件 C必要而不充分的条件 D既不充分也不必要的条件 解： ()()在 R 上的函数， ( ) ( ) ( )h x f x g x，若“ ()()偶函数”，则“ ()而反之若“ 1( ) 2 ( )2为偶函数”，则“ ( ) 2， 1( ) ( )2 不一定均为偶函数”，所以“ ()()是“ ()函数”是充分而不必要的条件，选 B。 D 心 爱心 专心 10函数 22 的一个单调增区间是 A ( , )44B (0, )2C 3( , )44D ( , )2 解： 函数 22 =1 ，它的一个单调增区间是 ( , )2 ，选 D。 11曲线 313y x x在点 4(1, )3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 A 19B 29C 13D 23解： 曲线 321 1 2 ,3y x x y x k 在点 4(1, )3处的切线方程是 4 2 ( 1)3 ， 它与坐标轴的交点是 (31， 0)， (0， 32)，围成的三角形面积为 19，选 A。 12抛物线 2 4的焦点为 F，准线为 l，经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A， AK l ，垂足为 K，则 面积是 A 4 B 33 C 43 D 8 解： 抛物线 2 4的焦点 F(1， 0)，准线为 l： 1x ，经过 F 且斜率为 3 的 直线 3 ( 1)与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A(3， 2 3 )， AK l ， 垂足为 K( 1， 2 3 )， 正 面积是 4 3 ，选 C。 二、 填空题 : （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13从 某 自动打包机包装的食盐中，随机抽取 20 袋，测得各袋的质量分别为（单位： g）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的 袋装食盐质量在 间的概率约为 _。 解： 袋装食盐质量在 间的概率约为 P= 520= 14函数 ()y f x 的图象与函数3l o g ( 0 )y x x的图象关于直线 对称， 则 ()_。 解： 函数 ()o g ( 0 )y x x互为反函数， ()3 ( )x xR 。 用心 爱心 专心 15 正四棱锥 S 的底面边长和各侧棱长都为 2 ，点 S、 A、 B、 C、 D 都在同一个球面上，则该球的体积为 _。 解： 正四棱锥 S 的底面边长和各侧棱长都为 2 ，点 S、 A、 B、 C、 D 都在同 一个球面上，则该球的球心恰好是底面 中心，球的半径是 1，体积为 43。 16等比数列 n 项和为知1S，22S，33 则 _。 解： 等比数列 比 1q ，已知1S，22S，33列， 11 a q ， 2 1 343S S S ，即 21 1 1 1 1 14 ( ) 3 ( )a a q a a a q a q ，解得 3q。 三、 解答题 : （本大题共 6 小题，共 70 分） 17设锐角三角形 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 2 b A （）求 B 的大小； （）若 33a ， 5c ，求 b. (10 分 ) 解：（）由 2 b A ，根据正弦定理得 s i n 2 s i n s i A ，所以 1， 由 为锐角三角形得 6B （）根据余弦定理，得 2 2 2 2 c o sb a c a c B 27 25 45 7 所以， 7b 18某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买。根据以往资料统计， 顾客采用一次性付款的概率是 销一件该商品，若顾客采用一次性付款， 商场获得利润 200 元；若顾客采用分期付款，商场获得利润 250 元。 (12 分 ) （）求 3 位购买该商品的顾客中至少有 1 位采用一次性付款的概率； （）求 3 位顾客每人 购买 1 件该商品，商场获 得 利润不超过 650 元的概率。 解：（）记 A 表示事件：“ 3 位顾客中至少 1 位采用一次性付款”， 则 A 表示事件：“ 3 位顾客中无人采用一次性付款” 3( ) (1 0 . 6 ) 0 . 0 6 4 ， ( ) 1 ( ) 1 0 . 0 6 4 0 . 9 3 6P A P A 用心 爱心 专心 （）记 B 表示事件：“ 3 位顾客每人购买 1 件该商品，商场获得利润不超过 650 元” 0购买该商品的 3 位顾客中无人采用分期付款” 1购买该商品的 3 位顾客中恰有 1 位采用分期付款” 则01B B B 30( ) 0 . 