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- 关 键 词：
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全国各地
高考
数学试卷
37
- 资源描述：
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2008年全国各地高考数学试卷（37套）,全国各地,高考,数学试卷,37
- 内容简介：
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用心 爱心 专心 绝密 启用前 数 学 (理工农医类 ) 第卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)若复数 ()+(i 是纯虚数，则实数 a 的值为 2 2)设集合 A=x|1 0,B=x|0 x 3 ,那么“ m A”是“ m B”的 (3)设 公比为正数的等比数列，若 ,6,则数列 7 项的和为 4)函数 f(x)=x3+(x R),若 f(a)=2,则 f(值为 5)某一批 花生种子，如果每 1 粒发牙的概率为 45,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 A. 16625B. 96625C. 192625D. 256625(6)如图，在长方体 C=2,则 平面 成角的正弦值为 A. 63B. 265C. 155D. 105(7)某班级要从 4 名男生、 2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为 用心 爱心 专心 (8)若实数 x、 y 满足 1 0, 则 A.(0,1) B. 0,1 C.(1,+ ) D. 1, (9)函数 f(x)=x)(x R)的图象按向量 (m,0) 平移后，得到函数 y=(x)的图象，则 m 的值可以为 . C. D. 2(10)在 ，角 对边分别为 a、 b、 c,若 (a2+3则角 B 的值为 A. 6B. 3 56D. 3或 23 (11)又曲线 221（ a 0,b 0）的两个焦点为 P 为其上一点，且 |2|则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3) B. 1,3 C.(3,+ ) D. 3, (12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是 第卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置 . （ 13）若 (= a1+a2+a3+a4+_.(用数字作答 ) x=1+ (14)若直线 3x+4y+m=0 与圆 y=-2+ （ 为参数）没有公共点，则实数 m 的取值范围是 . （ 15）若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 . （ 16）设 P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a、 b R，都有 a+b、 P（除 用心 爱心 专心 数 b 0），则称 P 是一个数域 是数域；数集 2,F a b a b Q 也是数域 整数集是数域； 若有理数集 ，则数集 M 必为数域； 数域必为无限集； 存在无穷多个数域 . 其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号填填上） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 明过程或演算步骤 . （ 17）（本小题满分 12 分） 已知向量 m=(n=( 3, 1) ， m n 1，且 A 为锐角 . （）求角 A 的大小；（）求函数 ( ) c o s 2 4 c o s s i n ( )f x x A x x R 的值域 . （ 18）（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 ，则面 面 棱 D 2 ，底面 直角梯形，其中 B D=2,O 为 点 . （）求证： 面 （）求异面直线 成角的大小； （）线段 是否存在点 Q，使得它到平面 距离为 32？若存在，求出 不存在，请说明理由 . （ 19）（本小题满分 12 分） 已知函数 321( ) 23f x x x . （）设 正数组成的数列，前 n 项和为 中 11( , 2 )n n na a a(n N*)在函数 y=f (x)的图象上，求证：点（ n,在 y=f (x)的图象上； （）求函数 f(x)在区间（ a）内的极值 . （ 20）（本小题满分 12 分） 某项考试按科目 A、科目 B 依次进行，只有当科目 A 成绩合格时，才可继续参加科 目 B 的考试 个科目成绩均合格方可获得证 书 目 A 每次考试成绩合格的概率均为 23，科目 B 每次考试 成绩合格的概率均为 （）求他不需要补考就可获得证书的概率； （）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 ，求 的 用心 爱心 专心 数学期望 E . （ 21）（本小题满分 12 分） 如图、椭圆 22 1 ( 0 )xy 的一个焦点是 F（ 1， 0）， O 为坐标原点 . （）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （）设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、 