07年全国各省[37套]高考数学试题（有答案）全部详解点拨
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核对整理录入：湖南省示范性（重点）高中洞口一中 曾维勇 - 1 - 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 文科数学 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分。第 卷 1 至 2 页。第 卷 3到 10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 卷 注意事项： 1答第 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 参考 公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球是表面积公式 )()()( 24 如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中 )()()( 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 334 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 )1()( 一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 1、设集合 4, 5, 6, 8M ，集合 3, 5, 7, 8N ，那么 （ ） （ A） 3, 4, 5, 6, 7, 8 （ B） 5,8 （ C） 3,5,7,8 （ D） 4, 5, 6, 8M 解 ： 3, 4, 5, 6, 7, 8 ， 选 A 2、函数2( ) 1 lo gf x x与 1( ) 2 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ） 解 ：2( ) 1 l o g ( 1 ) 1 ;f x x f 1( ) 2 ( 0 ) 2xg x g 。 选 C 核对整理录入：湖南省示范性（重点）高中洞口一中 曾维勇 - 2 - 3、某商场买来一车苹果，从中随机抽取了 10 个苹果，其重量（ 单位：克）分别为： 150，152， 153， 149， 148， 146， 151， 150， 152， 147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是（ ） （ A） （ B） （ C） （ D） 解 ： 选 4、如图，1 1 1 1A B C D A B C D为正方体，下面结论 错误 的是（ ） （ A） /面11B）1D（ C）1面11D）异面直线 10 解 ： 异面直线 15， 选 5、如果双曲线 22142上一点 P 到 双曲线右焦点的距离是 2， 那么点 P 到 y 轴的距离是（ ） （ A） 463（ B） 263（ C） 26 （ D） 23 解 ：由点 P 到双曲线右焦点 ( 6,0) 的距离是 2 知 P 在双曲线右支上又由双曲线的 第二定义知点 P 到双曲线右准线的距离是 263，双曲线的右准线方程是 263x， 故点 P 到 y 轴的距离是 463 选 A 6、设球 O 的半径是 1， A 、 B 、 C 是球面上三点，已知 A 到 B 、 C 两点的球面距离都是2，且二面角 B 的大小是3，则从 A 点沿球面经 B 、 C 两点再回到 A 点的最短距离是（ ） （ A） 76（ B） 54（ C） 43（ D） 32核对整理录入：湖南省示范性（重点）高中洞口一中 曾维勇 - 3 - 解 ： 42 3 2 3d A B B C C A 本题考查球面距离 选 C 7、等 差数列 1a，3514，其前 n 项和 100，则 n （ ） （ A） 9 （ B） 10 （ C） 11 （ D） 12 解 ：1 1,a 35 1 4 2 .a a d 2( 1 ) 1 0 0 1 0 n n n n n 选 8、设 ( ,1) (2, )(4,5)C 为坐标平面上三点， O 为坐标原点，若 B 在 方向上的投影相同，则 a 与 b 满足的关系式为 （ ） （ A） 4 5 3 （ B） 5 4 3 （ C） 4 5 14 （ D） 5 4 14 解 ：由 B 在 向上的投影相同，可得： O A O C O B O C , ( , 1 ) ( 4 , 5 ) ( 2 , ) ( 4 , 5 ) , 即 4 5 8 5 ， 4 5 3 选 A 9、用数字 1， 2， 3， 4， 5 可以组成没有重复数字，并且比 20000 大的五位偶数共有（ ） （ A） 48 个 （ B） 36 个 （ C） 24 个 （ D） 18 个 解 ：个位是 2 的有 333 18A 个，个位是 4 的有 333 18A 个，所以共有 36 个 选 10、已知抛物线 2 3 上存在关于直线 0对称的相异两点 A 、 B ， 则 于（ ） （ A） 3 （ B） 4 （ C） 32 （ D） 42 解 ：设直线 方程为 y x b，由 2 2123 3 0 1yx x x b x xy x b ，进而可求出 中点 11( , )22 ，又由 11( , )22 在 直线 0上可求出 1b ， 2 20 ，由弦长公式可求出 221 1 1 4 ( 2 ) 3 2 选 C 本题考查直线 与圆锥曲线的位置关系自本题起运算量增大 11、某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于 5 万元，对项目甲每投资 1 万元可获得 元的利润，对项目乙每投资 1 万元可获得 元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（ ） （ A） 36 万元 （ B） 元 （ C） 元 （ D） 24 万元 解 ：对甲项目投资 24 万元，对乙项 目投资 36 万元，可获最大利润 元因为对 乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 32倍）尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的32倍 时可获最大利润这是最优解法也可用线性规划的通法求解 选 B 核对整理录入：湖南省示范性（重点）高中洞口一中 曾维勇 - 4 - B 1C 1 12、如图，1l、2l、3， 2，正三角形 三顶点分别在1l、2l、3 则 边长是（ ） （ A） 2 3 （ B）364（ C） 3 174（ D） 2 213解 ：过点作22l、4l为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系设 ( ,1) ( ,0)(0, 2)C ，由 C 知 2 2 2 2( ) 1 4 9a b b a 边 长，检验 A：2 2 2( ) 1 4 9 1 2a b b a ，无解；检验 B： 2 2 2 32( ) 1 4 93a b b a ，无解；检验 D： 2 2 2 28( ) 1 4 93a b b a ，正确 选 D 本题是把关题在基础中考能力，在综合中考能力，在应用中考能力， 在新型题中考能力全占全了是一道精彩的好题可惜区分度太小 二、填空题： 本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分；把答案填在题中的横线上 13、 1()展开式中的第 5 项为常数项，那么正整数 n 的值是 解 ： 21 ( 1 ) 5r n r x r 时 , n - 2 r = 0 n = 1 0 如图 ,在正三棱柱1 1 1 B C中，侧棱长为 2 ， 底面三角形的边长为 1，则1_ 解 ：1 3点 B 到平面112， 1， 30 15、已知 O 的方程是 2220 ， O 的方程是 22 8 1 0 0x y x ，由动点 P 向 O 和 O 所引的切线长相等，则运点 P 的轨迹方程是 _ 核对整理录入：湖南省示范性（重点）高中洞口一中 曾维勇 - 5 - 解 ： O ：圆心 (0,0)O ，半径 2r ； O ：圆心 (4,0)O ，半径 6r 设 ( , )Px y ，由切线长相等得 : 222 228 1 0x y x ， 32x 16、下面有 5 个命题： 函数 44s i n c o 的最小正周期是 ； 终边在 y 轴上的角的集合是 | , 2k ； 在同一坐标系中，函数 的图象和函数 的图象有 三 个公共点； 把 函数 3 s 2 )3的图象向右平移6得到 3的图象； 角 为第一象限角的充要条件是 其中，真命题的编号是 _（写出所有真命题的编号） 解 ： 4 4 2 2s i n c o s s i n c o s 2y x x x x c o s x ，正确； 错误； ，和 在第一象限无交点，错误；正确； 错误故选 三、解答题： 本大题共 6 小题，共 74 分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17、（本小题满分 12 分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这 批 产品 （）若厂家库房中的每件产品合格的概率为 中任意取出 4 种进行检验， 求至少 有 1 件是合格产品的概率 （）若厂家发给商家 20 件产品，其中有 3 件不合格 ，按合同规定该商家从中任取 2 件，都 进行检验，只有 2 件产品 都 合格时才接收这 批 产品，否则拒收，分别求出该商家计算出不合格产品为 1 件和 2 件的概率，并求该商家拒收这 批 产品的概率。 解 ：本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算， 考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力 （）记“厂家任取 4 件产品检验，其中至少有 1 件是合格品”为事件 A 用对立事件 A 来算，有 4( ) 1 ( ) 1 0 . 2 0 . 9 9 8 4P A P A （）记“商家任取 2 件产品检验，其中不合格产品数为 i 件” ( 1,2)i 为事件 111 7 31 22051()190232 2203()190核对整理录入：湖南省示范性（重点）高中洞口一中 曾维勇 - 6 - 商家拒收这批产品的概率 12 5 1 3 2 7( ) ( ) 1 9 0 1 9 0 9 5P P A P A 故商家拒收这批产品的概率为 2795 18、（本小题满分 12 分）已知 1， 13c o s ( )14，且 02 （）求 的值； （）求 解 ：本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号、 已知三角函数值求角以及计算能力 （）由 1， 02，得 22 1 4 3s i n 1 c o s 1 ( )77 s i n 4 3 7t a n 4 3c o s 7 1 于是2 22 t a n 2 4 3 8 3t a n 21 t a n 4 71 ( 4 3 ) （）由 02 ，得 02 又 13c o s ( )14， 22 1 3 3 3s i n ( ) 1 c o s ( ) 1 ( )1 4 1 4 由 () ，得 c o s c o s ( ) c o s c o s ( ) s i n s i n ( ) 1 1 3 4 3 3 3 17 1 4 7 1 4 2 3 核对整理录入：湖南省示范性（重点）高中洞口一中 曾维勇 - 7 - 19、（本小题满分 