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- 关 键 词：
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全国各地
高考
数学试卷
37
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2008年全国各地高考数学试卷（37套）,全国各地,高考,数学试卷,37
- 内容简介：
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用心 爱心 专心 绝密启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 (重庆卷 ) 数学试题卷（理工农医类） 数学试题卷 (理工农医类 )共 5 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 须使用 米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 试题卷上答题无效。 试题 卷和答题卡一并交回。 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、 B 相互独立，那么 P(A B)=P(A) P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 )=-P) R 为半径的球的体积 V=43 一、 选择题 :本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的 . （ 1）复数 1+22i = (A)1+2i (B)1 (C) (D)3 (2)设 m,n 是整数，则“ m,n 均为偶数”是“ m+n 是偶数”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3)圆 O1:x2+ 和圆 O2:x2+ 的位置关系是 (A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切 用心 爱心 专心 (4)已知函数 y= 13 的最大值为 M,最小值为 m,则 (A)14(B)12(C) 22(D) 32(5)已知随机变量 服从正态分布 N(3,则 P( 3 (A)15(B)14(C)13(D)12(6)若定义在 R 上的函数 f(x)满足：对任意 x1,R 有 f(x1+f(f(1,则下列说法一定正确的是 (A)f(x)为奇函数 （ B） f(x)为偶函数 (C) f(x)+1 为奇函数 （ D） f(x)+1 为偶函数 (7)若过两点 1,2),6)的直线与 x 轴相交于点 P，则点 P 分有向线段12 的值为 (A) 13(B) 15(C) 15(D) 13(8)已知双曲线 221（ a 0,b 0）的一条渐近线为 y=kx(k 0),离心率 e= 5k ,则双曲线方程为 （ A） 22 2241 (B) 2215 (C) 2214(D) 2215(9)如解（ 9）图，体积为 V 的大球内有 4 个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点， 4 个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的 4 个顶点 小球相交部分（图中阴影部分）的体积， 大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是 （ A） V(B) V（ C） （ D） ，则23a. (14)设 等差数列 前 n 项和， 8,9,则 . （ 15）直线 l 与圆 x2+a=0(a3)相交于两点 A， B，弦 中点为（ 0， 1），则直线 l 的方程为 . (16)某人有 4 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（ 16）图所示的 6 个点 A、B、 C、 各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则 每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答） . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . （ 17）（本小题满分 13 分，（）小问 6 分，（）小问 7 分） 设 内角 A， B， C 的对边分别为 a,b,c，且 A=60 ， c= （） （） 的值 . （ 18）（本小题满分 13 分，（）小问 5 分，（）小问 8 分 .） 甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空 局时停止 2，且各局胜负相互独立 （） 打满 3 局比赛还未停止的概率； （）比赛停止时已打局数 的分别列与期望 E . （ 19）（本小题满分 13 分，（）小问 6 分，（）小问 7 分 .） 用心 爱心 专心 如题（ 19）图，在 ， B=90 ,52,D、 E 两点分别在 2A D A E C, 成直二角角，求： （）异面直线 距离； （）二面角 大小（用反三角函数表示） . （ 20）（本小题满分 13 分 .（）小问 5 分 .（）小问 8 分 .） 设函数 2( ) ( 0 ) ,f x a x b x c a 曲线 y=f(x)通过点（ 0， 2a+3），且在点（ f（ 处的切线垂直 于 y 轴 . （）用 a 分别表示 b 和 c； （）当 得最小值时，求函数 g(x)=-f(x) （ 21）（本小题满分 12 分，（）小问 5 分，（）小问 7 分 .） 如图（ 21）图， M（ 0）和 N（ 2， 0）是平面上的两点，动点 P 满足： P N （）求点 P 的轨迹方程； （）若 21 c o P N M P N,求点 P 的坐标 . （ 22）（本小题满分 12 分，（）小问 5 分，（）小问 7 分 .） 设各项均为正数的数列 足 321 1 22 , ( N * )n a aa a a a n . （）若2 14a ，求 猜想 值（不需证明）； （）记32 ( N * ) , 2 2n n nb a a a n b 若对 n 2 恒成立，求 通项公式 . 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题（理工农医类）答案 一、选择题：每小题 5 分，满分 50 分 . （ 1） A （ 2） A （ 3） B （ 4） C （ 5） D （ 6） C （ 7） A （ 8） C （ 9） D （ 10） B 二、填空题：每小题 4 分，满分 24 分 . 