B 两点 l 绕点 F 任意转动，值有 2 2 2O A O B A B ,求 a 的取值范围 . （ 22）（本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)=+x)）求 f(x)的单调区间； （）记 f(x)在区间 0, （ n N*）上的最小值为 an=+n)（）如果对一切 n，不等式22恒成立，求实数 c 的取值范围； （）求证： 1 3 1 3 2 112 2 4 2 4 22 1 1 .n a a a aa aa a a a a a 数学试题（理工农医类）参考答案 一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算 分，满分 60 分 . （ 1） B （ 2） A （ 3） C （ 4） B （ 5） B （ 6） D （ 7） A （ 8） C （ 9） A （ 10） D （ 11） B （ 12） D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算 分，满分 16 分 . （ 13） 31 （ 14） ( , 0 ) (1 0 , ) （ 15） 9 （ 16） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （ 17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值 等基本知识，考查运算能力 2 分 . 解：（）由题意得 3 s i n c o s 1 ,m n A A 12 s i n ( ) 1 , s i n ( ) 2 由 A 为锐角得 , 3 用心 爱心 专心 （）由（）知 12A 所以 22 13( ) c o s 2 2 s i n 1 2 s i n 2 s i n 2 ( s i n ) x x x x s x 因为 x R，所以 ,1x ，因此，当 1时， f(x)有最大值 32. 当 1 时， f(x)有最小值 以所求函数 f(x)的值域是 33,2. （ 18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 2 分 . 解法一： （）证明：在 D,O 为 点，所以 又侧 面 面 面 平面 D, 平面 所以 面 （）连结 直角梯形 、 有 C,所以四边形 平行四边形， 所以 由（）知， 锐角， 所以 异面直线 成的角 . 因为 ,在 ， , 所以 2 ， 在 ，因为 2 ， 1，所以 1， 在 ， 1 2 2, a r c t a n 所以异面直线 成的角是 2（）假设存在点 Q，使得它到平面 距离为 32. 设 x，则 12，由（）得 B= 2 ， 在 ， 22 2,P C O C O P 用心 爱心 专心 所以 D=233( 2 ) ,42P C 由 2，所以存在点 Q 满足题意，此时 13 解法二： ( )同解法一 . ( )以 D 、 的方向分别为 立空间直角坐标系 题意，易得A(0,),B(1,),C(1,0,0),D(0,1,0), P(0,0,1), 所以 1 1 0 1 1 1C D P B （ ， ， ） ， （ ， ， ） . 所以异面直线 成的角是 3， ( )假设存在点 Q，使得它到平面 2， 由 ( )知 ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) C D 设平面 n=(x0,y0, 则 0,0,n D 所以 00000,0, 即0 0 0x y z， 取 ,得平面 n=(1,1,1). 设 ( 0 , , 0 ) ( 1 1 ) , ( 1 , , 0 ) ,Q y y C Q y 由 32C Q ，得 1 3 ,23y 解 y=- 12 或y=52(舍去 )， 此时 13,22A Q Q D，所以存在点 时 13 (19)本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力 2分 . ( )证明：因为 321( ) 2 ,3f x x x 所以 f (x)=x, 用心 爱心 专心 由点 211( , 2 ) ( N )n n na a a n 在函数 y=f (x)的图象上 , 又 0 ( N ),所以11( ) ( 2 ) 0 ,n n n na a a a 所以2( 1 )3 2 = 22n n n n ,又因为 f (n)=n,所以()nS f n , 故点 ( , )y=f (x)的图象上 . ( )解 : 2( ) 2 ( 2 )f x x x x x , 由 ( ) 0, 得 02 或 . 当 () () 注意到 ( 1) 1 2 ,从而 当 21 2 , 2 1 , ( ) ( 2 )3a a a f x f 即 时 的 极 大 值 为,此时 () 当 1 0 , 0 1 , ( )a a a f x 即 时的极小值为 (0) 2f ,此时 () 当 2 1 0 1 , ( )a a a f x 或 或 时既无极大值又无极小值 . (20)本小题主 要考查概率的基本知识与分类思想 ,考查运用数学知识分析问题 /解愉问题的能力 2分 . 解 :设“科目 事件 A，“科目 事件 科目 事件 B，“科目 事件 B. ( )不需要补考就获得证书的事件为 意到 1相互独立， 则1 1 1 1 2 1 1( ) ( ) ( ) 3 2 3P A B P A P B . 