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- 关 键 词：
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全国各地
高考
数学试卷
37
- 资源描述：
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2008年全国各地高考数学试卷（37套）,全国各地,高考,数学试卷,37
- 内容简介：
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用心 爱心 专心 绝密 启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120分钟。第 卷 1 至 2 页，第 卷 3 至 10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 . （ 1） i 是虚数单位， 113) 1 (B) 1 (C) i (D) i （ 2）设变量 满足约束条件1210则目标函数 5 的最大值为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 （ 3）设函数 ,22s ，则 (A) 最小正周期为 的奇函数 (B) 最小正周期为 的偶函数 (C) 最小正周期为2的奇函数 (D) 最小正周期为2的偶函数 （ 4）设 是两条直线， , 是两个平面，则 的一个充分条件是 (A) ,/, (B) /, (C) /, (D) ,/, （ 5）设椭圆 1112222 mm 到其左焦点的距离为 3，到右焦点的距离为 1，则 P 点到右准线的距离为 (A) 6 (B) 2 (C) 21(D) 772（ 6）设集合 ,8|,32| ，则 a 的取值范围是 (A) 13 a (B) 13 a (C) 3a 或 1a (D) 3a 或 1a 用心 爱心 专心 （ 7）设函数 1011 ，则 (A) 在其定义域上是增函数且最大值为 1 (B) 在其定义域上是减函数且最小值为 0 (C) 在其定义域上是减函数且最大值为 1 (D) 在其定义域上是增函数且最小值为 0 （ 8）已知函数 0101则不等式 111 解集是 (A) 121| (B) 1| (C) 12| (D) 1212| （ 9）已知函数 R 上的偶函数，且在区间 ,0 上是增函数 75t 5co s,72s i n 则 (A) (B) (C) (D) （ 10）有 8 张卡片分别标有数字 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，从中取出 6 张卡片排成 3 行 2列，要求 3 行中仅 有中间行的两张卡片上的数字之和为 5，则不同的排法共有 (A) 1344 种 (B) 1248 种 (C) 1056 种 (D) 960 种 第 卷 注意事项： 1 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 3 本卷共 12 小题，共 100 分。 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分 ） （ 11） 52 2x 的系数是 （用数字作答） . （ 12）一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积为 34 ，则该正方体的表面积为 . （ 13）已知圆 C 的圆心与抛物线 2 的焦点关于直线 对称 234 心 爱心 专心 与圆 C 相交于 两点，且 6则圆 C 的方程为 . （ 14）如图，在平行四边形 ， 2,3,2,1 则 . （ 15）已知数列 *3 1,1 111 ，则 nn （ 16）设 1a ，若仅有一个 常数 c 使得对于任意的 , ，都有 2,满足方程 这时， a 的取值的集合为 . 三、解答题（本题共 6 道大题，满分 76 分） （ 17）（本小题满分 12 分） 已知 4,2,10 24c o s （）求 值； （）求 32x 的值 . （ 18）（本小题满分 12 分） 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与 p ，且乙投球 2 次均未命中的概率为161. （）求乙投球的命中率 p ； （）若甲投球 1 次，乙投球 2 次，两人共命中的次数记为 ，求 的分布列和 数学期望 . （ 19）（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 中，底面 矩形 . 