2014届高考数学一轮必备考情分析学案（打包68套）
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高考
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68
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2014届高考数学一轮必备考情分析学案（打包68套）,高考,数学,一轮,备考,情分,情份,析学案,打包,68
- 内容简介：
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1 体几何中的向量方法 (二 ) 考情分析 考查用向量方法求异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角的大小 基础知识 1空间的角 (1)异面直线所成的角 如图，已知两条异面直线 a、 b，经过空间任一点 O 作直线 a a， b a 与 b所成的锐角 (或直角 )叫做异面直线 a 与 b 所成的角 (或夹角 ) (2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角； 直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是 0 的角 (3)二面角的平面角 如图在二面角 l 的棱上任取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱 l 的射线 做二面角的平面角 2空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线 满足 |m1，|. (2)设直线 l 的方向向量和平面 的法向量分别为 m， n，则直线 l 与平面 的夹角 满足 |m， n |. (3)求二面角的大小 ( )如图 ， 二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 ， 2 ( )如图 ， l 的两个半平面 ， 的法向量，则二面角的大小 满足 注意事项 1.(1)异面直线所成的角的范围是 0， 2 ； (2)直线与平面所成角的范围是 0， 2 ； (3)二面角的范围是 0， 求出两半平面 、 的法向量 根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量 是互补，这是利用 向量求二面角的难点、易错点 题型一 求异面直线所成的角 【例 1】已知 1 的正四棱柱，高 2，求 (1)异面直线 解 (1)如图建立空间直角坐标系 A1已知条件： B(1,0,2)， D(0,1,2)， A(0,0,2)， ,0,0) 则 ( 1,1,0)， (1,0， 2) 设异面直线 ， |， | 1010 . (2)423. 【 变式 1】已知正方体 1E 为 异面直线 成角的余弦值为 _ 3 解 析 如图建立直角坐标系 D 1，由已知条件 A(1,0,0)， E 0， 12， 1 ， B(1,1,0)， C(0,1,0)， 1， 12， 1 ， ( 1,0,0) 设异面直线 成角为 . |， | | | 23. 答案 23 题型 二 利用向量求直线与平面所成的角 【例 2】如图所示，已知点 P 在正方体 B C D 的对角线 上， 60. (1)求 所成角的大小； (2)求 平面 D D 所 成角的大小 解 如图所示，以 D 为原点， 单 位长度建立空间直角坐标系 D则 (1,0,0)， (0,0,1) 连接 B D. 在平面 D D 中，延长 B D 于 H. 设 (m， m,1)(m0)，由已知 ， 60 ，即 |， ， 可得 2m 21. 解得 m 22 ，所以 22 ， 22 ， 1 . 4 (1)因为 ， 22 0 22 0 111 2 22 ， 所以 ， 45 ，即 所成的角为 45. (2)平面 D D 的一个法向量是 (0,1,0) 因为 ， 22 0 22 1 101 2 12， 所以 ， 60 ， 可得 平面 D D 所成的角为 30. 【 变式 2】已知三棱锥 P， 平面 12N 为 一点，4M， S 分别为 中点 (1)证明： (2)求 平面 成角的大小 解：设 1，以 A 为原点，射线 x， y， z 轴正向建立空间直角坐标系如图 则 P(0,0,1)， C(0,1,0)， B(2,0,0)， M 1， 0， 12 ， N 12， 0， 0 ， S 1， 12， 0 . (1)证明： (1， 1， 12)， 12， 12， 0 ， 因为 12 12 0 0，所以 (2) 12， 1， 0 ， 设 a (x， y， z)为平面 一个法向量，则 a 0 a 0 5 x y 12z 0， 12x y 0，取 x 2，得 a (2,1， 2)因为 |a， | 1123 22 22 ， 所以 平面 成角为 45. 