07年全国各省[37套]高考数学试题（有答案）全部详解点拨
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核对整理录入： 湖南省示范性（重点）高中洞口一中 曾维勇 第 1 页 共 14 页 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 （辽宁卷） 数 学 （供理科考生使用） 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 第 卷 1 至 2 页，第 卷 3 至 4 页 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第 卷 （选择题 共 60 分） 参考公式： 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 24 如果事件 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 34 3VRn 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 ( ) (1 ) ( 0 1 2 )k k n k C p p n n ， ， ， ， 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1设集合 1 2 3 4 5U ， ， ， ， ， 13A ， ， 2 3 4B ， ， ，则 （ ） A 1 B 5 C 24， D 1234， ， ， 解析： B 2若函数 ()y f x 的 反函数 图象过点 (15)， ，则函数 ()y f x 的图象必过点（ ） A (11)， B (15)， C (51)， D (55)， 解析：根据反函数定义知反函数图像过（ 1， 5），则原函数图像过点（ 5， 1），选 C 3若向量 a 与 b 不共线， 0且 a - 向量 a 与 c 的夹角为（ ） A 0 B 6C 3D 2解析：因为 0)( 22 所以向量 a 与 c 垂直，选 D 核对整理录入： 湖南省示范性（重点）高中洞口一中 曾维勇 第 2 页 共 14 页 4设等差数列 n 项和为3 9S ，6 36S ，则7 8 9a a a （ ） A 63 B 45 C 36 D 27 解析：由等差数列性质知 等差数列，即 9， 27， S 成等差， 所以 S=45，选 B 5若 35 44 ，则复数 ( c o s s i n ) ( s i n c o s ) i 在复平面内所对应的点在（ ） A第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解析：取 =得 ( c o s s i n ) ( s i n c o s ) i =-1+i，第二象限，选 B 6 若函数 ()y f x 的图象按向量 a 平移后，得到函数 ( 1) 2y f x 的图象， 则向量 a=（ ） A ( 1 2)， B (1 2)， C ( 12)， D (12)， 解析： 函数 ( 1) 2y f x 为 )1(2 令 2,1 平移公式， 所以向量 a= ( 1 2)， ，选 A 7 若 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的 平面， 则下列命题中的 真命题 是（ ） A若 m ， ，则 m B 若 m n ， ，则 C若 m ， m ，则 D 若 ， ，则 解析：由有关性质排除 A、 B、 D，选 C 8已知变量 满足约束条件 20170 ， ， ，则 ） A 9 65，B 9 65 ， ，C 36 ， ， D 36， 解析：画出可行域为一三角形，三顶点为（ 1， 3）、（ 1， 6）和（29,25）， 可行域内的点（ x， y）与原点（ 0， 0）连线的斜率，当（ x， y） =（ 1， 6） 时取最大值 6，当（ x， y） =（29,25）时取最小值59，选 A. 核对整理录入： 湖南省示范性（重点）高中洞口一中 曾维勇 第 3 页 共 14 页 9一个坛子里有编号为 1， 2， 12 的 12 个大小相同的球，其中 1 到 6 号球是红球， 其余的是黑球 . 