【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库（含解析）（打包74套）新人教A版
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【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库（含解析）（打包74套）新人教A版,步步高,高考,数学,第一轮,知识点,巩固,题库,解析,打包,74,新人
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1 第 8讲 立体几何中的向量方法（二） 一、选择题 1两平行平面 ， 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1)，且两平面的一个法向量 n (1,0,1)，则两平面间的距离是 ( ) B. 22 C. 3 D 3 2 解析 两平面的一个单位法向量 22 ， 0， 22 ，故两平面间的距离 d | 22 . 答案 B 2已知向量 m， n 分别是直线 l 和平面 的方向向量、法向量，若 m， n 12，则l 与 所成的角为 ( ) A 30 B 60 C 120 D 150 解析 设 所成的角为 ，则 |m， n | 12， 30. 答案 A 3长方体 ， 2， 1， E 为 中点，则异面直线 E 所成角的余弦值为 ( ) A. 1010 B. 3010 510 010 解析 建立坐标系如图， 则 A(1,0,0)， E(0,2,1)， B(1,2,0)， ， 2,2) ( 1,0,2)， ( 1,2,1)， | 3010 . 所以异面直线 010 . 答案 B 4已知直二面角 l ，点 A ， l， C 为垂足，点 B ， l， D 为垂足，若2， 1，则 ( ) A 2 B. 3 C. 2 D 1 解析 如图，建立直角坐标系 D已 2 知条件 B(0,0,1)， A(1， t,0)(t 0)， 由 2 解得 t 2. 答案 C 5如图，在四面体 ， 1， 2 3， 3， 2. 2，则二面角 A D 的大小为 ( ) 解析 二面角 A 而 2| ，即 12 1 4 9 2 2 ， 12， 成角为 3，即二面角 A D 的大小为 答案 B 6如图，在直三棱柱 90 ， 21 0 ，则 长为 ( ) A. 2 B. 3 C 2 D. 22 解析 如图，以 C 为坐标原点， x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则 C(0,0,0)， A(1,0,0)， ,2,2)， ,0,2)， D(1,0,1) 设 a，则 D 点坐标为 (1,0， a)， (1,0， a)， 1(0,2,2)， 设平 面 一个法向量为 m (x， y， z) 则 m10m 0 2y 2z 0x 0 ，令 z 1， 3 得 m (a,1， 1)，又平面 一个法向量为 n(0,1,0)， 则由 mn|m|n|，得 12 12，即 a 2， 故 2. 答案 A 二、填空题 7若平面 的一个法向量为 n (4,1,1)，直线 l 的一个方向向量为 a ( 2， 3,3)，则 l 与 所成角的正弦值为 _ 解析 n， a na|n|a| 83 2 22 4 1133 . 又 所成角记为 ，即 |n， a | 4 1133 . 答案 4 1133 . 8若向量 a (1， ， 2)， b (2， 1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 89，则 _. 解析 由已知得 89 ab|a|b| 2 45 2 9， 8 5 2 3(6 )，解得 2 或 255. 答案 2 或 255 9已知点 E、 F 分别在正方体 棱 ，且 22面 面 成的二面角的正切值为 _ 解析 如图，建立直角坐标系 D 1 由已知条件A(1,0,0)， E 1， 1， 13 ， F 0， 1， 23 ， 0， 1， 13 ， 1， 1， 23 ， 设平面 n (x， y， z)， 面 ， 由 n 0，n 0得 y 13z 0， x y 23z 0.令 y 1， z 3， x 1，则 n ( 1,1， 3) 平面 m (0,0， 1) 4 n， m 3 1111 ， 23 . 答案 23 10在三棱锥 O ，三条棱 两垂直，且 M 是 的中点，则 平面 成角的正切值是 _ 解析 如图所示建立空间直角坐标系，设 ，则 A(1,0,0)， B(0， 1,0)， C(0,0,1)， M 12， 12， 0 ，故 ( 1,1,0)， ( 1,0,1)， 12， 12， 0 . 