12 分）如图，平面 平面 90 ， /C ，直线 直线 成的 角为 60，又 1， 22M， 90 （）求证： M ； （）求二面角 M 的大小； （）求多面体 体积 解 ：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关知识， 考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力 和推理运算能力 （）平面 平面 C ， 平面 平面 又 平面 M （）取 中点 N ，则 1连接 平面 平面 平面 面 C ， C 平面 /N， /C，从而 平面 作 B 于 H ，连结 则由三垂线定理知 H 从而 为二面角 M 的平面角 直线 直线 成的角为 60， 60 在 中，由勾股定理得 2 在 中， 36c o t 233M N A N A M N 在 中， 15s i n 155 B N A B C B 在 中，6303t a 故二面角 M 的大小为 30）如图以 C 为原点建立空间直角坐标系 C 设0(0, 0, )0)z ， 有 (0,2,0)B ， (1,0,0)A ，0(0,1, ) 核对整理录入：湖南省示范性（重点）高中洞口一中 曾维勇 - 8 - 0( 1, 1, )AM z，0(0, 0, )CP z由直线 直线 成的角为 60，得 c o s 6 0A M C P A M C P 即 220 0 01 22z z z ，解得063z 6( 1, 1, )3， ( 1, 2 , 0 ) 设平面 一个法向量为1 1 1 1( , , )n x y z，则 由 60 030 20n A M x y B ，取1 6z ，得1 (4, 2, 6 )n 取平面 一个法向量为2 (0, 0,1)n 则12 12126 3 9132 6 1 由图知二面角 M 为锐二面角， 故二面角 M 的大小为 39 （）多面体 是四棱锥 A 1 1 1 1 1 6 6( ) ( 2 1 ) 13 3 2 3 2 3 6P M A B C A P M B C P M B S A C P M C B C P A C 20、（本小题满分 12 分）设函数 3()f x a x b x c ( 0)a 为奇函数，其图象在点 (1, (1)f 处的切线与直线 6 7 0 垂直，导函数 ()2 （）求 a ， b ， c 的值； （）求函数 ()求函数 () 1,3 上的最大值和最小值 解 ：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识， 以及推理能力和运算能力 （） () ( ) ( )f x f x 核对整理录入：湖南省示范性（重点）高中洞口一中 曾维勇 - 9 - 即 33a x b x c a x b x c 0c 2( ) 3f x ax b的最小值为 12 12b 又直线 6 7 0 的斜率为 16因此， (1 ) 3 6f a b 2a ， 12b ， 0c （） 3( ) 2 1 2f x x x 2 ( ) 6 1 2 6 ( 2 ) ( 2 )f x x x x ，列表如下： x ( , 2) 2 ( 2, 2) 2 ( 2, ) () 0 0 ()极大 极小 所以函数 () , 2) 和 ( 2, ) ( 1) 10f ， ( 2 ) 8 2f ， (3) 18f () 1,3 上的最大值是 (3) 18f ，最小值是 ( 2 ) 8 2f 21、（本小题满分 12 分）设1F、2 2 14x y的左、右焦点 （）若 P 是第一象限内该椭圆上的一点，且12 54F ，求点 P 的 坐 标； （）设过定点 (0,2)M 的直线 l 与椭圆交于同的两点 A 、 B ，且 为锐角 （其中 O 为作标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围 解 ：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识， 以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力 核对整理录入：湖南省示范性（重点）高中洞口一中 曾维勇 - 10 - （）易知 2a ， 1b ， 3c 1( 3,0)F ，2( 3,0)F设 ( , )Px y ( 0, 0)则 2212 5( 3 , ) ( 3 , ) 3 4P F P F x y x y x y ， 又 2 2 14x y， 联立22227414y ，解得22113 34 2y ， 3(1, )2P （）显然 0x 不满足题设条件可设 l 的方程为 2y ，设11( , )A x y，22( , )B x y 联立 2 2 2 2 2 21 4 ( 2 ) 4 ( 1 4 ) 1 6 1 2 042x yx k x k x k xy k x 12 21214xx k ，12 21614k 由 22( 1 6 ) 4 ( 1 4 ) 1 2 0 221 6 3 (1 4 ) 0 ， 24 3 0k ，得 2 34k 又 为锐角 c o s 0 0A O B O A O B ， 1 2 1 2 0O A O B x x y y 又 21 2 1 2 1 2 1 2( 2 ) ( 2 ) 2 ( ) 4y y k x k x k x x k x x 1 2 1 2x x y y 2 1 2 1 2(1 ) 2 ( ) 4k x x k x x 2 221 2 1 6( 1 ) 2 ( ) 41 4 1 4 2221 2 (1 ) 2 1 6 41 4 1 4k k 224 ( 4 ) 014 21 44 k 综 可知 23 44 k， k 的取值范围是 33( 2 , ) ( , 2 )22 核
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