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高考 数学 附加 题专练 打包 21 人教版

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1 2013 高考数学附加题专练（ 10） ：在 A、 B、 C、 小题 10分，共计分 答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 . B. 选修 4 一 2:矩阵与变换 已知圆 在矩 阵 对应的伸压变换 下变为椭圆，试求 a， b 的值 . C. 选修 4 一 4:坐标系与参数方程 若直线 （参数 与圆 （参数 ）， a 为常数 )相 切 ，求 a 的 值 . 2 必做题：第 22 题、第 23 题， 每小题 10 分，共计 20 分 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 22. (本小 题满分 10 分 )一个口袋装有 5 个红球， 3 个绿球，这些球除颜色外完全相 同 ，某人一次从 中摸出 3 个球 ，其中绿球的个数记为 X 求： (1) 摸出的三个球中既有红球又有绿球的概率； (2) 的数学期望 . 23. (本小题满分 10分）已 知数列 中， ； (2)当 时， . 3 1 2013 高考数学附加题专 练（ 11） 2 3 4 1 2013高考数学附加题专练（ 13） 21 【选做题】本题包括 A， B， C， 小题，请从这 4题中选做 2小题，每小题 10分，共 20分请在答题卡 上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 B选修 4 2：矩阵与变换 （本小题满分 10 分） 已知 1 2 12 1 7 ，M ，计算 5 C选修 4 4：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分） 在极坐标系中，圆14 2 c o s ( )4，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2 c o s ,1 s （ 是参数），若圆1实数 a 的值 2 22【必做题】本题满分 10 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 某射击运动员向一目标射击，该目标分为 3个不同部分，第一、二、三部分面积之比为1 3 6 击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比 （ 1）若射击 4次，每次击中目标的概率为 13且相互独立 设 表示目标被击中的次数，求 的分布列和数学期望 ()E ； （ 2）若射击 2次均击中目标， A 表示事件“第一部分至少被击中 1次或第二部分被击中 2次”，求事件 A 发生的概率 23【必做题】本题满分 10 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 已知函数 2( ) ( 2 1 ) l n ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 0 )f x x x a x x a （ 1）若函数 () 0x 处取极值，求 a 的值； （ 2）如图，设直线 1 ,2x y x 将坐标平面分成 、 、 、 四个区域（不含边界），若函数 ()y f x 的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围； （ 3）比较 2 3 4 2 0 1 13 4 5 2 0 1 2 与 3 4 5 2 0 1 22 3 4 2 0 1 1 的大小，并说明理由 12 yx O （第 23 题） 3 数学 参考答案 21 B选修 4 2：矩阵与变换 解 ： 矩 阵 M 的 特 征 多 项 式 为212( ) 2 321f 3分 令12( ) 0 3 1f ， 解 得 ，从而求得对应的一个特征向量分 别为 1211 ， 5分 令 12， 所以求得 4m， 3n 7分 5 5 5 51 2 1 2( 4 3 ) 4 ( ) 3 ( ) M M 551 1 2 24 ( ) 3 ( ) 551 1 9 7 54 3 3 ( 1 )1 1 9 6 9 10分 C选修 4 4：坐标系与参数方程 解： 221 : ( 2 ) ( 2 ) 8C x y ，圆心1(2,2)C，半径1 22r ， 2 2 22 : ( 1 ) ( 1 )C x y a ，圆心 2( 1, 1)C ，半径 2 3分 圆心距1232 5分 