设平面 n (x， y， z)， 则由 n ，n 得 x y 0， x z 0， 令 x 1，得 n (1,1,1)故 n， 13 22 63 ， 所以 3 ，其正切值为 2. 答案 2 三、解答题 11如图，四面体 ， 两垂直， 4， E、 F 分别为棱 中点 (1)求异面直线 成角的余弦值； (2)求 E 到平面 距离； (3)求 平面 成角的正弦值 解 如图，分别以直线 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为 A(0,0,4)、 C(4,0， 0)、D(0,4， 0)， E(2,0,0)、 F(0， 2,2) (1) (0,0， 4)， ( 2,2,2)， | | 84 2 3 33 ， 5 异面直线 成角的余弦值为 33 . (2)设平面 一个法向量为 n (x， y,1)， 则 n 0，n 0， (4,0， 4)， ( 4,4,0)， 4x 4 0， 4x 4y 0， x y 1， n (1,1,1， ) F 平面 ( 2,2,2)， E 到平面 距离为 d |n|n| 232 33 . (3)平面 成角的正弦值为 |n， | 23 2 3 13 12如图，在底面为直角梯形的四棱锥 P ， 90， 平面3， 2， 2 3， 6. (1)求证： 平面 (2)求二面角 P A 的大小 (1)证明 如图，建立空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)， B(2 3， 0,0)， C(2 3， 6,0)， D(0,2,0)， P(0,0,3)， (0,0,3)， (2 3， 6,0)， ( 2 3， 2,0) 0， 0. 又 A， 面 (2)解 设平面 法向量为 m (0,0,1)， 设平面 法向量为 n (x， y， z)， 则 n 0， n 0. ( 2 3， 0,3)， 6 2 3x 2y 0， 2 3x 3z 0 解得 y 3x，z 2 33 x.令 x 3，则 n ( 3， 3,2)， m， n mn|m|n| 12. 二面角 P A 的大小为 60. 13如图，直三棱柱 ， 12D 是棱 中点， (1)证明： (2)求二面角 大小 (1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于 D 为 故 又 12得 以 而 D，所以 平面 因为 平面 以 (2)解 由 (1)知 平面以 两相互 垂直以 C 为坐标原点， 方向为 x 轴的正方向， |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 C1(1,0,2)， B(0,1,0)， D(1,0,1)， ,0,2) 则 (0,0， 1)， (1， 1,1)， ( 1,0,1) 设 n (x， y， z)是平面 法向量，则 n 0，n 0，即 x y z 0，z 0， 可取 n (1,1,0) 同理，设 m (x， y， z)是平面 法向量，则 m 0，m 0，即 x y z 0， x z 0， 可取 m (1,2,1) 从而 n， m nm|n|m| 32 . 故二面角 大小为 30. 7 14如图，已知 平面 平面 等边三角形， 2F 为 (1)求证： 平面 (2)求证：平面 平面 (3)求直线 平面 成角的正弦值 解 方法一： (1)证法一：取 中点 G，连接 F 为 中点， 12 平面 平面 又 12 E 2 四边形 平行四边形，则 面 平面 平面 证法二：取 中点 M，连接 F 为 中点， 平 面 平面 又 12 四边形 平行四边形，则 面 平面 平面 平面 又 M， 平面 平面 平面 平面 8 (2)证明： 等边三角形， F 为 中点， 平面 平面 又 D，故 平面 平面 平面 平面 平面 (3)在平面 ，过 F 作 H，连接 平面 平面 平面 平面 成的角 设 22a，则 22 a， 3a 2 2a， 在 ， 24 . 直线 平面 成角的正弦值为 24 . 方法二： 设 22a，建立如图所示的坐标系 A A(0,0,0)， C(2a,0,0)， B(0,0，a)， D(a， 3a,0)， E(a， 3a,2a) F 为 中点， F 32a， 32 a， 0 . (1)证明： 32a， 32 a， 0 ， (a， 3a， a)， (2a,0， a)， 12( )， 面 平面 (2)证明： 32a， 32 a， 0 ， (
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