内容简介：: 1 选修 4不等式选讲一、填空题 1 不等式 x 2x x 2x 的解集是 _ 解析由绝对值的意义知，原不等式同解于 x 2x 0，即 x(x 2) 0， 0 x 2. 答案 (0， 2) 2 设集合 A x| |x a| 1， x R， B x|x b| 2， x R若 A B，则实数 a，解析由 |x a| 1 得 a 1 x a 1. 由 |x b| 2 得 x b 2 或 x b 2. A B， a 1 b 2 或 a 1 b 2，即 a b 3 或 a b 3， |a b| 3. 答案 |a b| 3 3对于 x R，不等式 |x 10| |x 2| 8的解集为 _ 解析法一 (零点分段法 )由题意可知， x 10， x 10 x 2 8 或 10 x 2，x 10 x 2 8 或 x 2，x 10 x 2 8，解得 x 0，故原不等式的解集为 x|x 0 法二 (几何意义法 )如图，在数轴上令点 A、 10， 2，在坐标设为 x，则 | |x 10|， | |x 2|，观察数轴可知，要使 | | 8，则只需 x x|x 0 答案 x|x 0 4若不等式 |x 1| |x 2| x _ 解析由于 |x 1| |x 2| |(x 1) (x 2)| a 3 即可答案 ( ， 3 5 若 y 2，则 x _ 解析 2， y 1 x y x 112 33 14323 2. 答案 323 2 6 设不等式 x y a x x 0， y 0恒成立，求实数 _ 解析原题即 a x y 对一切 x 0， y 0 恒成立设 A x y ， x y 2 y 1 2 y 2，当 x A 0， 0 A 有最大值 2. 当 a 2时， x y a x x 0， y 0 成立 . 答案 2 7若对任意 x 0， 3x 1 _ 解析 a 3x 1 1x 1x 3对任意 x 0 恒成立，设 u x 1x 3，只需 a 1 x 0， u 5(当且仅当 x 1 时取等号 ) 由 u 5，知 0 1u 15， a 15. 答案 15， 8已知 h 0， a， b R，命题甲： |a b| 2h：命题乙： |a 1| b 1| h，则甲是乙的_条件解析 |a b| |a 1 1 b| |a 1| |b 1| 2h，故由乙能推出甲成立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件答案必要不充分二、解答题 9已知函数 f(x) m |x 2|， m R，且 f(x 2) 0的解集为 1,1 (1)求 3 (2)若 a， b， c R ，且 1a 12b 13c m，求证： a 2b 3c 9. 解 (1)因为 f(x 2) m |x|，所以 f(x 2) 0等价于 |x| m，由 |x| m 0，且其解集为 x| m x m 又 f(x 2) 0的解集为 1,1，故 m 1. (2)由 (1)知 1a 12b 13c 1，又 a， b， c R ，由柯西不等式得 a 2b 3c (a 2b 3c) 1a 12b 13c a1a 2b 12b 3c 13c 2 9. 10 已知 a， b，明： 1a 1b 16 3，并确定 a， b，号成立证明法一：因为 a， b，均值不等式得 3(3， 1a1b1c 3(13，所以 1a 1b 19( 23. 故 1a 1b 13(3 9( 23. 又 3(3 9( 23 2 27 6 3，所以原不等式成立当且仅当 a b c 时，和式等号成立当且仅当 3(3 9( 23时，式等号成立即当且仅当 a b c 314时，原式等号成立法二：因为 a， b，基本不等式得 2 2 2所以 4 同理 111111 故 1a 1b 13 13 13 16 3. 所以原不等式成立当且仅当 a b 式和式等号成立，当且仅当 a b c， ( ( ( 3时，式等号成立即当且仅当 a b c 314时，原式等号成立 1 选修 4矩阵与变换 1 已知矩阵 A 1 2 2 3 ， B 2 31 2 ， C 0 11 0 ，求满足 C 的矩阵 X. 解 C，所以 (A 1A) 1 A 11 而 A 1B 1 1 X(1) X，所以 X A 11 因为 A 1 3 22 1 ， B 1 2 3 1 2 ，所以 X A 11 3 22 1 0 11 0 2 3 1 2 2 31 2 2 3 1 2 1 00 1 . 2 设圆 F： 1 在 (x， y) (x， y) (x 2y， y)对应的变换下变换成另一图形 F，试求变换矩阵 M 及图形 F的方程解 xy x 2 1 20 1 M 1 20 1 . 圆上任意一点 (x， y)变换为 (x， y) (x 2y， y)， x x 2 y ，即x x 2yy y . 1， (x 2y)2 (y)2 1. 即 F的方程为 (x 2y)2 1. (1)求实数 a、 b、 c、 d 的值； 2 (2)求直线 y 3x 在矩阵解 (1)由题设得：c 0 2，2 0，0 2，2b d a 1，b 1，c 2，d 2.