2021版高考数学一轮复习核心素养测评二十五4.7正弦定理余弦定理的应用举例文含解析北师大版202008282103.doc
2021版高考数学一轮复习核心素养测评文含解析打包70套北师大版
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核心素养测评二十五正弦定理、余弦定理的应用举例(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知a,b两地间的距离为10 km,b,c两地间的距离为20 km,现测得abc=120,则a,c两地间的距离为()a.10 kmb.10 kmc.10 kmd.10 km【解析】选d.由余弦定理得,ac2=ab2+cb2-2abcbcos120=102+202-21020-12=700.所以ac=107(km).2.甲船在岛的正南方a处,ab=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行,同时乙船自b出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向匀速航行,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是()a.514小时 b.57小时 c.145小时 d.75小时【解析】选a.假设经过x小时两船相距最近,甲乙分别行至c,d,如图所示:可知bc=10-4x,bd=6x,cbd=120,由余弦定理可得,cd2=bc2+bd2-2bcbdcoscbd=(10-4x)2+36x2+2(10-4x)6x12=28x2-20x+100,所以当x=514时两船相距最近.3.如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取a,b两点,从a,b两点分别测得建筑物顶端的仰角为30,45,且a,b两点间的距离为60 m,则该建筑物的高度为()a.(30+303)mb.(30+153)mc.(15+303)md.(15+153)m【解析】选a.在pab中,pab=30,apb=15,ab=60 m,sin 15=sin(45-30)=sin 45cos 30-cos 45sin 30=6-24.由正弦定理得pb=absin30sin15=30(6+2)(m),所以建筑物的高度为pbsin 45=30(6+2)22=(30+303)m.4.已知a船在灯塔c的北偏东85方向且a到c的距离为2 km,b船在灯塔c的西偏北25方向且b到c的距离为3 km,则a,b两船的距离为()a.13 kmb.15 kmc.2 kmd.3 km【解析】选a.画出图形如图所示,由题意可得acb=(90-25)+85=150,又ac=2,bc=3.在abc中,由余弦定理可得ab2=ac2+bc2-2acbccos 150=13,所以ab=13,即a,b两船的距离为13 km.5.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点a处测得水柱顶端的仰角为45,从点a沿北偏东30方向前进100 m到达点b,在b点测得水柱顶端的仰角为30,则水柱的高度是()a.50 mb.100 mc.120 md.150 m【解析】选a.设水柱高度是h,水柱底端为c,则在abc中,bac=60,ac=h,ab=100,bc=3h,根据余弦定理得,(3h)2=h2+1002-2h100cos 60,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,解得h=50(负值舍去),故水柱的高度是50 m.6.如图,测量河对岸的塔高ab时可以选与塔底b在同一水平面内的两个测量点c与d,测得bcd=15,bdc=30,cd=30,并在点c测得塔顶a的仰角为60,则塔高ab等于()a.56b.15c.52d.156【解析】选d.在bcd中,cbd=180-15-30=135.由正弦定理得bcsin30=30sin135,所以bc=152.在rtabc中,ab=bctanacb=1523=156.7.长为3.5 m的木棒ab斜靠在石堤旁,木棒的一端a在离堤足c处1.4 m的地面上,另一端b在离堤足c处的2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为,则坡度值tan =世纪金榜导学号()a.2315b.516c.23116d.115【解析】选a.由已知,在abc中,ab=3.5 m,ac=1.4 m,bc=2.8 m,且+acb=.由余弦定理得ab2=ac2+bc2-2acbccosacb,即3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(-),解得cos =516,所以sin =23116,所以tan =sincos=2315.二、填空题(每小题5分,共15分)8.一艘海轮从a出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40方向直线航行,30分钟后到达b处,在c处有一座灯塔,海轮在a观察灯塔,其方向是东偏南20,在b处观察灯塔,其方向是北偏东65,则b,c两点间的距离是海里.