07年全国各省[37套]高考数学试题（有答案）全部详解点拨
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用心 爱心 专心 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（文史类） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1不等式 2的解集是（ ） A ( 0)， B (01)， C (1 )， D ( 0 ) (1 ) ， ， 【答 案】 D 【解析】由 2得 x（ 0，所以解集为 , 0 1, 2若 O E F， ， 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ） A E F O F O E B E F O F O E C E F O F O E D E F O F O E 【答 案】 B 【解析】由向量的减法知 E F O F O E 3设 2: 4 0p b a c（ 0a ）， : q 关于 x 的方程 2 0a x b x c （ 0a ）有实 根 ， 则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 【答案】 A 【解析】判别式大于 0，关于 x 的方程 )0(02 实根； 但 关于 x 的方程 )0(02 实根，判别可以等于 0. 4在等比数列 nN* ）中，若1 1a，4 18a ，则该数列的前 10 项和为（ ） A812 2 B912 2 C1012 2 D1112 2 【答案】 B 【解析】由21813314 以91010 212211)21(1S . 用心 爱心 专心 频 率组 距 1% 2% 水位 （米） 30 31 32 33 48 49 50 51 图 2 5在 (1 )（ nN* ）的二 项 展开式中，若只有 5x 的系数最大，则 n （ ） A 8 B 9 C 10 D 11 【答案】 C 【解析】只有 5x 的系数最大， 5x 是展开式的第 6项，第 6项为中间项， 展开式共有 11项，故 n=10. 6如图 1，在正四棱柱1 1 1 1A B C D A B C D中， 分别 是1以下结论中 不成立 的是（ ） A 1 B 直 C 面 D 11【答案】 D 【解析】连 且 三角形 以 面 所以1E F B 直；又 以 E F B 直 ， 。 由 F 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流 水位的频率分布直方图（如图）从图中可以看出，该水文 观测点平均至少一百年才遇到一 次的洪水的最低水位是（ ） A 48 米 B 49 米 C 50 米 D 51 米 【答案】 C 【解析】由频率分布直方图知水位为 50米的频率 /组距为 1%， 即水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是 50米。 A B C 1E F 图 1 用心 爱心 专心 8函数24 4 1()4 3 1x x ， ，的图象和函数2( ) x x的图象的交点个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【答案】 C 【解析】由图像可知交点共有 3个。 9设12别是椭圆 221（ 0 ）的左、右焦点， P 是其右准线上纵坐标为 3c （ c 为半焦距）的点，且1 2 2| | | |F F F P，则椭圆的离心率是（ ） A 312B 12C 512D 22【答案】 D 【解析】由已知 P（ ,2 ），所以 222 )3()(2 化简得2 202 22 集合 1 2 3 4 5 6 M ， ， ， ， ， ， 12 S， ， ，都是 M 的含两个元素的子集，且满足： 对任意的 i i iS a b ， j j jS a b ，（ ， 1 2 3 i j k、 ， ， ， ，）， 都有 m i n m i n i j a b a ， ，（ 表示两个数 中的较小者）， 则 k 的最大值是（ ） A 10 B 11 C 12 D 13 【答案】 B 【解析】含 2个元素的子集有 15 个，但 1， 2、 2， 4、 3， 6只能取一个； 1， 3、 2， 6只能取一个； 2， 3、 4， 6只能取一个， 故满足条件的两个元素的集合有 11个。 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 把答案填在横线上 11圆心为 (11)， 且与直线 4 相切的圆的方程是 【答案】 22( 1 ) ( 1 ) 2 【解析】半径 R= 22|411| ，所以圆的方程为 22( 1 ) ( 1 ) 2 用心 爱心 专心 12在 中，角 A B C， ， 所对的边分别为 a b c， ， ，若 1a ， 3c ， 3C ，则 A 【答案】 6【解析】由正弦定理得21323s i ns i ns i ns i n 所以 A=613若 0a ， 23 49a ，则23a 【答案】 3 【解析】由9432 a 得 323 )32()94( a，所以 3)32(lo g 33232 集合 ( ) | | 2 | 0 A x y y x x， ， ， ( ) | B x y y x b ， ， （ 1） b 的取值范围是 ； （ 2）若 ()x y A B， ，且 2的最大值为 9，则 b 的值是 【答案】 （ 1） 2 )， （ 2） 92【解析】（ 1）由图象可知 b 的取值范围是 2 )， ； （ 2） 若 ,x y A B则（ x， y）在图中的 四边形内， t= 2在（ 0， b）处取得最大值， 所 以 0+2b=9，所以 b=92. 