(2) 矩阵或点 )，可取直线 y 3x 上的两点 (0， 0)， (1， 3)，得点 (0， 0)， (1， 3)在矩阵 0， 0)， ( 2， 2) 从而，直线 y 3x 在矩阵 y x. 4 已知二阶矩阵 A a bc d ，矩阵 A 属于特征值 1 1 的一个特征向量为 1 1 ，属于特征值 2 4 的一个特征向量为 32 ，求矩阵 A. 解由特征值、特征向量定义可知， 1 即 a bc d 1 1 1 1 1 ，得 a b 1，c d 1. 同理可得3a 2b 12，3c 2d 8. 解得 a 2， b 3， c 2， d 1. 因此矩阵 A 2 32 1 . 5 设矩阵 M a 00 b (其中 a0， b0) (1)若 a 2， b 3，求矩阵 1； (2)若曲线 C： 1 在矩阵： 1，求 a、b 的值解 (1)设矩阵 1 x1 则 1 1 00 1 . 又 M 2 00 3 . 2 00 3 x1 1 00 1 . 21， 20， 30， 31， 3 即 12， 0， 0， 13，故所求的逆矩阵 M 112 00 13. (2)设曲线 C 上任意一点 P(x， y)，它在矩阵 (x， y )，则 a 00 b xy ，即 x，y，又点 P(x， y )在曲线 C上， x24 y2 1.则 1 为曲线 C 的方程又已知曲线 C 的方程为 1，故4，1. 又 a0， b0， a 2，b 1. 6 给定矩阵 M23 13 13 23， N 2 11 2 ，向量 1 1 . (1)求证： M 和 N 互为逆矩阵； (2)求证：向量同时是 M 和 N 的特征向量； (3)指出矩阵 M 和 N 的一个公共特征值解 (1)证明：因 23 13 13 232 11 2 1 00 1 ，且 2 11 223 13 13 23 1 00 1 ，所以 M 和 N 互为逆矩阵 (2)证明：因为 23 13 13 23 1 1 1 1 ，所以是 N 的特征向量 4 因为 2 11 2 1 1 1 1 ，所以是 N 的特征向量 (3)由 (2)知， M 对应于特征向量 1 1 的特征值为 1， N 对应于特征向量 1 1 的特征值也为 1，故 1 是矩阵 M 和 N 的一个公共特征值 5 1 第七章不等式第 1讲不等关系与不等式一、选择题 .6,a 4.2,b 4.6,c 则 ( ) B. a c b C. D. c a b 解析因为 1a , , 且大于 0,故排除 C,D;又因为 , 为底的对数 ,真数大 ,函数值也大 ,所以 ,故选 B. 答案 B 2设 00a， 0ab， a0b， ab0，能推出 1可得 1 B c(b a)0 C b 0时答案 C 5若 a 0， b 0，则不等式 b 1x a 等价于 ( ) A 1b x 0 或 0 x 1a B 1a x 1b 2 C x 1a或 x 1b D x 1b或 x 1a 解析由题意知 a 0， b 0， x0 ， (1)当 x 0 时， b 1x ax 1a； (2)当 x 0 时， b 1x ax 1b. 综上所述，不等式 b 1x ax 1b或 x 1a. 答案 D 6若 a、 b 均为不等于零的实数，给出下列两个条件条件甲：对于区间 1,0上的一切 b0 恒成立；条件乙： 2b a0，则甲是乙的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件解析当 x 1,0时，恒有 b0成立，当 a0时， b b a0，当 b a0， b0， 2b a0，甲乙，乙推不出甲，例如： a 32b， b0时，则 2b a 12b0，但是，当 x 1时， a( 1) b 32b b 12答案现给出三个不等式： 12a； a b 32 ； 7 10 3 _个解析因为 2a 1 (a 1)2 0，所以不恒成立；对于， 2a 2b 3 (a 1)2 (b 1)2 10，所以恒成立；对于，因为 ( 7 10)2 ( 3 14)2 2 702 420，且 7 100， 3 140，所以 7 10 3 14，即恒成立 3 答案 2 9已知 1 x y4 ，且 2 x y3 ，则 z 2x 3y 的取值范围是 _(用区间表示 ) 解析 z 12(x y) 52(x y)， 3 12(x y) 52(x y)8 ， z 3,8 答案 3,8 10给出下列四个命题：若 ab0，则 1a1b；若 ab0，则 a 1ab 1b；若 ab0，则 2a 2b 设 a， b 是互不相等的正数，则 |a b| 1a b 2. 其中正确命题的序号是 _(把你认为正确命题的序号都填上 ) 解析作差可得 1a 1b b 而 ab0，则 b b0，则 1a 1b，所以可得 a 1ab 1 2a 2b b2a b aa 2ba 2bb a2a 2bb b ab aa 2bb 0，错误当 a b0时此式不成立，错误答案三、解答题 11已知 a R，试比较 11 a 的大小解析 11 a (1 a) a. 当 a 0 时， a 0， 11 a 1 a. 当 a 1 且 a0 时， a 0， 11 a 1 a. 