【解析】 如图,由已知可得,bac=30,abc=105,ab=20, 从而acb=45 .在abc 中,由正弦定理,得bc=absin45sin 30=102.答案:1029.(2018德州模拟)如图,某炮兵阵地位于a点,两观察所分别位于c,d两点.已知acd为正三角形,且dc=3 km,当目标出现在点b时,测得cdb=45,bcd=75,则炮兵阵地与目标的距离是.(保留1位小数)【解析】cbd=180-bcd-cdb=60.在bcd中,由正弦定理,得bd=cdsin75sin60=6+22.在abd中,adb=45+60=105,由余弦定理,得ab2=ad2+bd2-2adbdcos 105=3+(6+2)24+236+226-24=5+23.所以ab=5+232.9(km).所以炮兵阵地与目标的距离约是2.9 km.答案:2.9 km10.海轮“和谐号”从a处以每小时21海里的速度出发,海轮“奋斗号”在a处北偏东45的方向,且与a相距10海里的c处,沿东偏南15的方向以每小时9海里的速度行驶,则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为小时.世纪金榜导学号【解析】设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为x小时,如图,在abc中,ac=10海里,ab=21x海里,bc=9x海里,acb=120.由余弦定理得(21x)2=100+(9x)2-2109xcos 120,整理,得36x2-9x-10=0,解得x=23或x=-512(舍). 所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为23小时.答案:23(15分钟35分)1.(5分)如图,要测量底部不能到达的某铁塔ab的高度,在塔的同一侧选择c,d两观测点,且在c,d两点测得塔顶的仰角分别为45,30.在水平面上测得bcd=120,c,d两地相距600 m,则铁塔ab的高度是()a.120 mb.480 mc.240 md.600 m【解析】选d.设ab=x,则bc=x,bd=3 x,在bcd中,由余弦定理知cos 120=bc2+cd2-bd22bccd=x2+6002-3x22600x=-12,解得x=600 m,(x=-300舍去).故铁塔ab的高度为600 m.2.(5分)如图所示,在一个坡度一定的山坡ac的顶上有一高度为25 m的建筑物cd,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角,在山坡的a处测得dac=15,沿山坡前进50 m到达b处,又测得dbc=45,根据以上数据可得cos =.【解析】由dac=15,dbc=45得bda=30,dba=135,bdc=90-(15+)-30=45-,由内角和定理可得dcb=180-(45-)-45=90+,根据正弦定理可得50sin30=dbsin15,即db=100sin 15=100sin (45-30)=252(3-1),又25sin45=252(3-1)sin(90+),即25sin45=252(3-1)cos,得到cos =3-1.答案:3-13.(5分)如图,勘探队员朝一座山行进,在前后a,b两处观察山顶c的仰角分别是30和45,两个观察点a,b之间的距离是100米,则此座山cd的高度为米.【解析】设山高cd为x米,在rtbcd中,有bd=cd=x米,在rtacd中,有ac=2x米,ad=3x米.而ab=ad-bd=(3-1)x=100.解得:x=503+50.答案:(503+50)4.(10分)已知岛a南偏西38方向,距岛a 3海里的b处有一艘缉私艇.岛a处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船?世纪金榜导学号参考数据:sin38=5314,sin22=3314【解析】如图,设缉私艇在c处截住走私船,d为岛a正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x海里,则bc=0.5x海里,ac=5海里,由已知,bac=180-38-22=120,由余弦定理得bc2=ab2+ac2-2abaccos 120,所以bc2=49,bc=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sinabc=acsinbacbc=5327=5314,所以abc=38,又bad=38,所以bcad,所以缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住该走私船.5.(10分)已知在东西方向上有m,n两座小山,山顶各有一个发射塔a,b,塔顶a,b的海拔高度分别为am=100 m和bn=200 m,一测量车在小山m的正南方向的点p处测得发射塔顶a的仰角为30,该测量车向北偏西60方向行驶了100 m后到达点q,在点q处测得发射塔顶b处的仰角为,且bqa=,经测量tan =2,求两发射塔顶a,b之间的距离.世纪金榜导学号【解析】在rtamp中,apm=30,am=100 m,所以pm=
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