已知 60,22,2,2,3 （）证明 面 （）求异面直线 成的角的大小； （）求二面角 的大小 . （ 20）（本小题满分 12 分） 用心 爱心 专心 已知函数 0 中 , . （）若曲线 在点 2,2 的切线方程为 13 求函数 解析式； （）讨论函数 单调性； （）若对于任意的 2,21a，不等式 10 1,41上恒成立，求 b 的取值范围 . （ 21）（本小题满分 14 分） 已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 0,31 F ，一条渐近线的方程是 025 （）求双曲线 C 的方程； （）若以 0斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M， N，线段 垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281，求 k 的取值范围 . （ 22）（本小题满分 14 分） 在数列 4,1 11 数列 n 项和 031 12 a 为 1等比中项， *. （）求 22,值； （）求数列 通项公式； （）设 12 *12( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ,b b b n N . 证明： 2| | 2 , 3nT n n. 用心 爱心 专心 参考答案 一、 选择题： （ 1） A （ 2） D （ 3） B （ 4） C （ 5） B （ 6） A （ 7） D （ 8） C （ 9） A （ 10） B 二、 填空题： （ 11） 40 （ 12） 24 （ 13） 22( 1) 1 0 （ 14） 3 （ 15） 76（ 16） 2 三、解答题： （ 17） 解：（）因为 43,2 x ，所以 2,44 x ，于是 10274c 54221022210274s i o o i i ns i n ）因为 43,2 x ，故 53541s o s 22 2571c o o s,2524c o ss i i n 2 i i i n （ 18） 解： （）设“甲投球一次命中”为事件 A，“乙投球一次命中”为事件 B 由题意得 用心 爱心 专心 16111 22 解得43去），所以乙投球的命中率为43（）由题设和（）知 41,43,21,21 可能的取值为 0， 1， 2， 3，故 32141210 2 32721414324121321412112212 32943213 2 321531012 的分布列为 0 1 2 3 P 321 327 3215 329 的数学期望 232933215232713210 E （ 19） 解：（）证明：在 中，由题设 22,2 得 222 于是 ， ， 用心 爱心 专心 所以 面 （）证明：由题设， ，所以 （或其补角）是异面直线 成的角 . 在 中，由余弦定理得 由（）知 面 面 所以 ，因而 ，于是 是直角三角形，故27 C 与 成的角的大小为27（）解：过点 P 做 于 H，过点 H 做 于 E，连结 为 面 面 所以 ， 因而 面 故 平面 的射影 ，从而 是二面角 的平面角。 由题设可得， 134,13,2,160c o s,360s i 于是再 中，439 的大小为439 （ 20）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力满分 12 分 （ ）解：2( ) 1x ，由导数的几何意义得 (2) 3f ，于是 8a 由切点 (2, (2)直线 31上可得 27b ，解得 9b 所以函数 ()( ) 9f x （ ）解：2( ) 1x 当 0a 时，显然 ( ) 0 （ 0x ）这时 () ,0) ， (0, ) 上内是增函数 7c o P 心 爱心 专心 当 0a 时，令 ( ) 0 ，解得 当 x 变化时， ()， () x ( ,)a a ( ,0)a (0, )a a ( ),a () 0 0 () 极大值 极小值 所以 () ,)a ， ( ),a 内是增函数，在 ( ,0)a ， (0, ) 内是减函数 （ ） 解：由（ ）知， () ,14上的最大值为 1()41)f 的较大者，对于任意的1 ,22a ，不等式 0( 1)在 1 ,14 上恒成立，当且仅当 10(11(4) 10)，即 39 449，对任意的 1 ,22a成立 从而得 74b，所以满足条件的 b 的取值范围是 ( 7,4 （ 21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力满分 14 分 （ ）解：设双曲线 C 的 方程为 221（ 0, 0） 由题设得 用心 爱心 专心 22952 ，解得 2245，所以双曲线方程为 22145 （） 解：设直线 l 的方程为 y kx m（ 0k ） 点11( , )M x y，22( , )N x 2145y kx 将 式代入式，得 22()145x k x m，整理得 2 2 2( 5 4 ) 8 4 2 0 0k x k m x m 此方程有两个一等实根，于是 25 04k ，且 2 2 2( 8 ) 4 (5 4 )( 4 2 0 ) 0km k m 整理得 225 4 0 由根与系数的关系可知线段 中点坐标00( , )120 242 5 4xx