当 a 1 时， a 0， 11 a 1 a. 综上所述，当 a 0 时， 11 a 1 a； 4 当 a 1 且 a0 时， 11 a 1 a；当 a 1 时， 11 a 1 a. 12已知 f(x) c 且 4 f(1) 1， 1 f(2) 5，求 f(3)的取值范围解由题意，得 a c f1，4a c f2，解得 a 13f2 f1，c 43f1 13f2f(3) 9a c 53f(1) 83f(2) 因为 4 f(1) 1，所以 53 53f(1) 203 ，因为 1 f(2) 5，所以 83 83f(2) 403 . 两式相加，得 1 f(3) 20，故 f(3)的取值范围是 1,20 13 (1)设 x 1， y 1，证明 x y 11x 1y (2)设 1 a b c，证明证明 (1)由于 x 1， y 1，所以 x y 11x 1y xy(x y) 1 y x (. 将上式中的右式减左式，得 y x ( xy(x y) 1 ( 1 xy(x y) (x y) (1)(1) (x y)(1) (1)(x y 1) (1)(x 1)(y 1) 既然 x 1， y 1，所以 (1)(x 1)(y 1) 0，从而所要证明的不等式成立 (2)设 x， y，由对数的换底公式得 11x， 1y，于是，所要证明的不等式即为 x y 11x 1y 中 x 1， y 1)可知所要证明的不等式成立 14已知 f(x)是定义在 ( ， 4上的减函数，是否存在实数 m，使得 f(m x) f 1 2m 74 定义域内的一切实数 x 均成立？若存在，求出实数 m 的取值范围； 5 若不存在，请说明理由思维启迪：不等式和函数的结合，往往要利用函数的单调性和函数的值域解假设实数 m 存在，依题意，可得 m x 4，m x 1 2m 74 即 m 4 x，m 1 2m 12 x 12 2. 因为 x 的最小值为 1，且 (x 12)2 的最大值为 0，要满足题意，必须有 m 4 1，m 1 2m 12 0，解得 m 12或 32 m 3. 所以实数 m 的取值范围是 32， 3 12 . 探究提高不等式恒成立问题一般要利用函数的值域， m f(x)恒成立，只需 m f(x) 1 第四章三角函数、解三角形第 1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数一、选择题 1 的值 ( ) A小于 0 B大于 0 C等于 0 D不存在解析 0， 0， 0， 0. 答案 A 2已知点 P( 落在角的终边上，且 0,2) ，则是第 _象限角 ( ) A一 B二 C三 D四解析因 P 点坐标为 ( 22 ， 22 )， P 在第三象限答案 C 3若一扇形的圆心角为 72，半径为 20 扇形的面积为 ( ) A 40 B 80 C 40 D 80析 72 25， S 扇形 1212 25 202 80( 答案 B 4给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；若，则与的终边相同；若 0， 1. 若 2 ，则 1. 由已知 00. 13一个扇形面积是 1 的周长是 4 圆心角的弧度数和弦长解设圆的半径为 r 长为 l 则 121，l 2r 4，解得 r 1，l 2. 圆心角 2. 如图，过 O 作 H，则 1 1 ( 2 ( 14 如图所示， A， B 是单位圆 O 上的点，且 B 在第二象限， x 轴正半轴的交点， A 点的坐标为 35， 45 ，正三角形 (1)求 (2)求解 (1)根据三角函数定义可知 45. (2) 正三角形， 60，又 45， 35， 60) 0 0 3512 45 32 3 4 310 . 1 函数与基本初等函数 I 第 1讲函数及其表示一、选择题 1下列函数中，与函数 y 13 ( ) A y 1x B y ln C y D y 解析函数 y 13 x|x 0， x R与函数 y 定义域相同，故选 D. 答案 D 2若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为 “ 同族函数 ” ，则函数解析式为 y 1，值域为 1,3的同族函数有 ( ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个解析由 1 1，得 x 0.由 1 3，得 x 2，所以函数的定义域可以是 0， 2，0， 2， 0， 2， 2，故值域为 1,3的同族函数共有 3个答案 C 3若函数 y f(x)的定义域为 M x| 2 x2 ，值域为 N y|0 y2 ，则函数 y f(x)的图象可能是 ( ) 解析根据函数的定义，观察得出选项 B. 答案 B 4已知函数 f(x) |lg x|， 010. 