内容简介：: 1 第 6讲抛物线一、选择题 1抛物线 (2a 1)y 的准线方程是 y 1，则实数 a ( ) C 12 D 32 解析根据分析把抛物线方程化为 2 12 a y，则焦参数 p 12 a，故抛物线的准线方程是 y 2 则12 1，解得 a32. 答案 D 2若抛物线 2px(p0)的焦点在圆 2x 3 0 上，则 p ( ) B 1 C 2 D 3 解析抛物线 2px(p0)的焦点为 (0)在圆 2x 3 0 上， p 3 0，解得 p 2 或 p 6(舍去 ) 答案 C 3已知抛物线 C： 4x 的焦点为 F，直线 y 2x 4 与 C 交于 A， B 两点，则 ( ) C 35 D 45 解析由 42x 4，得 5x 4 0， x 1或 x (4,4)， B(1， 2)，则 | 5， | 2， (3,4)(0， 2) 8， | 85 2 . 答案 D 4已知双曲线 1(a0， b0)的离心率为 2： 2py(p0)的焦点到双曲线渐近线的距离为 2，则抛物线方程为 ( ) A 8 33 y B 16 33 y C 8y D 16y 解析 1的离心率为 2， 2，即 4， 2 标为 0， 1的渐近线方程为 y y 32 2， p 2： 16y，选 D. 答案 D 5已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直， l 与 C 交于 A， B 两点， | 12，P 为 C 的准线上一点，则面积为 ( ) A 18 B 24 C 36 D 48 解析如图，设抛物线方程为 2px(p 0) 当 x |y| p， p | 122 6. 又 P 到距离始终为 p， S 12126 36. 答案 C 6已知 P 是抛物线 4x 上一动点，则点 P 到直线 l： 2x y 3 0 和 y 轴的距离之和的最小值是 ( ) A. 3 B. 5 C 2 D. 5 1 解析由题意知，抛物线的焦点为 F(1,0)设点 d，由抛物线的定义可知，点 P到 1，所以点 l 的距离与到 y 轴的距离之和为 d | d |最小值为点 d |最小值为 |2 3|22 12 5，所以 d | 1的最小值为 5 1. 答案 D 二、填空题 7已知动圆过点 (1,0)，且与直线 x 1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 _ 解析设动圆的圆心坐标为 (x， y)，则圆心到点 (1,0)的距离与其到直线 x 1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 4x. 答案 4x 8已知抛物线 4x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 M， N 为抛物线上的一点，且满足 | 32 |则 _. 3 解析过 N 作准线的垂线，垂足是 P，则有 32 32 ， 6 ，即 6. 答案 6 9如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米水位下降 1 米后，水面宽 _米解析如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为 (2， 2)代入 2 p 1，故 (x， 3)，代入 2 x 6，故水面宽为 2 6米答案 2 6 10过抛物线 2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A， B 两点，若 | 2512， |AF|b0)的离心率为33 ，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与 4 直线 y x 2 相切 (1)求 a 与 b； (2)设该椭圆的左、右焦点分别为线与 x 轴垂直，动直线 y 轴垂直，点垂直平分线与交点 M 的轨迹方程，并指明曲线类型解 (1)由 e 1 3 ，得3 . 又由原点到直线 y x 2 的距离等于椭圆短半轴的长，得 b 2，则 a 3. (2)法一由 c 1，得 1,0)， ,0) 设 M(x， y)，则 P(1， y) 由 | |得 (x 1)2 (x 1)2，即 4x，所以所求的 M 的轨迹方程为 4x，该曲线为抛物线法二因为点 M 在线段垂直平分线上，所以 | |即 M 到距离等于 M到距离此轨迹是以 1,0)为焦点， x 1 为准线的抛物线，轨迹方程为 4x. 12已知抛物线 C： 4x，过点 A( 1,0)的直线交抛物线 C 于 P、 Q 两点，设 . (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：直线过抛物线 C 的焦点 F； (2)若 13， 12 ，求 |最大值思维启迪： (1)可利用向量共线证明直线； (2)建立 | 的关系，然后求最值 (1)证明设 P( Q( M( ， 1 (1)， 2442 21 (1)， 1) 1， 1， 1，，又 F(1,0)， (1 (1 ， 1 1，，直线过抛物线 C 的焦点 F. (2)由 (1)知 1，，得 1， 1616，， 4，则 | ( ( 5 2( 1 2 4 1 12 1 2 2 16， 13， 12 ， 1 52， 103 ，当 1 103 ，即 13时， | 有最大值 1129 ， |最大值为 4 73 . 13设抛物线 C： 2py(p 0)的焦点为 F，准线为 l， A 为 C 上一点，已知以 F 为圆心，交 l 于 B， D 两点 (1)若 90，面积为 4 2，求 p 的值及圆 F 的方程； (2)若 A， B， F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m， n 距离的比值解 (1)由已知可得等腰直角三角形， | 2p，圆 F 的半径 | 2p. 由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d | 2p. 因为面积为 4 2，所以 12|d 4 2，即 122 p 2p 4 2，解得 p 2(舍去 )或 p 2. 所以 F(0,1)，圆 F 的方程为 (y 1)2 8. (2)因为 A， B， F 三点在同一直线 m 上，所以圆 F 的直径， 90. 由抛物线定义知 | | 12| 所以 30， m 的斜率为 33 或 33 . 当 m 的斜率为 33 时，由已知可设 n： y 33 x b，代入 2 2 33 20. 由于 n 与 C 只有一个公共点，故 4380，解得 b 因为 m 的纵截距 |b| 3，所以坐标原点到 m， n 距离的比值为 3. 当 m 的斜率为 33 时，由图形对称性可知，坐标原点到 m， n 距离的比值为 3. 综上，坐标原点到 m， n 距离的比值为 3. 6 14如图所示，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1,2)， A( B(x2，在抛物线上 (1)写出该抛物线的方程及其准线方程； (2)当斜率存在且倾斜角互补时，求及直线斜率解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为 2px(p 0) 点 P(1,2)

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