两圆外切时，1 2 1 22 2 3 2 2C C r r a a ，； 7分 两圆内切时，12 2 2 3 2 5 2r r a a 12 综上， a, 或52a 10分 22【必做题】本题满分 10 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 解：（ 1）依题意知 ( )B ， 143， 的分布列 0 1 2 3 4 4 P 1681 3281 2481 881 181 数学期望 ()E = 1 6 3 2 2 4 8 1 40 + 1 + 2 + 3 + 4 =8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 3 （或 ()E = 43 5分 （ 2）设 第一次击中目标时 ,击中第 i 部分 ” ， 1,2i ， 第二次击中目标时 ,击中第 i 部分 ” , 1,2i 依题意，知 ( ) ( ) 0 P B11,22( ) ( ) 0 P B, A A B A B A B A B 1 1 1 1 1 1 2 2, 7分 所求的概率为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A B P A B P A B P A B 1 1 1 1 1 1 2 2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P A P B P A P B P A P B1 1 1 1 1 1 2 2= 0 . 1 0 . 9 + 0 . 9 0 . 1 + 0 . 1 0 . 1 + 0 . 3 0 . 3 = 0 . 2 8 答：事件 A 的 概 率 10 分 另解：记“第一部分至少击中一次”为事件 C ，“第二部分被击中二次”为事件 D ， 则 12( ) C 0 . 1 0 . 9 + 0 . 1 0 . 1 = 0 . 1 9 ， ( ) = 0 0 7分 ( ) ( ) ( ) 0 . 2 8P A P C P D 答 ： 事 件 A 发 生 的 概 率 10 分 23【必做题】本题满分 10 分 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 解： 2( ) ( 2 1 ) l n ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 0 )f x x x a x x a ， ( ) 2 l n ( 2 1 ) 4 ( 2 1 ) 1f x x a x () 0x 处取极值， ( 0 ) 4 1 0 14a（经检验 14a符合题意） 3分 （ 2）因为函数的定义域为 1( , )2 ， 且当 0x 时， (0) 0 又直线 恰好 通过原点，所以函数 ()y f x 的图象应位于区域内， 于 是 可 得 ()f x x ，即 12 yx O （第 23 题） 5 2( 2 1 ) l n ( 2 1 ) ( 2 1 )x x a x x x 5分 2 1 0x ， 1)21xa x 令 2 1)()21x ，22 2 l n ( 2 1 )() ( 2 1 )x 令 ( ) 0 ，得 12x， 1 e 1( , )22x 时， ( ) 0 ， () , )2x 时， ( ) 0 ， () m a x e 1 1( ) ( )2eh x h a 的 取 值 范 围 是1 7分 （ 3）法一：由（ 2）知，函数 l n ( 2 1 ) e 1( ) ( ,2 1 2xm x 在 ）时单调递减， 函数 (e, )x 时单调递减 l n ( 1 ) l n , l n ( 1 ) ( 1 ) l x x x x ( 1 ) 1) ，即(1)( 1) 9分 3 , 4 , , 2 0 1 1,x 令 则 3 4 4 54 3 , 5 4 , 2 0 1 1 2 0 1 2, 2 0 1 2 2 0 1 1 , 又 2 3 3 43 4 2 3 ， 所 以2 3 4 2 0 1 1 3 4 5 2 0 1 23 4 5 2 0 1 2 2 3 4 2 0 1 1 10分 法二：2011 20112 0 1 1 2 0 1 1 201102 0 1 2 2 0 1 2 2 0 1 220112 0 1 2 ( 2 0 1 1 1 )2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1， 2 0 1 1 2 0 1 12 0 1 1 2 0 1 12 0 1 1 , 2 0 1 1 2 0 1 1r r r ， 2011 20110 2 0 1 1 1 2 0 1 0 2 0 0 9 2 120110 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 12 0 1 2 2 0 1 22011 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 12 0 1 1 2 0 1 1 C C C 1 1 1 12 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 22 0 1 2 2 0 1 1 ，同理可得 3 4 4 54 3 , 5 4，以 下同一 1 2013 高考数学附加题专练（ 14） 21.