15棱长为 1 的正方体1 1 1 1A B C D A B C D的 8 个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的 表面积是 ；设 分别是该正方体的棱1直线 被球 O 截得的线段长为 【答案】 3 ， 2 【解析】正方体对角线为球直径，所以432 R，则 球的 表面积为 3 ；由已知所求 正方体在球中其中一个截面的直径， d=23,21 R，224143 r ，所以 r= 2 。 2 2 b 用心 爱心 专心 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16（本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( ) 1 2 s i n 2 s i n c o 8f x x x x 求： （ I）函数 () （ 数 () 解： ( ) c o s ( 2 ) s i n ( 2 )44f x x x 2 s i n ( 2 ) 2 s i n ( 2 ) 2 c o s 24 4 2x x x （ I）函数 () 2T ； （ 2 22k x k ，即 2k x k （ kZ ）时，函数 ( ) 2 c o s 2f x x 是增函数，故函数 () 2，（ kZ ） 17（本小题满分 12 分） 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培 训 、参加两项培训或不参加培训， 已知参加过财会培训的有 60%，参加过计算机培训的有 75%. 假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择 相互之间没有影响 （ I）任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （ 选 3 名下岗人员，求这 3 人中至少有 2 人参加过培养的概率 解：任选 1 名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件 A ，“该人参加过计算机 培训”为事件 B ，由题设知，事件 A 与 B 相互独立，且 ( ) ， ( ) （ I）解法一：任选 1 名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 1 ( ) ( ) ( ) 0 . 4 0 . 2 5 0 . 1P P A B P A P B 所以该人参加过培训的概率是11 1 0 . 1 0 . 9P 解法二：任选 1 名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 2 ( ) ( ) 0 . 6 0 . 2 5 0 . 4 0 . 7 5 0 . 4 5P P A B P A B 该人参加过两项培 训的概率是3 ( ) 0 . 6 0 . 7 5 0 . 4 5P P A B 所以该人参加过培训的概率是23 0 . 4 5 0 . 4 5 0 . 9 （ 法一：任选 3 名下岗人员， 3 人中只有 2 人参加过培训的概率是 用心 爱心 专心 A B C Q P 2243 0 . 9 0 . 1 0 . 2 4 3 3 人都参加过培训的概率是 33 0 9P 所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是45 0 . 2 4 3 0 . 7 2 9 0 . 9 7 2 解法二：任选 3 名下岗人员， 3 人中只有 1 人参加过培训的概率 是 123 0 . 9 0 . 1 0 . 0 2 7C 3 人都没有参加过培训的概率是 所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是 1 0 . 0 2 7 0 . 0 0 1 0 . 9 7 2 18（本小题满分 12 分） 如图，已知直二面角 ， A ， B ， C ， B ， 45，直线 平面 所成的角为 30 （ I） 证明 Q ； （ 求二面角 B 的大小 解：（ I）在平面 内过点 C 作 Q 于点 O ，连结 因为 ， ，所以 ， 又因为 B ，所以 B 而 45，所以 45， 90，从而 Q ，又 Q ， 所以 平面 因为 平面 故 C （ 法一：由（ I）知， Q ，又 ， ， ，所以 过点 O 作 C 于点 H ，连结 由三垂线定理知， C 故 是二面角 B 的平面角 由（ I）知， ，所以 是 平面 所成的角，则 30， 不妨设 2，则 3， 3s i n 3 02O H A O 在 中， 45A B O B A O ，所以 3B O A O， A B C Q P O H 用心 爱心 专心 于是在 中， 3t a n 232 故二面角 B 的大小为 解法二：由（ I）知， A ， B ， B ，故可以 O 为原点，分别 以直线 O B O A O C， ， 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系（如图） 因为 CO a ，所以 是 平面 所成的角，则 30 不妨设 2，则 3， 1 在 中， 45A B O B A O ， 所以 3B O A O 则相关各点的坐标分别是 (000)O ， ， ， ( 3 0 0)B ， ， ， (0 3 0)A ， ， ， (001)C ， ， 所以 ( 3 3 0 )， ， ( 0 3 1)， ， 