若 a， b， c 互不相等，且 f(a) f(b) f(c)，则取值范围是 ( ) A (1,10) B (5,6) C (10,12) D (20,24) 2 解析 a， b， c 互不相等，不妨设小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了 20 分钟，在乙地休息 10分钟后，他又匀速从乙地返回甲地用了 30 分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程 x 的函数的图象为（）解析注意本题中选择项的横坐标为小王从出发到返回原地所用的时间，纵坐标是经过的路程，故选 D. 答案 D 二、填空题 7已知函数 f(x)， g(x)分别由下表给出， x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则 fg(1)的值为 _，满足 fg(x)gf(x)的 x 的值是 _ 解析 g(1) 3， fg(1) f(3) 1，由表格可以发现 g(2) 2， f(2) 3， f(g(2) 3，g(f(2) 1. 答案 1 2 8已知函数 f(x) 1， x 0，1， x)的 x 的取值范围是 _ 解析由题意有 1 ，2x 0 解得 11 时，函数 g(x)是 1,3上的减函数，此时 g(x)g(3) 2 3a， g(x)g(1) 1 a，所以 h(a) 2a 1；当 0 a 1 时，若 x 1,2，则 g(x) 1 g(2) g(x) g(1)；若 x (2,3，则 g(x) (1 a)x 1，有 g(2)1.(2)画出 y h(x)的图象，如图所示，数形结合可得 h(x)h 12 12. 12求下列函数的定义域： (1)f(x) 3 ； (2)y 25 lg x； (3)y lg(x 1) lg x 1x 1 19 x. 解 (1) 4 x 0x 30 ， x 4且 x3 ，故该函数的定义域为 ( ， 3) (3,4) (2) 25 ，x 0，即 5 x5 ，2 2 x 2 2， k Z， 6 故所求定义域为 5， 32 2， 2 32 ， 5 . (3) x 1 0，x 1x 1 0，9 x 0，即 x 1，x 1，x 9或 x 1，解得 1 x 9. 故该函数的定义域为 (1,9) 13. 设 x 0时， f(x)=2;x 0时， f(x)=1，又规定： g(x)= 3 f x 1 f x 22 (x 0)，试写出 y=g(x)的解析式，并画出其图象 . 解当 0 x 1时， 0,0, g(x)= 312=1. 当 1 x 2时， 0， 0, g(x)= 6 1 522 ; 当 x 2时， 0， 0, g(x)= 622=2. 故 g(x)=1 ( 0 x 1 )5 (1 x 2 ) ,22 ( x 2 ) 其图象如图所示 . 14二次函数 f(x)满足 f(x 1) f(x) 2x，且 f(0) 1. (1)求 f(x)的解析式； (2)在区间 1,1上，函数 y f(x)的图象恒在直线 y 2x m 的上方，试确定实数 m 的取值范围解 (1)由 f(0) 1，可设 f(x) 1(a 0)，故 f(x 1) f(x) a(x 1)2 b(x 1) 1 (1) 2a b，由题意，得 2a 2，a b 0，解得 a 1，b 1， 7 故 f(x) x 1. (2)由题意，得 x 12x m，即 3x 1m，对 x 1,1恒成立令 g(x) 3x 1，则问题可转化为 g(x)m，又因为 g(x)在 1,1上递减，所以 g(x)g(1) 1，故 m 1. 1 第十章计数原理第 1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题 1如图，用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形 A， B， C， D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有 ( ) A B C D A 72 种 B 48 种 C 24 种 D 12 种解析先分两类：一是四种颜色都用，这时 A 有 4 种涂法， B 有 3 种涂法， C 有 2 种涂法， D 有 1 种涂法，共有 4321 24 种涂法；二是用三种颜色，这时 A， B， C 的涂法有432 24 种， D 只要不与 C 同色即可，故 D 有 2 种涂法故不同的涂法共有 24 242 72 种答案 A 2如图，用 6 种不同的颜色把图中 A、 B、 C、 D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有 ( ) A 400 种 B 460 种 C 480 种 D 496 种解析从 A 开始，有 6 种方法， B 有 5 种， C 有 4 种， D、 A 同色 1 种， D、 A 不同色 3 种，不同涂法有 654(1 3) 480(种 )，故选 C. 