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号码是 偶数的概率是（ ） A 122B 111C 322D 211解析：从中任取两个球共 有 66212 C 种取法，其中取到的都是红球，且至少有 1 个球 的号码是偶数的取法有 122326 率为1126612，选 D. 10设 是两个命题：21251: l o g ( | | 3 ) 0 : 066p x q x x ，则 p 是 q 的（ ） A充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析： p： 344|313|0 43 x ， q： ),21()31,( ， 结合数轴知 p 是 q 的充分而不必要条件，选 A 11设 P 为双曲线 22 112上的一点，12该双曲线的两个焦点， 若12| |:| | 3 : 2P F P F ，则12面积为（ ） A 63 B 12 C 12 3 D 24 解析：因为12| |:| | 3 : 2P F P F ，设 |,3| 21 ，根据双曲线定义得 2223| 21 所以 132|,4|,6| 211 222 4652)132( ， 12为直角三角形，其面积为 124621 ，选 B 12 已知 () 上的连续函数，如果 ()x 时的 函数值为 0，且 ( ) ( )f x g x ，那么下列情形 不可能 出现的是（ ） A 0 是 ()是 ()B 0 是 ()是 ()C 0 是 ()不是 ()D 0 是 ()不是 ()解析：根据题意和图形知当 0 是 ()是 () C 核对整理录入： 湖南省示范性（重点）高中洞口一中 曾维勇 第 4 页 共 14 页 第 卷 （ 非 选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 13已知函数2c o s ( 0 )()1 ( 0 )a x ，在点 0x 处连续，则 a 解析：因为2c o s ( 0 )()1 ( 0 )a x ，在点 0x 处连续， 所以 1)0()( 4设椭圆 22125 16上一点 P 到左准线的距离为 10， F 是该椭圆的左焦点， 若点 M 满足 1 ()2O M O P O F，则 | 解析：椭圆 22125 16左准线为325x，左焦点为（ 0）， P（ )328,35 ，由已知 M 为 点， M（ )3 24,32 ，所以 |2)324()32( 22 15若一个底面边长为 62，棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个 球的 面上， 则此球的体积为 解 析：根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由 12)6()6()2( 222 R 得 R= 3 ，球体积为 3434 3 数字 1， 2， 3， 4， 5， 6 拼成一列，记第 i 个数为i (i 1 2 6 )a ， ， ，若1 1a ，3 3a ，5 5a ，1 3 5a a a，则不同的排列方法有 种（用数字作答） 解析：分两步：（ 1）先排531 , 1a =2，有 2 种； 1a =3 有 2 种； 1a =4 有 1 种，共有 5 种；（ 2）再排642 , 有 633 不同的排列方法种数为 5 6=30，填 30 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( ) s i n s i n 2 c o 2 xf x x x x R，（ 其中 0 ） 核对整理录入： 湖南省示范性（重点）高中洞口一中 曾维勇 第 5 页 共 14 页 （ I）求函数 () （ 对任意的 aR ，函数 ()y f x ， ( x a a， 的图象与直线 1y 有且仅有两个不同的交点，试确定 的值（不必证明），并求函数 ()y f x xR， 的单调增区间 本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识， 考查综合运用三角函数有关知识的能力满分 12 分 （ I）解： 3 1 3 1( ) s i n c o s s i n c o s ( c o s 1 )2 2 2 2f x x x x x x 312 s i n c o s 122 2 s i n 16x 5 分 由 1 s i n 16x ，得 3 2 s i n 1 16x ， 可知函数 () 31， 7 分 （ ：由题设条件及三角函数图象和性质可知， ()y f x 的周期为 ，又由 0 ， 得 2 ，即得 2 9 分 于是有 ( ) 2 s i n 2 16f x x ，再由 2 22 ()2 6 2k x k k Z ， 解得 ()63k x k k Z 所以 ()y f x 的单调增区间为 63， ()kZ 12 分 18 （本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱1 1 1 B C中， 90， C a， 分别为 棱 C， 的中点， M 为棱1点，二面角 M 为 30 （ I）证明：1 1 1A B C D； （ 长，并求点 C 到平面 距离 核对整理录入： 湖南省示范性（重点）高中洞口一中 曾维勇 第 6 页 共 14 页 本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形 等基础知识， 考查空间想象能力与思维能力满分 12 