【选做题】本题包括 A、 B、 C、 D 四小题， 请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作 答 ， 若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 阵与变换（本小题满分 10 分） 已知矩阵 M 21=34（） 求矩阵 M 的逆矩阵； （） 求矩阵 M 的特征值及特征向量； C. 选修 4阵与变换（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系中，求圆 C 的参数方程为 1 c o s (s 为参数 r0） ,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ，直线 l 的极坐标方程为 c o s ( ) 2 2 若直线 l 与圆 C 相切，求 r 的值。 2 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分 题卡指定区域内 作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤。 22. （本小题满分 10 分） 假定某人每次射击命中目标的概率均为 12，现在连续射击 3 次。 （） 求此人至少命中目标 2 次的概率； （） 若此人前 3 次射击都没有命中目标，再补射一次后结束射击；否则。射击结束。记此人射击结束时命中目标的次数为 X，求 X 的数学期望。 23（本小题满分 10 分） 已知数列 ,a 且对任意 *，恒有1 2 ( 1)a n a （） 求数列 （） 设区间1 , 3 3( 1)中的整数个数为 , 3 数学 试题答案 21 B 141553255M 4 分 矩阵 A 的特征多项式为221( ) ( 2 ) ( 4 ) 3 6 534 ， 令 ( ) 0f ，得矩阵 M 的特征值为 1 或 5 ， 6 分 当 1 时 由二元一次方程 0,3 3 0, 得 0 ，令 1x ，则 1y ， 所以特征值 1 对应的特征向量为111 8 分 当 5 时 由二元一次方程 3 0,3 0, 得 30 ，令 1x ，则 3y ， 所以特征值 5 对应的特征向量为213 1 0 分 C 将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程得： 40 ， 3 分 将圆 C 的参数方程化为普通方程得： 2 2 2( 1)x y r 6 分 由题设知：圆心 ( 1,0)C 到 直线 l 的距离 为 r ，即22( 1 ) 0 4 5221 ( 1 )r ， 即 r 的值为 522 10 分 22 设此人至少命中目标 2 次的事件为 A,则 2 2 3 3331 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2P A C C ， 即此人至少命中目标 2 次的概率为 12 4 分 由题设知 X 的可能取值为 0， 1， 2， 3，且033 1 1 1( 0 ) ( ) ( )2 2 1 6P X C ， 1 1 2 0 3331 1 1 1 7( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 6P X C C ， 223 1 1 3( 2 ) ( ) ( )2 2 8P X C ， 333 11( 3 ) ( )28P X C ， 8 分 从而 1 7 3 1 2 5( ) 0 1 2 31 6 1 6 8 8 1 6 . 