6 0 . 2 1 6， 1213( ) 0 . 6 0 . 4 0 . 4 3 2P B C 01( ) ( )P B P B B 01( ) ( )P B P B 0 6 0 2 19四棱锥 S 中，底面 平行四边形，侧面 底面 已知 45 ， 2， 22， 3S A S B。 (12 分 ) （）证明： C ； （）求直线 平面 成角的大小。 解法一： （） 作 C ，垂足为 O ，连结 由侧面 底面 得 底面 因为 B ，所以 O ， 又 45 ，故 为等腰直角三角形， O ， 由三垂线定理，得 C （）由（）知 C ， 依题设 C ， 故 D ，由 22A D B C， 3， 22 11S D A D S A 又 s i n 4 5 2A O A B， 作 C ，垂足为 E ， 则 平面 连结 为直线 平面 成的角 2 2 2s i A S D 所以，直线 平面 成的角为 22 C A S O E 用心 爱心 专心 解法二： （）作 C ，垂足为 O ，连结 由侧面 底面 得 平面 因为 B ，所以 O 又 45 ， 为等腰直角三角形， B 如图，以 O 为坐标原点， x 轴正向，建立直角坐标系 O ， 因为 2 22A O B O A B ， 22 1S O S B B O ， 又 22，所以 ( 2 0 0)A ， ， ， (0 2 0)B ， ， ， (0 2 0)C ， ， (001)S ， ， ， ( 2 0 1)， ， ， ( 0 2 2 0 ) ， ， ， 0B ，所以 C （） ( 2 2 2 1 )S D S A A D S A C B ， ， ( 2 0 0 ) ， ， . D 的夹角记为 ， 平面 成的角记为 ， 因为 法向量，所以 与 互余 22c o S S D ， ， 所以，直线 平面 成的角为 22 20设函数 32( ) 2 3 3 8f x x a x b x c 在 1x 及 2x 时取得极值。 (12 分 ) （）求 a、 b 的值； （）若对 于 任意的 0,3x ，都有 2()f x c 成立，求 c 的取值范围。 D B C A S O x y z 用心 爱心 专心 解： （） 2( ) 6 6 3f x x a x b ， 因为函数 ()x 及 2x 取得极值，则有 (1) 0f ， (2) 0f 即 6 6 3 02 4 1 2 3 0 ，解得 3a ， 4b （）由（）可知， 32( ) 2 9 1 2 8f x x x x c ， 2( ) 6 1 8 1 2 6 ( 1 ) ( 2 )f x x x x x 当 (01)x ， 时， ( ) 0 ； 当 (12)x ， 时， ( ) 0 ； 当 (23)x ， 时， ( ) 0 所以，当 1x 时， ()1) 5 8 ，又 (0) 8， (3) 9 8 则当 03x ， 时， ()3) 9 8 因为对于任意的 03x ， ，有 2()f x c 恒成立， 所以 298，解得 1c 或 9c ， 因此 c 的取值范围为 ( 1 ) ( 9 ) ， ， 21设 且111，3521，5313. (12 分 ) （）求 （）求数列 前 n 项和 用心 爱心 专心 解： （）设 d ， q ，则依题意有 0q 且 421 2 2 11 4 1 3 ，解得 2d ， 2q 所以 1 ( 1 ) 2 1na n d n ， 112 （）1212 1 2 2 13 5 2 3 2 11 2 2 2 2 ， 325 2 3 2 12 2 3 2 2 2 ， 得2 2 12 2 2 2 122 2 2 2 2 ， 2 2 11 1 1 2 12 2 1 2 2 2 2 1111212221 212 1236 2 22已知椭圆 22132的左 、 右焦点分别为1F、2F，过1、 D 两点， 过2、 C 两点，且 D ， 垂足为 P. (12 分 ) （）设 P 点的坐标为00( , )明： 2200132； （）求四边形 面积的最小值。 用心 爱心 专心 （） 证明 : 椭圆的半焦距 3 2 1c ， 由 D 知点 P 在以线段12 故 22001， 所以， 2 2 2 20 0 0 0 1 13 2 2 2 2x y x y （）（）当 斜率 k 存在且 0k 时， 方程为 ( 1)y k x， 代入椭圆方程 22132，并化简得 2 2 2 2( 3 2 ) 6 3 6 0k x k x k 设11()B x y，22()D x y，则 ： 212 2632k ， 212 23632k ， 22 2
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