答案 C 3某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展，某校高一新生中的五名同学打算参加 “ 春晖文学社 ” 、 “ 舞者轮滑俱乐部 ” 、 “ 篮球之家 ” 、 “ 围棋苑 ” 四个社团若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团且同学甲不参加 “ 围棋苑 ” ，则不同的参加方法的种数为 ( ) A 72 B 108 C 180 D 216 解析设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加 “ 围棋苑 ” ，有下列两种情况： (1)从乙、丙、丁、戊中选一人 (如乙 )参加 “ 围棋苑 ” ，有后从甲与丙、丁、 2 戊共 4人中选 2人 (如丙、丁 )并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有故共有 (2)从乙、丙、丁、戊中选 2人 (如乙、丙 )参加 “ 围棋苑 ” ，有与丁、戊分配到其他三个社团中有时共有综合 (1)(2)，共有 180种参加方法答案 C 4有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有 ( ) A 8 种 B 9 种 C 10 种 D 11 种解析分四步完成，共有 3311 9 种答案 B 5从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 ( ) A 300 种 B 240 种 C 144 种 D 96 种解析甲、乙两人不去巴黎游览情况较多，采用排除法，符合条件的选择方案有 12240. 答案 B 6 4 位同学从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门，则恰有 2 人选修课程甲的不同选法有 ( ) A 12 种 B 24 种 C 30 种 D 36 种解析分三步，第一步先从 4 位同学中选 2 人选修课程甲共有二步给第 3 位同学选课程，有 2 种选法第三步给第 4 位同学选课程，也有 2 种不同选法故共有 2 24(种 ) 答案 B 二、填空题 7将数字 1,2,3,4,5,6 按第一行 1 个数，第二行 2 个数，第三行 3 个数的形式随机排列，设 Ni(i 1,2,3)表示第 i 行中最大的数，则满足所有排列的个数是_ (用数字作答 ) 解析由已知数字 6 一定在第三行，第三行的排法种数为 60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为 4，由分步计数原理满足条件的排列个数是 240. 答案 240 8数字 1,2,3，， 9 这九个数字填写在如图的 9 个空格中，要求每一 3 行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字 4 固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有 _种解析必有 1、 4、 9在主对角线上， 2、 3只有两种不同的填法，对于它们的每一种填法，5只有两种填法对于 5的每一种填法， 6、 7、 8只有 3种不同的填法，由分步计数原理知共有 22 3 12种填法答案 12 9如果把个位数是 1，且恰有 3 个数字相同的四位数叫做 “ 好数 ” ，那么在由 1,2,3,4 四个数字组成的有重复数字的四位数中， “ 好数 ” 共有 _个解析当相同的数字不是 1时，有相同的数字是 1时，共有分类加法计数原理得共有 “ 好数 ” 12个答案 12 10 给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色当 n4 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当 n 6 时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 _种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 _种 (结果用数值表示 ) 答案 21； 43 三、解答题 11如图所示三组平行线分别有 m、 n、 k 条，在此图形中 (1)共有多少个三角形？ (2)共有多少个平行四边形？解 (1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一 4 对应的，由分步计数原理知共可构成 mnk 个三角形 (2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成 12设集合 M 3， 2， 1,0,1,2， P(a， b)是坐标平面上的点， a， b M. (1)P 可以表示多少个平面上的不同的点？ (2)P 可以表示多少个第二象限内的点？ (3)P 可以表示多少个不在直线 y x 上的点？