10 分 23 由 1 2 ( 1)n a ，得1 2( 1) ，当 2n 时，12 1 ， 所以，当 2n 时，1 2 11 2 12 2 ( 1 ) 2 2 221 2 1 a a na a a n n ， 此式对于 1n 也成立，所以 数列 4 分 4 由 知， 0 1 1 2 1 12 ( 3 1 ) ( 1 )3 3 ( 1 )3 3 3 3n n nn n n n C ， 1 1 10 1 111 1 12 ( 3 1 ) ( 1 )3 3 ( 1 )3 ( 1 ) 3 3 3n n nn n n n C ， 8 分 当 n 为奇数时， 12 1 2 1 2 1( ) ( ) 13 3 3 3 3n n ； 当 n 为偶数时， 12 1 2 1 2 1( 1 ) ( )3 3 3 3 3n n 10 分 1 2013 高考数学附加题专练 (15) B 4 ：矩阵与变换 设 a ， ，若矩阵 0把直线 42: 换为直线 12: 求 a ，b 的值 . C 44 ：坐标 系与参数方程 求椭圆 1916:22 的 点 P 到直线 01843: 距离的最小值 . 2 长方体 1111 中， 4 2 21 F 是棱 中点，点 E 在棱 11，且 11 （ 为实数） . （ 1） 当31时，求直线 平面 成角的正弦值的大小； （ 2） 求证：直线 可能 与直线 直 . ()(),( ，其中 x ， y 为正实数， 给定正实数 a ， b 满足1于任意正整数 n ， )(),(nn 3 4 5 1 2013高考数学附加题专练（ 16） 数学 （理科附加题） 21【选做题】在 A、 B、 C、 题，每小题 10分，共计 20 分 B选修 4 2：矩阵与变换 设 M 1002， N 1 0201，试求曲线 y N 变换下的曲线方程 C选修 4 3：坐标系与参数方程 已知 和 2 (若两圆的圆心距为 5，求 a 的值 2 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10分，共计 20 分 22 在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有 “ 对 ” 和 “ 错 ” 两种结果，其中 某明星判断正确的概率为 p ，判断错误的概率为 q ，若判断正确则加 1分，判断错误则减 1分，现记 “ 该明星答完 n 题后总得分为 （ 1）当21 | 3S ，求 的分布列及数学期望； （ 2）当32,31 )4,3,2,1(028 概率 23（ 1）设函数 )10)(1( 22 求 )(最小值； （ 2）设正数321 , 满足 12321 ， 求证： 3 21 B 1110 0022020 1 0 2 ， 4 分 设 ,曲线 xy 上 的任意一点，在矩阵 , 则 1 0202 ，所以 1 ,22,即 2,1 ,2 8 分 代入 xy 得： 1 2 ，即 2 即曲线 xy 在矩阵 换下的曲线方程为 10 分 C解：由 2 得 2 2 所以 2x 即 (x 1)2 1 (3分 ) 由 2得 2 2 所以 程为 2 即 (y a)2 (6分 ) 心之间的距离为 12 5，解得 a 2 (10分 ) 22（ 1） |3S的取值为 1， 3，又21 故43)21()21(2)1( 213 ，41)21()21()3( 33 P 所以 的分布列为： 且 E =143+341=23； （ 2）当 时，即答完 8题后，回答正确的题数为 5题，回答错误的题数是 3题， 又已知 )4,3,2,1(0 iS i ，若第一题和第二题回答正确，则其余 6题可任意答对 3题；若第一题和第二题回答错误，第三题回答正确，则后 5题可任意答对 3题 此时的概率为3 3 5 365 871 2 3 0 8 8 0 8 0( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 1 8 733P C C 或 23解：（ ）对函数 )(导数： )1()( 22 2)1(lo g 22 ).1(lo g 22 于是 1( f 当 )(,0)1(,21 22 时在区间 )21,0(是减函数， 当 )(,0)1(,21 22 时在区间 )1,21(是增函数 所以21)( 时取得最小值， 1)21( f， （ ）证法一：用数学归纳法证明（ i）当 n=1时，由（ ）知命题成立 （ 定当 时命题成立，即若正数 1,221221 kk 满足， 则 当 1，若正数 ,1,11 221221 kk 满足 1 3 P 4341 4 令 ., 222211221 则21 , 为正数，且 由归纳假定知1 2 1 2 2 2 222l o g l o g l o g q p q q q k 22222121222222121 l o gl o gl o g(l o gl o gl o g ,)2 同理，由 1122212 可得11 22212212 lo g ).1()(1( 2 综合 、 两式11 222222121 lo g kk )1(1( 22 即当 1命题也成 立 根据（ i）、（ 知对一切正整数 证法二：令函数 那么常数 ),0(,0)( 22 ,( 222 利用（ ）知，当 .)