k， 00 2554my k x m k 从而线段 垂直平分线方程为225 1 4()5 4 5 4m k k k 此直线与 x 轴， y 轴的交点坐标分别为29( , 0)54，29(0, )54由题设可得221 9 9 8 1| | | |2 5 4 5 4 2k m 整理得 222 ( 5 4 )| ， 0k 将上式代入 式得 22 2( 5 4 ) 5 4 0|k ，整理得 22( 4 5 ) ( 4 | | 5 ) 0k k k ， 0 解得 50 | |2k或 5|4k 所以 k 的取值范围是 5 5 5 5, ) ( , 0 ) ( 0 , ) ( , )4 2 2 4( （ 22）本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前 n 项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法满分 14 分 （ ）解： 由题设有1 2 140a a a ，1 1a，解得2 3a 由题设又有 22 2 14a b b，1 4b，解得2 9b 用心 爱心 专心 （ ）解法一：由题设1 ( 3 ) 0 n S ，1 1a，1 4b，及2 3a ，2 9b ，进一步可得3 6a ，3 16b ，4 10a ，4 25b ，猜想 ( 1)2n ， 2( 1)， *n N 先证 ( 1)2n ， *n N 当 1n 时，1 (11 12 )a ，等式成立当 2n 时用数学归纳法证明如下： （ 1 当 2n 时，2 (22 12 )a ，等式成立 （ 2）假设 时等式成立，即 ( 1)2k ， 2k 由题设，1 ( 3 )k S 1( 1 ) ( 2 ) k S 的两边分别减去 的两边，整理得1 ( 2 )k a ，从而 1 2 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 22k k k k 这就是说，当 1时等式也成立根据（ 1）和（ 2）可知，等式 ( 1)2n 对任何的 2n 成立 综上所述，等式 ( 1)2n 对任何的 *n N 都成立 ( 1)2n 再用数学归纳法证明 2( 1)， *n N （ 1）当 1n 时， 21 (1 1)b ，等式成立 （ 2）假设当 时等式成立，即 2( 1)，那么 2 22 211 24 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) 1 ( 1 )kk ka 这就是说，当 1时等式也成立根据（ 1）和（ 2）可知，等式 2( 1)对任何的*n N 都成立 解法二：由题设1 ( 3 )n S 1( 1 ) ( 2 ) n S 的两边分别减去 的两边，整理得1 ( 2 )n a ， 2n 所以 用心 爱心 专心 3224 4335 1( 1 ) ( 1 )a n a ， 3n 将以上各式左右两端分别相乘，得2( 1 ) !( 1 ) ! 6n nn a a， 由（ ）并化简得2( 1 ) ( 1 )62n n n n ， 3n 止式对 1,2n 也成立 由题设有 2114n n nb b a，所以 221 ( 2 ) ( 1 )b n n ，即1221( 1 ) ( 2 )， *n N 令2( 1)n ，则 1 1 ，即11n nx x 由1 1x 得 1， 1n 所以2 1( 1) ，即 2( 1)， 1n 解法：由题设有1 ( 3 )n S ， *n N ，所以 214 3225 1( 1 ) ( 2 ) n S ， 2n 将以上各式左右两端分别相乘，得12 ( 1 )1 4 5 ( 2 ) n S ，化简得 13( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )26n n n n n n ， 3n 由（ ），上式对 1,2n 也成立所以1 ( 1 )2n n n S ， 2n 上式对 1n 时也成立 以下同解法二，可得 2( 1)， 1n （ ）证明： 12 ( 1 )2 2 212 2(1 ( 1 ) 2 3 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 当 4， *k N 时， 2 2 2 222 22( 4 2 )2 ( 4 1 ) (345 4 ) ( 4 1 )n k k k 用心 爱心 专心 注意到 2 2 2 2( 4 2 ) ( 4 1 ) ( 4 ) ( 4 1 ) 3 2 4k k k k k ，故 ( 1 )( 1 2 ) 4 3 2 432 2nT k k 2 24 ( 4 4 ) 4 ( 4 ) 3 43k k k k k n n 当 41， *k N 时， 2 2 2 24 ( 4 1 ) ( 1 ) 3 ( 1 ) ( 2( 4 ) )3n n n nT n 当 42， *k N 时， 2 2 2 2
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