解 (1)分两步，第一步确定横坐标有 6 种，第二步确定纵坐标有 6 种，经检验 36 个点均不相同，由分步乘法计数原理得 N 6 6 36(个 ) (2)分两步，第一步确定横坐标有 3 种，第二步确定纵坐标有 2 种，根据分步乘法计数原理得 N 3 2 6 个 (3)分两步，第一步确定横坐标有 6 种，第二步确定纵坐标有 5 种，根据分步乘法计数原理得 N 6 5 30 个 13现安排一份 5 天的工作值班表，每天有一个人值班，共有 5 个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？解可将星期一、二、三、四、五分给 5 个人，相邻的数字不分给同一个人星期一：可分给 5 人中的任何一人，有 5 种分法；星期二：可分给剩余 4 人中的任何一人，有 4 种分法；星期三：可分给除去分到星期二的剩余 4 人中的任何一人，有 4 种分法；同理星期四和星期五都有 4 种不同的分法，由分步计数原理共有 54444 1 280种不同的排法 14已知集合 A B 0,1,2,3， f 是从 A 到 B 的映射 (1)若 B 中每一元素都有原象，这样不同的 f 有多少个？ (2)若 B 中的元素 0 必无原象，这样的 f 有多少个？ (3)若 f 满足 f( f( f( f( 4，这样的 f 又有多少个？解 (1)显然对应是一一对应的，即为种方法，种方法，种方法，种方法，所以不同的 f 共有 4321 24(个 ) (2)0 必无原象， 1,2,3 有无原象不限，所以为 A 中每一元素找象时都有 3 种方法所以不同的 f 共有 34 81(个 ) (3)分为如下四类：第一类， A 中每一元素都与 1 对应，有 1 种方法；第二类， A 中有两个元素对应 1，一个元素对应 2，另一个元素与 0 对应，有 12 12种方法； 5 第三类， A 中有两个元素对应 2，另两个元素对应 0，有 22 6 种方法；第四类， A 中有一个元素对应 1，一个元素对应 3，另两个元素与 0 对应，有 13 12种方法所以不同的 f 共有 1 12 6 12 31(个 ) 1 第三章导数及其应用第 1讲变化率与导数、导数的运算一、选择题 1设函数 f(x)是 R 上以 5 为周期的可导偶函数，则曲线 y f(x)在 x 5 处的切线的斜率为( ) A 15 B 0 D 5 解析因为 f(x)是 R 上的可导偶函数，所以 f(x)的图象关于 y 轴对称，所以 f(x)在 x 0 处取得极值，即 f(0) 0，又 f(x)的周期为 5，所以 f(5) 0，即曲线 y f(x)在 x 5 处的切线的斜率为 0，选 B. 答案 B 2函数 f(x)是定义在 (0， )上的可导函数，且满足 f(x)0， (x) f(x)b，则必有 ( ) A af(b)0)， F (x) x fx由条件知 F (x)b0， faa 0)，则 f(2)的最小值为 ( ) A 123 2 B 12 8a 1a C 8 8a 2a D 16 解析 f(2) 8 8a 2a，令 g(a) 8 8a 2a，则 g (a) 8 2 g (a)0 得 a12，由g (a)0m 14；又对任意的 x f(x) g(x)0， 2 m0，故 00，则 f(x) g(x) mxx(x x 0 ；又 f( g( 0，所以函数在 x 的最大值为 0，于是当， 2 x 11 x 1 1 x 2，故 x 11.记 h(x) f(x) 96，则 h (x) 1x 1 12 x 1 54x 62 2 x 12x 1 54x 62 x 64x 1 54x 62 x 63 216x 14x 1x 62 . 令 g(x) (x 6)3 216(x 1)，则当 0x2 时， g (x) 3(x 6)2 2160. 因此 g(x)在 (0,2)内是递减函数，又由 g(0) 0，得 g(x)0，所以 h (x)0. 因此 h(x)在 (0,2)内是递减函数，又 h(0) 0，得 h(x)0. 于是当 0x2 时， f(x) 96. 1 第十二章推理证明、算法、复数第 1讲合情推理与演绎推理一、选择题 1如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是 ( ) 解析该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是 A. 答案 A 2推理 “ 矩形是平行四边形；三角形不是平行四边形；三角形不是矩形 ” 中的小前提是 ( ) A B C D 和解析由演绎推理三段论可知，是大前提；是小前提；是结论答案 B 3给出下面类比推理命题 (其中 Q 为有理数， R 为实数集， C 为复数集 )： “ 若 a， b R，则 a b 0 a b” 类比推出 “ a， c C，则 a c 0 a c” ； “ 若 a， b， c， d R，则复数 a c a c， b d” 类比推出 “ a， b， c， d Q，则 a b 2 c d 2 a c， b d” ； “ 若 a， b R，则 a b0 ab” 类比推出 “ 若 a， b C，则 a b0 ab” ； “ 若 x R，则 |x|1 1x1” 类比推出 “ 若 z C，则 |z|1 1z1” 其中类比结论正确的个数有 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析类比结论正确的只有 . 