(,)2(21 取得最小值函数时即 对任意 都有,0,0 21 2lo g 21221222121 1)()21221 下面用数学归纳法证明结论（ i）当 n=1时，由（ I）知命题成立 （ 当 n=若正数 有满足 ,1,221221 kk 11111122212212222121221221222222121lo ,g 令满足时当 由 得到 ,1)()(,1)() 1)() 1111121221212221221221因为由归纳法假设 得到,)(lo g)()(lo g)(1111 212221221221 )(11 21221 当 1命题也成立 所以对一切正整数 1 2013高考数学附加题专练（ 17） 数学 （理科附加题） 21【选做题】在 A、 B、 C、 题，每小题 10分，共计 20 分 B选修 4 2：矩阵与变换 已知矩阵 1121A，向量 12 求向量 ，使得 2A C选修 4 3：坐标系与参数方程 已知椭圆 C 的极坐标方程为 2223 c o s 4 s i ，焦距为 2，求实数 2 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10分，共计 20 分 22在平面直角坐标系 ，已知点 ( 1,1)A ， P 是动点，且三角形 三边所在直 线的斜率满足 (1)求点 的方程； (2)若 上异于点 0P Q O A，直线 ，问：是否存在点 ? 若存在，求出点 不存在，说明理由 23 已知 1(1 )2 开式的各项依次记 为1 2 3 1( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( )x a x a x a x a x 设1 2 3 1( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) , ( ) ( 1 ) ( )x a x a x a x n a x n a x （ 1）若1 2 3( ), ( ), ( )a x a x a n 的值； （ 2）求证：对任意12, 0, 2恒有 112| ( ) ( ) | 2 ( 2 ) 1nF x F x n . 3 数学 （理科附加题）答案 A 证明：连结 过点 F 又 5分 又 点 点 即 1 10 分 B 1121 A，2 1 1 1 1 3 22 1 2 1 4 3 A4 分 设 ，则 2A 3243=12 3 2 143 2 8 分 3 2 1 1,4 3 2 2x y xx y y ， 12 10分 C椭圆 的普通方程为 221345 分 由 134，得 a=12 10 分 D 因为 22 2 2 ()( ) ( ) ( ) ( )3x x a x b x c 22 2 2 2 ()3 2 ( )3a b c x a b c 2 2 2 23 ( )3a b c ， 2 分 所以3时， () 2 2，即 2 2 2m a b c ， 5 分 因为 23a b c ，由柯西不等式得 2 2 2 2 2 2 21 ( 1 ) 2 ( ) ( 2 ) 9a b c a b c ， 8 分 所以 2 2 2 9362m a b c ， 当且仅当1 1 2a b c，即 3 3 34 4 2a b c ， ，时等号成立， 所以 m 的最小值为 32 10 分 22 解：（ 1）设点 ( , )Px y 为所求 轨迹上的任意一点，则由O P O A k k得， 11，整理得轨迹 C 的方程为 2（ 0x 且 1x ） 3分 4 （ 2）设 221 1 2 2( , ) , ( , ) ,P x x Q x 0P Q O A可知直线 /A ，则 故 2221211010 ，即 211 ， 5 分 直线 程为：1y ； 直线 斜率为： 21 11( 1 ) 1 211x ， 直线 1 ( 2 ) ( 1 )y x x ， 即11( 2 ) 1y x x x 联立 ，得 12x， 点 坐标为定值 12 8 分 由 2，得到 2M ，因为 /A ，所以 2M ， 由 2M ，得1 1x， P 的坐标为 (1,1) 存在点 ， P 的坐标为 (1,1) 10分 23 解：（ 1）依题意 111( ) ( )2x C x， 1, 2 , 3, , 1， 1 2 3( ), ( ), ( )a x a x a 为 0 1， 1 122n ， 221 ( 1 )()28n ， 所以 ( 1)2128n n n ，解得 8n ； 4 分 （ 2）1 2 3 1( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) , ( ) ( 1 ) ( )x a x a x a x n a x n a x 0 1 2 2 1 11 1 