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为 13. ( )由已知得， 2， 3， 4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 1 1 1 2( 2 ) ( ) ( )P P A B P A A 2 1 1 1 1 1 4 3 3 3 9 9 1 1 2 1 1 2 1 2 2( 3 ) ( ) ( ) ( )P P A B B P A B B P A A B x (- ,) 0 (0,+ ) f (x) + 0 - 0 + f(x) 极大 值 极小值 用心 爱心 专心 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 4 ,3 2 2 3 2 2 3 3 2 6 6 9 3 1 2 2 2 1 2 1 2( 4 ) ( ) ( )P P A A B B P A A B B 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ,3 3 2 2 3 3 2 2 1 8 1 8 9 故 4 4 1 82 3 4 9 3E 答：该考生参加考试次数的数学期望为 83. (21)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力 2分 . 解法一： ( )设 M， 因为 所以 32O F M N, 即 1 32 , 3 221 4 , 因此，椭圆方程为 ( )设1 1 2 2( , ) , ( , ) .A x y B x y( )当直线 2 2 22 2 22 2 22 , 4 ( 1 ) , O B a A B a O B A B 因 此 ， 恒 有( )当直线 设直线 方程为： 221 , 1 ,m 代 入整理得 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0 ,a b m y b m y b a b 所以 2 2 2 21 2 1 22 2 2 2 2 22 ,b m b a by y y ya b m a b m 因为恒有 2 2 2O A O B A B，所以 即1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) 0O A O B x y x y x x y y 恒成立 . 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) 1x x y y m y m y y y m y y m y y 用心 爱心 专心 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 22 2 2( 1 ) ( ) 2 10.m b a b b ma b m a b mm a b b a b aa b m 又 a2+,所以 a2 m R 恒成立 . 当 m R 时， ，所以 b0,所以 解得 a152或 综合（ i） ( a 的取值范围为（ 152， + ） . 解法二： （）同解法一， （）解：（ i）当直线 l 垂直于 x 轴时， x=1 代入 2 2 222 2 21 ( 1 )1,Ay b b a =1. 因为恒有 |+|1，即 2 11, 解得 a152或 （ 直线 l 不垂直于 x 轴时，设 A（ x1, B（ x2,. 设直线 方程为 y=k(入 221,得 (b2+a2 a2 , 故 x1+2 2 2 2 2 2222 2 2 2 2 22 ,.a k a k a a k b a k 因为恒有 |+|0 时，不合题意； 当 a2 b2+ 时， a=152; 当 a2 b2+解得 352或 352（舍去）， a152，因此 a 152. 综合（ i）（ a 的取值范围为（ 152， + ） . （ 22）本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分 14 分 . 解法一： （ I）因为 f(x)=+x)以函数定义域为（ ） ,且 f (x)= 11 x. 由 f (x)0 得 f(x)的单调递增区间为（ 0， + ） . (为 f(x)在 0,n上是减函数，所以 bn=f(n)=+n)则 an=+n)+n)+n)+n=n. (i)222( ) 2 ( 2 ) 2 2n n na a a n n n n 22 又 2 ( 2 ) l i m 1211 2xn n , 因此 c1，即实数 c 的取值范围是（ - ， 1） . （ （ i）知 1 2 1 2 1 因为 1 3 5 ( 2 1 )2 4 6 ( 2 ) 2 =3 2 2 21 3 3 5 5 7 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 1 1 ,2 4 6 ( 2 ) 2 1 2 1nn n n n 用心 爱心 专心 所以 1 3 5 ( 2 1 ) 12 4 6 ( 2 ) 21n n n 2 1 2 1 (n N*), 则 1 1 3 1 3 5 ( 2 1 )2 2 4 2 4 6 ( 2 )n n 1 3 1 3 2 112 2 2 4 23 1 5 3 2 1 2 1 2 1 1 n na a a a a a a a a 即 2 1 1( N*） 解法二： （）同解法一 . （）因为 f(x)在 0,n 上是减函数，所以 ( ) l n (1 ) ,nb f n n n 则 l n ( 1 ) l n ( 1 ) l n ( 1 ) n b n n n n
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