用心 爱心 专心 （ 11） 25， （ 12） 13（ 13） 3 （ 14） 15） =0 （ 16） 216 三、解答题：满分 76 分 . （ 17）（本小题 13 分） 解：（）由余弦定理得 2 2 2 2 c o sa b c b A 2 2 21 1 1 7( ) 2 ,3 3 2 9c c c c c 故 7 （ ）解法一： c o s s i n c o s s i ns i n s i C s i n ( ) s i n ,s i n s i n s i n s i B C 由正弦定理和（）的结论得 227s i n 1 2 1 4 1 4 39 i n s i n s i n 93 3 33 A b c 故 1 4 3c o t c o t 解法二：由余弦定理及（）的结论有 2 2 22 2 271 ()93c o 23c c ca c 5 2 5 3s i n 1 c o s 1 7 同理可得 2 2 22 2 271199c o s ,2 7 1 2 7233c c ca b 用心 爱心 专心 2 1 3 3s i n 1 c o s 1 7 从而 c o s c o s 5 1 1 4 3c o t c o t 3 3 .s i n s i n 3 9 9 （ 18）（本小题 13 分） 解：令 ,k k 、丙在第 k 局中 获胜 . （）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满 3 局比 赛还未停止的概率为 1 2 3 1 2 3 331 1 1( ) ( ) 4P A C B P B C A （） 的所有可能值为 2， 3， 4， 5， 6，且 1 2 1 2 221 1 1( 2 ) ( ) ( ) ,2 2 2P P A A P B B 1 2 3 1 2 3 331 1 1( 3 ) ( ) ( ) 4P P A C C P B C C 1 2 3 4 1 2 3 4 441 1 1( 4 ) ( ) ( ) 8P P A C B B P B C A A 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 551 1 1( 5 ) ( ) ( ) ,2 2 1 6P P A C B A A P B C A B B 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 551 1 1( 6 ) ( ) ( ) ,2 2 1 6P P A C B A C P B C A B C 故有分布列 从而 1 1 1 1 1 4 72 3 4 5 62 4 8 1 6 1 6 1 6E （局） . （ 19）（本小题 13 分） 解法一： （）在答（ 19）图 1 中，因 E，故 90，从而 2 3 4 5 6 P 12 14 18 116 116 用心 爱心 专心 在第（ 19）图 2 中，因 直二面角， 面 而 B 异面直线 公垂线 . 下求 长 19）图 1 中，由 2A D A B C，得 2 A A B又已知 ,从而 D E2222 1 5 9 A C B C 因 1 , 2 故 （）在第（ 19）图 2 中，过 D 作 延长线于 F，连接 1）知， 面 三垂线定理知 二面角 平面 角 . 在底面 ， 1 1 5 52 , ,3 2 2D B E C 因此 4s i n E 从而在 ， , 4 1 2s i n s i n 3 D E D E F D E B C E 在 5R t , 4 , t a n D A D A F D 中因此所求二面角 大小为 （）同解法一 . （）如答（ 19）图 ）知，以 D 点为坐标原点， E 、 的方向为 x、 y、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 D（ 0， 0， 0）， A（ 0， 0， 4）， 9202C ， ， E（ 0， 3， 0） . 用心 爱心 专心 3 02A D A D - 2 ， -， ， （ 0， 0， - 4 ） 作 延长线 于 F，连接 设00( , , 0),F x , , 0 ),D F x y00( , 3 , 0 ) x y D F C E 由，有 0030 , 2 0 C E x y 即 又由00 3, E F 得 联立、，解得003 6 4 8 3 6 4 8 3 6 4 8, . , , 0 , , 4 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5x y F A F 即 ， 得因为 3 6 4 8 3( 2 ) 02 5 2 5 2A F C E ,故 E ,又因 E ,所以为 所 求 的 二 面 角 平 面 角 . 因 3 6 4 8, , 0 ,2 5 2 5有223 6 4 8 1 2, 4 ,2 5 2 5 5D F A D 所以 5t a n F 因此所求二面角 3(20)（本小题 13 分） 解： ( )因为 2( ) , ( ) 2 .f x a x b x c f x a x b 所 以 又因为曲线 ()y f x 通过点（ 0， 2a+3） , 故 ( 0 ) 2 3 , ( 0 ) , 2 3 .f a f c c a 而 从 而 又曲线 ()y f x 在（ f(处的切线垂直于 ( 1) 0,f 即 b=0,因此 b=2a. ( )由 ( )得 2392 ( 2 3 ) 4 ( ) ,44b c a a a 用心 爱心 专心 故当 34a时， 得最小值 此时有 33, 从而 23 3 3 3 3( ) , ( ) ,4 2 2 2 2f x x x f x x 23 3 3( ) ( ) ( ) ,4 2 2x f x c x x e 所以 23( ) ( ( ) ( ) ( 4 ) x f x f x e x e 令 ( ) 0 ，解得122 , 2 当 ( , 2 ) , ( ) 0 , ( ) ( , 2 )x g x g x x 时 故 在 上 为 减 函 数 ； 当 ( 2 , 2 ) ( ) 0 , ( ) ( 2 , ) .x g x g x x 时 ， 故 在 上 为 减 函 数 当 ( 2 , ) ( ) 0 ( ) ( 2 , )x g x g x x 时 ， ， 故 在 上 为 减 函 数 . 由此可见，函数 ()单调递减区间为（ - ， （ 2， +）；单调递增区间为（ 2） . (21)（本小题 12 分） 解： ( )由椭圆的定义，点 、 轴长 2a=6 的椭圆 . 因此半焦距 c=2，长半轴 a=3，从而短 半轴 b= 22 5 ， 所以椭圆的方程为 ( )由 2 ,1 c o P N M P N 得 c o s 2 P N M P N P M P N 因为 c o s 1,M P N P 不为椭圆长轴顶点，故 P、 M、 N 构成三角形 4, 由 余 弦 定 理 有 2 2 2 2 c o s P M P N P M P N M P N 将代入，得 2224 2 ( 2 ) P N P M P N 故点 、 轴长为 23的双曲线 2 2 13x y上 . 用心 爱心 专心 由 ( )知，点 2195，所以 由方程组 22225 9 4 5 ,3 3 解得33,25 即 3 3 5 3 3 5 3 3 5 3 3 5( , )2 2 2 2 2 2 2 2、 （ ， - ） 、 （ - ， ） 或 （ ， - ） . (22)(本小题 12分 ) 解： ( )因 2122 , 2 , 故3423 1 23824 2 32,2.a a aa a a 由此有 0 2 2 3( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )1 2 3 42 , 2 , 2 , 2a a a a ，故猜想1( 2 ) *2 ( N ) （ ） 令2l o g , 2 n n n nx a S x n b表 示 的 前 项 和 ， 则由题设知 且 *123 ( N ) ;2n n nx x x n 12 3 ( 2
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