1 12 ( ) 3 ( ) ( ) ( 1 ) ( )2 2 2 2n n n nn n n n x C x n C x n C x 0 1 2 1( 2 ) 2 3 ( 1 )n n n C C n C n C 设 0 1 2 12 3 ( 1 )n n n n C C n C n C ， 则 1 2 1 0( 1 ) 3 2n n n n nS n C n C C C C 考虑到 k n ，将以上两式相加得： 0 1 2 12 ( 2 ) ( )n n n n nS n C C C C C 所以 1( 2 ) 2 又当 0,2x 时 ， ( ) 0恒成立，从而 ()0,2 上的单调递增函数， 所以对任意12, 0, 2 112| ( ) ( ) | ( 2 ) ( 0 ) ( 2 ) 2 1nF x F x F F n 10 分 1 2013 高考数学附加题专练 （ 18） 数学（附加题） 23 【必做题】本题满分 10分解答时应写出文字说明 、证明过程或演算步骤 1（ 矩阵与变换） 求矩阵 M= 12 21的特征值及其对应的特征向量 . 2. （ 坐标系与参数方程 ） 在平面直角坐标系 ，椭圆 其中 为参数 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方 程为63)3c 上的点到直线 2 二 必做题 每小 题 10 分，共计 20 分请在 答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 3. 如图，已知三棱柱 111 的侧棱与底面垂直， 11 中 点， 1，且满足 111 . （） 当 取何值时，直线 最大？ （） 若平面 45 ，试确定点 4. 已知数列 )2(3,3 11 （） 求证： ,* 使 34 nn （） 求2010 1A 1B P N M A B C 1C 3 数学 （附加题） 参考答案 1 解：矩阵 式为 4)1)(1(1221)( f = 322 . 令 ( ) 0,f 得矩阵 1和 3 . 当 - 2 2 01 , 02 2 0xy 时 ， 联 立 解 得所以矩阵 1的一个特征向量为 11. 当 2 2 03,2 2 0xy 时 ， 联 立 解 得所以矩阵 的 一个特征向量为 11. 2 解：直线 0633 设椭圆 d . 263)4s 2|63s d 当 1)4 时， 62d，当 1)4 时， 6d . 3 解：（ 1）以 C,1,，建立 空间直角坐标系 ， 则 )1,21,21( 平面 0,0,1)n 则45211,co ss *） 于是问题转化为二次函数求最值，而 0, ,2 当 最大时， 大，所以当21时， 5 52)(m . （ 3）已知给出了平面 平面 成的二面角为 45 ，即可得到平面 一个法 向量为 1 (0, 0,1)n A A，设平面 , , )m x y z ， 1( , 1, )2. 4 由0011( ) 0221 02x y zx y z ，解得2132 (1 )3 . 令 3 , ( 3 , 2 1 , 2 (1 ) )x m m n 得 这 样 和 就 表 示 出 来 了 ，于是由 22)1(4)12(9)1(2,co 解得111 ,2 P B A 故 点 在的延长线上，且1 12 4 解： 当11 3 时 ，假设当 4 3 ,k k kn k a m m N 时 ，则当 1， 34341 )14(33 0340 34 )1(4 kk 1241 34 )1(4 kk 24124 34 )1(4 4 )1(4 其中 T 0240 34 )1(4 kk 1141 34 )1(4 kk *242434 )1( NC . 所以1 1 11 , 4 3 + 1 ,k k N m n k 使 a 所 以 当 时 ， 结 论 也 成 立所以 * , , 4 3n n m N a m 使； （ 2） 27)81(33 341 2010. 4 1 4 ( 1 ) 3 1 2013 高考数学附加题专练（ 19） 数学（附加题） 21 【选做题】在 A， B， C， D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 B选修 4 2 矩阵与变换 已知矩阵 41 若矩阵 的一个特征向量为 113，属于特征值 5的一个特征向量为 2=11 求矩阵 A，并写出 C选修 4 4 参数方程与极坐标 已知圆 C 的参数方程为 为参数s c o ，若 P 是圆 C 与 x 轴正半轴的交点，以原点 坐标系，设过点 的切线为 l ，求直线 2 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 只白球和 2只红球 （ 1）从口袋中一次任取 