分 （ I）证明：连结 三棱柱1 1 1 B C是直三棱柱， 1平面 1的射影 中， C ， D 为 点， D ， 1 D 11A B 1 1 1A B C D 4 分 （ 法一：过点 A 作 平行线， 交 延长线于 F ，连结 分别为 C， 的中点， C / 又 E/ ， C E 平面 平面 的射影 E 为二面角 M 的平面角， 30 在 中， 122 B C， 30， 36AM a 8 分 作 F ，垂足为 G ， E ， E ， 平面 平面 平面 平面 在 中， 30，2 1B A M D E 1B A M D E F G 核对整理录入： 湖南省示范性（重点）高中洞口一中 曾维勇 第 7 页 共 14 页 4即 A 到平面 距离为4a E/ ， /面 C 到平面 距离与 A 到平面 距离相等，为4a 12 分 解法二：过点 A 作 平行线，交 延长线于 F ，连接 分别为 C， 的中点， C/ 又 E/ ， ,C E 平面 平面 的射影， E 为二面角 M 的平面角， 30 在 中， 122 B C， 30， 36AM a 8 分 设 C 到平面 距离为 h ， M C D E C M D 1133C D E M D A S h 2128C D E E D E， 36MA a， 21 1 32 2 c o s 3 0 1 2M D E E M F D E a ， 2 21 3 1 33 8 6 3 1 2a a a h ， 4即 C 到平面 距离为4a 12 分 19 （本小题满分 12 分） 某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本 C 与产量 q 的函数关系式为 3 23 2 0 1 0 ( 0 )3qC q q q 该种 产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格 q 的函数关系式如下表所示： 核对整理录入： 湖南省示范性（重点）高中洞口一中 曾维勇 第 8 页 共 14 页 市场情形 概率 价格 p 与产量 q 的函数关系式 好 64 3 中 01 3 差 0 3 设1 2 3L L L， ，分别表示市场情形好、中 、 差时的利润，随机变量q，表示当产量 为 q 而市场前景无法确定的利润 （ I）分别求利润1 2 3L L L， ，与产量 q 的函数关系式； （ 产量 q 确定时，求期望 （ 问产量 q 取何值时，得最大值 本小题主要考查数学期望 ,利用导数求多项式函数最值等基础知识 , 考查运用概率和函数知识建模解决实际问题的 能力 2 分 . ( )解 :由题意可得 2 2( 1 6 4 3 ) ( 3 2 0 1 0 )3qq q q q 1014433 (q 0). 同理可得 1081332 (q 0) 1050333 q 0) 4 分 ( ) 解 :由期望定义可知 1 2 30 . 4 0 . 4 0 . 2 L L )10503(0813(01 4 43(33 8 分 ( ) 解 :由 ( )可知产量 q 的函数 ,设 3( ) 1 0 0 1 0 ( 0 ) ,3q qf q E q q 核对整理录入： 湖南省示范性（重点）高中洞口一中 曾维勇 第 9 页 共 14 页 得 )( 2 0解得 10,10 舍去 ). 由题意及问题的实际意义 (或当 0 q 10时 , () 0;当 q 10时 , ( ) 0) 可知 ,当 q=10时 , f(q)取得最大值 ,即大时的产量 q 为 10. 12 分 20（本小题满分 14 分） 已知正三角形 三个顶点都在抛物线 2 2上，其中 O 为坐标原点， 设圆 C 是 外 接圆（点 C 为圆心） （ I）求圆 C 的方程； （ 圆 M 的方程为 22( 4 7 c o s ) ( 7 s i n ) 1 ，过圆 M 上任意一点 P 分别作圆 C 的两条切线 F， ，切点为 ，求 F 的最大值和最小值 本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识， 考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分 14 分 （ I）解法一：设 两点坐标分别为 21 12y y， 22 22y y，由题设知 2 2 22 2 2 22 2 21 1 1 22 2 1 2()2 2 2 2y y y yy y y y 解得 221212， 所以 (6 2 3)A ， ， (6 2 3 )B ， 或 (6 2 3 )A ， ， (6 2 3)B ， 设圆心 C 的坐标为 ( 0)r， ，则 2 643r ，所以圆 C 的方程为 22( 4 ) 1 6 4 分 解法二：设 两点坐标分别为11()22()由题设知 2 2 2 21 1 2 2x y x y 又因为 2112 2222可得 221 1 2 222x x x x 即 1 2 1 