题型 三 利用向量求二面角 【例 3】如图，四棱锥 P，底面 平行四边形， 60 ， 2面 (1)证明： (2)若 二面角 A 的余弦值 (1)证明 因为 60 ， 2余弦定理得 3从而 又 底面 得 D D. 所以 平面 A (2)解 如图，以 D 为坐标原点， 长为单位长，射线 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D A(1,0,0)， B(0， 3， 0)， C( 1， 3， 0)， P(0,0,1) ( 1， 3， 0)， (0， 3， 1)， ( 1,0,0) 设平面 法向量为 n (x， y， z)，则 n 0，n x 3y 0，3y z n ( 3， 1， 3) 6 设平面 法向量为 m， 则 m 0，m m (0， 1， 3)，则 m， n 42 7 2 77 . 故二面角 A 的余弦值为 2 77 . 【 变式 3】 如图，在四棱锥 P，底面 矩形， 平面 2， 2 2， E， F 分别是 中点 (1)证明： 平面 (2)求平面 平面 角的大小 (1)证明 如图，以 A 为坐标原点， 在直线分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系 2， 2 2，四边形 矩形， A， B， C， D， P 的坐标为 A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(2,2 2， 0)， D(0,2 2， 0)， P(0,0,2) 又 E， F 分别是 中点， E(0， 2， 0)， F(1， 2， 1) (2,2 2， 2)， ( 1， 2， 1)， (1,0,1) 2 4 2 0， 2 0 2 0. ， F F， 平面 (2)解 由 (1)知平面 一个法向量 (2,2 2， 2)，平面 一个法向量 (0,2 2， 0)， n1n 2 8. 设平面 平面 夹角为 ，则 | |n1n 2| 842 2 22 ， 45. 平面 平面 夹角为 45. 重难点突破 【例 4】如图，四边形 正方形， 平面 12 7 (1)证明：平面 平面 (2)求二面角 Q 的余弦值 解析 (1)略 (2)依题意有 B(1,0,1)， (1,0,0)， ( 1,2， 1) 设 n (x， y， z)是平面 法向量，则 n 0，n x 0， x 2y z 0. 因此可取 n (0， 1， 2) 设 m 是平面 法向量，则 m 0，m m (1,1, 1)，所以 m， n 155 . 故二面角 余弦值为 155 . 巩固提高 知 1， D 在棱 1，则 平 面 成的角的正弦值为 ( ) A. 64 B. 64 C. 104 D. 104 答案： A 解析：取 点 E，连接 如图，建立空间直角坐标系 8 则 A( 32 ， 12， 0)， D(0,0,1)， 则 ( 32 ， 12， 1) 平面 平面 平面 ( 32 ， 0,0)为平面 一个法向量， ， 64 ， 设 平面 成的角为 ， | ， | 64 ，故选 A. 1， 90 ，点 1 ) A. 3010 B. 12 C. 3015 D. 1510 答案： A 解析：建立如图所示的坐标系，设 1，则 A( 1,0,0)， 12， 0,1)， B(0， 1,0)， 12， 12， 1)， 即 (12， 0,1)， ( 12， 12， 1) 9 ， | | 3010 . 四棱锥 P ，侧面 正三角形，底面 正 方形，侧面 底面 M 为底面 的一个动点，且满足 点 M 在正方形 的轨迹为( ) 答案： A 解析：以 D 为原点， 在直线分别为 x、 y 轴建系如图：设 M(x， y,0)，设正方形边长为 a，则 P(0， 32 a)， C(0， a,0)，则 | y a 2， | x 32 a 2. 由 | | x 2y，所以点 M 在正方形 的轨迹为直线 y 12x 的一部分 底面是边长为 2 的正方形，高为 4，则点 _ 答案： 43 解析：如图建立空间直角坐标系 则 ,0,4)， A(2,0,0)， ,2,4)， ,0,4)， ( 2,0,4)， 10 (0,2,4)， (0,0,4)， 设平面 n (x， y， z)， 则 n 0，n 0，即 2x 4z 0，2y 4z 0， 解得 x 2z 且 y 2z， 不妨设 n (2， 2,1)， 设点 d， 则 d | n|n| 43. ， 90 ， 平面 面梯形，且 4， 1. (1)求异面直线 成角的余弦值； (2)试探究在 是否存在点 Q，使得 说明理由 解： (1)由题知， 两垂直，以 C 为原点，以 E 所在直线分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系 则 A(4,0,0)， B(0,4,0)， D(0,4,1)， E(0,0,4)， (0， 4,3)， ( 4,4,0)， ， 2 25 ， 异面直线 成角的余弦值为 2 25 . (2)设满足题设的点 Q 存在，其坐标为 (0， m， n)，则 ( 4， m，
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