设1n x y z ， ，是平面 一个法向量，由 1100n C ， 得 3 3 030 ， 取 1x ，得1 (11 3)n ， ， 易知2 (1 0 0)n ， ，是平面 的一个法向量 设二面角 B 的平面角为 ，由图可知，12 ， 所以121215c o | | | 51 故二面角 B 的大小为 5 19（本小题满分 13 分） 已知双曲线 222的右焦点为 F ，过点 F 的动直线与双曲线相交于 两点， 点 C 的坐标是 (10)， A B C Q P O x y z 用心 爱心 专心 （ I）证明 B 为常数； （ 动点 M 满足 C M C A C B C O（其中 为坐标原点），求点 M 的轨迹方程 解：由条件知 (20)F ， ，设11()A x y，22()B x y， （ I）当 x 轴垂直时，可设点 的坐标分别为 (2 2)， ， (2 2)， ， 此时 (1 2 ) (1 2 ) 1C A C B ， ， 当 与 x 轴垂直时，设直线 方程是 ( 2 ) ( 1 )y k x k 代入 222，有 2 2 2 2(1 ) 4 ( 4 2 ) 0k x k x k 则12上述方程的两个实根，所以 212 24 1k ， 212 2421k ， 于是 21 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )C A C B x x y y x x k x x 2 2 21 2 1 2( 1 ) ( 2 1 ) ( ) 4 1k x x k x x k 2 2 2 2 222( 1 ) ( 4 2 ) 4 ( 2 1 ) 4111k k k k 22( 4 2 ) 4 1 1 综上所述， 常数 1 （ 法一：设 ()M x y， ，则 ( 1 )C M x y， ，11( 1 )C A x y， 22( 1 )C B x y， ( 1 0)， ，由 C M C A C B C O得： 121213x x xy y y ，即 12122x x xy y y ， 于是 中点坐标为 222， 当 与 x 轴垂直时， 121222 222x x ，即1 2 1 2()2yy y x 又因为 两点在双曲线上，所以 22112， 222，两式相减得 用心 爱心 专心 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x x x x y y y y ， 即1 2 1 2( ) ( 2 ) ( )x x x y y y 将1 2 1 2()2yy y x 代入上式，化简得 224 当 x 轴垂直时，122，求得 (20)M ， ，也满足上述方程 所以点 M 的轨迹 方程是 224 解法二：同解法一得 12122x x xy y y ， 当 与 x 轴垂直时，由（ I） 有 212 24 1k 21 2 1 2 244( 4 ) 411y k x x 由、得 2242 1kx k 24 1ky k 当 0k 时， 0y ，由、得， 2x ，将其代入有 2 222244 ( 2 )( 2 ) ( 2 )1 整理得 224 当 0k 时，点 M 的坐标为 ( 20)， ，满足上述方程 当 x 轴垂直时，122，求得 (20)M ， ，也满足上述方程 故点 M 的轨迹方程是 224 20（本小题满分 13 分） 设nN* ）的前 n 项和，1且 2 2 213n n nS n a S ， 0， 用心 爱心 专心 234n ， ， ， （ I）证明：数列2（ 2n ）是常数数列； （ 找出一个奇数 a ，使以 18 为首项， 7 为公比的等比数列 nN* ）中的 所有项都是数列 指出 解：（ I）当 2n 时，由已知得 2 2 21 3n n n a 因为1 0n n S ，所以 21 3 n 于是 21 3 ( 1 ) n 由得：1 63a n 于是2169a n 由得：2 6 即数列2（ 2n ）是常数数列 （ 有2112，所以2 12 2 由有1215，所以3 32， 而表明：数列2分别是以2a，36 为公差的等差数列 所以22 ( 1 ) 6 6 2 6ka a k k a ，2 1 3 ( 1 ) 6 6 2 3ka a k k a ， kN* 由题设知， 118 7 当 a 为奇数时，21奇数，而以中的项， 若1 18b 是数列2 1 8 6 2 6 得036，取0 3k ， 得 3a ，此时2 6由2得 118 7 6n k， 137 N* ， 从而67n 项 （注：考生取满足036，0k N*的任一奇数，说明 26 7 23n a 项即可） 用心 爱心 专心 21（本小题满分 13 分） 已知函数 3211()32f x x a x b x 在区间 11)， ， (13， 内各有 一个极值点 （ I）求 2 4的最大值； （ 2 48时，设函数 ()y f x 在点 (1 (1)处的切线为 l ，若 l 在 点 A 处穿过函数 ()y f x 的图象（即动点在点 A 附近沿曲线 ()y f x 运动， 经过点 A 时，从 l 的一侧进入另一侧），求函数 () 解：（ I）因为函数 3211()32f x x a x b x 在区间 11)， ， (13， 内分别有一个极值点， 所以 2()f x x a x b 0 在 11)， ， (13， 内分别有一个实根， 设两实根为1212，则 221 4x x a b ，且2104于是 20 4 4 ， 20 4 1 6 ，且当 1 1x ， 2 3x ，即 2a ， 3b 时等号成立故 2 4的最大
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