2( ) ( 2 ) 0x x x x 由1 0x ，2 0x ，可知12故 两点关于 x 轴对称，所以圆心 C 在 x 轴上 核对整理录入： 湖南省示范性（重点）高中洞口一中 曾维勇 第 10 页 共 14 页 设 C 点的坐标为 ( 0)r， ，则 A 点坐标为 3322，于是有 233222，解得 4r ，所以圆 C 的方程为 22( 4 ) 1 6 4 分 （ ：设 2a，则 2| | | | c o s 2 1 6 c o s 2 3 2 c o s 1 6C E C F C E C F 8 分 在 中， 4c o s| | | | P C ，由圆的几何性质得 | | | | 1 7P C M C 18 ， | | | | 1 7 1 6P C M C ， 所以 12c o ，由此可得 1689C E C F 则 最大值为 169，最小值为 8 14 分 21（本小题满分 12 分） 已知数列 )()xR 满足条件： 1 ,1( ) ( ) ( )n n na f b g b n N*. （ I） 若 ( ) 1 0 2f x tx t t = ， ， ( ) 2g x x ， ( ) ( )f b g b ， 且 a存在， 求 t 的取值范围 ,并求 a（用 t 表示） ； （ 函数 ()y f x 为 R 上的增函数， 1( ) ( )g x f x ， 1b ， (1) 1f ， 证明对任意 nN* ，1 本小题主要考查数列的定义，数列的 递推公式，等比数列，函数，不等式等基础知识，考查运用数学归纳法解法问题的能力 2分 . ( )解法一：由题设知 11112,得1 又已知 2t ,可得 )221 4 分 由1 2( ) ( ) , 2 , 0 , 0 , 0 ,2 2 2b g b t t a t 可 知2 2na t所 以是等比数列，其首项为2,2 tt 比为核对整理录入： 湖南省示范性（重点）高中洞口一中 曾维勇 第 11 页 共 14 页 1 , 122( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2t t t ta t b a t bt t t t 即 又 a存在，可得 0 |2|t 1,所以 t 2 且 .0t ta 8 分 解法二 =2,且 .2t 可得 )211 4 分 由 ,0,2),()( 知 02,021 所以 21首项为 21公比为 2t 的等比数列 . )(21(,)2)(21(21 11 由12可知，若nn ann b于是可得 0 |2|t 1, 所以 t 2且 .0t nn ann b22t 8 分 解法三 :由题设知 =2,即 ,2121 nn 于是有 ,212 12 nn -得 得令 ,),(2 1112 nn 4 分 由1 2 1 ( 2 ) 1( ) ( ) , 2 , 0 0 , 0 ,22t b tf b g b t t c b b 可 知所以 公比为2是 .)(21)2(1)( 121211 2)2(142 1 （ +2b. 核对整理录入： 湖南省示范性（重点）高中洞口一中 曾维勇 第 12 页 共 14 页 又nn a得 0 |2|t 1,所以 t 2且 .0t 2)(2 42 8 分 说明：数列 其他过程和结果参照以上 评分 标准 . ( )证明：因为 )(),)(),()(11(111 即所以. 下面用数学归纳法证明1( *). (1)当 n=1时，由 f(x)为增函数 ,且 )1(f 1,得 )1()( 11 1, )1()( 12 1, )( 22 1)1( ， 即 2a 1a ，结论成立 . 10 分 （ 2）假设 n=1ka f(x)为增函数，得 )( 1 f( ,即 2 1进而得 2() f(1即2这就是说当 n=k+1时，结论也成立 . 根据（ 1）和（ 2）可知，对任意的 *,nN1na 12 分 22（本小题满分 12 分） 已知函数 2 2 2( ) 2 ( ) 2 1x e t e x x t ， 1( ) ( )2g x f x （ I）证明：当 22t 时， () 上是增函数； （ 于给定的闭区间 ，试说明存在实数 k ，当 时， ()上是减函数 ； （ 明： 3()2 本小题主要考查二次函数，利用导数研究 函数的单调性和极值，函数的最大值和 核对整理录入： 湖南省示范性（重点）高中洞口一中 曾维勇 第 13 页 共 14 页 最小值 等知识 ，考查综合运用数学知识解决问题的能力 2分 . ( )证明：由题设得 ,)1()( 22 又由 xx 2 22 ,且 t 22 得 t xx 2 ，即 12)( 2 xx 0. 由此可知， )( 3 分 ( )证法一：因为 )( 0是 )(减函数的充分条件，所以只要找到实数 k， 使得 t 12)( 2 xx 0，即 t xx 2 在闭区间 a,b上
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