答案 B 4观察下列各式： 55 3 125,56 15 625,57 78 125，，则 52 011 的末四位数字为 ( ) A 3 125 B 5 625 C 0 625 D 8 125 2 解析 55 3 125,56 15 625,57 78 125,58 390 625， 59 1 953 125,510 9 765 625， 5n(n Z，且 n 5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为 4，记 5n(n Z，且 n 5)的末四位数字为 f(n)，则 f(2 011) f(501 4 7) f(7) 52 011与 57的末四位数字相同，均为 8 . 答案 D 5为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为 0,1(i 0,1,2)，信息为中运算规则为： 0 0 0， 0 1 1,1 0 1,1 1 11，则传输信息为 01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是 ( ) A 11010 B 01100 C 10111 D 00011 解析对于选项 C，传输信息是 10111，对应的原信息是 011，由题目中运算规则知 0 1 1，而 1 1 0，故传输信息应是 10110. 答案 C 6古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图 1 中的 1,3,6,10，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1,4,9,16，，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( ) A 289 B 1 024 C 1 225 D 1 378 解析观察三角形数： 1,3,6,10，，记该数列为则 1， 2， 3，，1 n. ( 1) (1 2 3 n) 1 2 3 n nn 12 ，观察正方形数： 1,4,9,16，，记该数列为则别代入上述两个通项公式，可知使得 225. 答案 C 3 二、填空题 7在，若 C 90 ， b， a，则接圆半径 r 运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a， b， c，则其外接球的半径 R_. 解析 (构造法 )通过类比可得 R 证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a， b， c 的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是这个长方体的外接球的半径是这也是所求的三棱锥的外接球的半径答案 8用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第 100个图形中有白色地砖 _块；现将一粒豆子随机撒在第 100 个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是 _ 解析按拼图的规律，第 1 个图有白色地砖 3 3 1(块 )，第 2 个图有白色地砖 3 52(块 )，第 3个图有白色地砖 3 7 3(块 )，，则第 100 个图中有白色地砖 3 201 100 503(块 )第 100 个图中黑白地砖共有 603 块，则将一粒豆子随机撒在第 100 个图中，豆子落在白色地砖上的概率是 503603. 答案 503 503603 9对一个边长为 1 的正方形进行如下操作；第一步，将它分割成 3 3 方格，接着用中心和四个角的 5 个小正方形，构成如图 1 所示的几何图形，其面积 59；第二步，将图 1 的5 个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图 2；依此类推，到第n 步，所得图形的面积 59 的正方体中，则到第得几何体的体积 _. 4 解析对一个棱长为 1的正方体进行如下操作：第一步，将它分割成 3 3 3个小正方体，接着用中心和 8个角的 9个小正方体，构成新 1几何体，其体积 927 13；第二步，将新 1几何体的 9个小正方体中的每个小正方体都进行与第一步相同的操作，得到新 2几何体，其体积 13 2；，依此类推，到第得新 n 13 n. 答案 13 n 10设 N 2n(n N*， n 2)，将 N 个数，次放入编号为 1,2，， N 的 N 个位置，得到排列按原顺序依次放入对应的前 2个位置，得到排列 1此操作称为 C 变换将成两段，每段对每段作 C 变换，得到 2 i n 2 时，将成 2i 段，每段对每段作 C 变换，得到 N 8 时， P2时于

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