4只球，取到一只白球得 1分， 取到一只红球得 2分，设得分为随机变量 X，求 （ 2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求 6 次取球后恰好被停止的概率 ， 已知焦点为 F 的抛物线 2 上有两个动点 A 、 B ，且 满足 , 过 A 、 B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为 （ 1） 求： 值； （ 2） 证明： 为定值 附加题参考答案 B选修 4 2 矩阵与变换 3 解 ：由矩阵 的一个特征向量为 113可得， 41 1313， 即 33 3分 由矩阵 A 属于特征值 5 的一个特征向量为 2 11 ，可得 41 11 511， 即 5 6分 解得32 A 4312 ， 7分 5253515410 分 C选修 4 4 参数方程与极坐标 解 由题设知 ,圆心 3,1 2分 0 ,故过 倾斜角为 30 4分 设 ,M 是过 的切线上的任一点， 则在 ， 00 1 5 0, 30 O P P 由 正弦定理得 00 30s i n 2s i n 1 5 0, s i ns i n O M 130s 160c o s 00 或，即为所求切线的极坐标方程 . 10分 1） 、 5、 6. P(X=4)= 1514644 P(X=5)= 158461234 P(X=6)= 156462224 P 4 5 6 X 151158156316156615851514)( (2)设 “6 次取球后恰好被停止 ” 为事件 A 则7294432323132)31(323132)31()( 2233 6 次取球后恰好 被停止的概率为7294410 分 4 )4,(),4,(222211 焦点 F（ 0,1） )14,(),41,(222211 )14(41222121 消 得0)41()14( 212221 化简整理得 0)14)( 2121 421 144 222121 32121 定值） （ 2）抛物线方程为 241 1 过抛物线 A、 方程分别为4)(212111 和 4)(21 2222 即421211 和 421 222 联立解出两切线交点 M 的坐标为 1,2 21 4, 022 21222122 定值） 1 2013高考数学附加题专练（ 1） 1.（矩阵与变换选做题） 已知矩阵 A = 2143 A， B = 4131 B， 求满足 的二阶矩阵 X 2.（坐标系与参数方程选做题） 已知曲线 C 的极坐标方程为 ，以极点为原点， 极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方 程为123 12 （ t 为参数），求直线 l 被曲线 C 截得的线段长度 . 2 3、如图，在三棱锥 中，平面 平面 2 90 (1)求直线 (2)若动点 面角 4、 对称轴为 坐标轴 ,顶点在坐标原点的抛物线 (a， 2a)、 B(4a， 4a)， (其中 (1)求抛物线 (2)设动点 T )(0,( ，直线 的另一个交点分别为 m 变化时，记所有直线 11成的集合为 M，求证：集合 M 中的任意两条直线都 相交且交点都不在坐标轴上 A P C B 3 参考答案 1 解：由题意得 1 312221 A， 5 ， 1 3 1 941 12 2 2312 1 5 1 X A B10 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 0622 即 9)3( 22 它表示以 )3,0( 为圆心， 3 为半径的圆， 3 直线方程 l 的普通方程为 31， 6 圆 d ， 故直线 l 被曲线 C 截得的线段长度为 24132 22 10 （ 1） 取 点 O,因为 C，所以 , 平面 平面 平面 平面 面 1 以 x、 y、 因为 C=2 ,所以 C= 从而 O(0,0,0),B(1,0,0),A(0,), C(0,1,0),P(0,0,1), 2 )1,1,0(),1,0,1(),1,0,1( 设平面 ,(1 ， 由 0,0 11 方程组 00取 )1,1,1(1 n 3 36,c o 直线 成角的正弦值为36。 4 （ 2）由题意平面 法向量 )0,0,1(2 n ， 5 A P C O y x 4 设平面 0,(),(3 )0,1,(),1,1,0( 因为 0033 0)1(0 取 )1,1,1(3 7 11113211,c o 91 2 1 或 1 （舍去） M 的最小值为垂直距离510d。 10 (1)当抛物线焦点在 抛物线方程 P=2a2 抛物线焦点在 抛物线方程 方程无解 抛物线不存在 4 (2)设 A1(2 B1(2 T(m， 0)(ma) 1 2 2 (as+m)(0 S=- A1( 5 1 4 2 2 (2at+m)(0 t=- B1( 6 11y+2m= x- 7 5 直线的斜率为 ),( a 单调 所以集合 8 直线的横截距为在 ),( a 单调，纵截距为32m在 ),( a 单调 任意两条直线都 相交且交点都不在坐标轴上。 1 2013高考数学附加题专练（ 20） 试题 （附加题） 21【选做题】本题包括 A、 B、 C、 选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 若 多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 B（矩阵与变换） 已知 矩阵 122 a的属于特征值 b 的一个特征向量为 11，求实数 a 、 b 的值 C（极坐标与参数方程） 在平面直角坐标系 知点 (1 2)A ， 在 曲线 22 2 x ， （ t 为参数， p 为正常数 ），求 p 的 值 2 【 必做题】第 22、 23题，每小题 10 分，共计 20 分 请在 答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 22 已知函数 2( ) 2 ( 1 ) l n ( 1 ) 2f x x x x x ， 0x ， ，求 ()最大值 . 23（ 1）已知 *、 ， 且 ， 求证： 11 ； （ 2）设数列 0a ， 1a ， 2a ， 满足 01， 112i i ia a a（ i 1， 2， 3， ） 证明： 对任意的正整数 n ，0 1 1 2 2 20 1 2( ) C ( 1 ) C ( 1 ) C ( 1 ) Cn n n n nn n n n np x a x a x x a x x a x 是 关于 x 的一次式 3 21 B 命题立意：本题主要考查二阶矩阵的特征值与特征向 量 ，考查运算求解能力 解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知 122 a11= 11b， （ 5分 ） 所以 3 2 ， ，解得 1 3， .（ 10分） C 命题立意：本题主要考查参数方程 ，考查运算求解能力 解：由 22 2 x ，（ t 为参数， p 为正常数 ），消去参数 t 得 2 2y ， （ 8分） 将点 (1 2)A ， 代入 2 2y 得 2p .（ 10 分） 22 命题立意：本题主要考查复合函数求导等知识 ，考查运算求解、 推理论证 能力 证明： 由 2( ) 2 ( 1 ) l n ( 1 ) 2f x x x x x 得 ( ) 2 1 ) 2f x x x ， （ 2分） 令 ( ) 2 1 ) 2g x x x ， 则 22( ) 211 ， 当 10x 时， ( ) 0 ， () 1 0)， 上为增函数 ； 当 x 0时， ( ) 0 ， ()0 )， 上为减函数， 所以 ()x=0处取得极大值，且 (0) 0g ， （ 6分） 故 ( ) 0 （当且仅当 0x 时取等号） ， 所以函数 () 0 ， 上的减函数， （ 8分） 则 ( ) (0) 0f x f ，即 ()最大 值为 0 （ 10分） 23 命题立意：本题主要考查组合数的性质、二项 式定理 ，考查 推理论证 能 力 （ 1） 证明： 左边 !C ! ( ) ! ( 1 ) ! ( ) !kn k n k k n k ， 右边 ( 1 ) ! !( 1 ) ! ( ) ! ( 1 ) ! ( ) !n nn k n k k n k ， 所以 11 ； （ 3分） （ 2） 证明： 由题意得数列 0a ， 1a ， 2a ， 为等差数列，且公差为 100.（ 5分） 则 0 1 1 2 2 20 1 2( ) C ( 1 ) C ( 1 ) C ( 1 ) Cn n n n nn n n n np x a x a x x a x x a x 0 1 10 0 1 0 0 1 0C ( 1 ) + ( ) C ( 1 ) + ( ) Cn n n nn n na x a a a x x a n a a x 4 0 1 1 1 1 2 2 20 1 0C ( 1 ) C ( 1 ) C ( ) C ( 1 ) + 2 C ( 1 ) Cn n n n n n n nn n n n n na x x x x a a x x x x n x 0 1 1 2 1 10 1 0 1 1 1( 1 ) ( ) C ( 1 ) + C ( 1 ) Cn n n n nn n na x x a a n x x x x x 10 1 0( ) (1 ) na a a n x x x 0 1 0()a a a ， 所以对任意的正整数 n， ()x 的