2014高考数学 黄金配套练习（打包67套）
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- 1 - 2014 高考数学（理）黄金配套练习 一、选择题 1如图所示，在三棱柱 底面 90 ，点E、 F 分别是棱 直线 ) A 45 B 60 C 90 D 120 答案 B 解析 以 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐 标系 设 2， 则 ,0,2)， E(0,1,0)， F(0,0,1)， 则 (0， 1,1)， (2,0,2) 2，记 ， 所成为 则 222 2 12. 0. 2在直角坐标系中， A( 2,3)， B(3， 2)，沿 x 轴把直角坐标系折成 120 的二面角，则 长度为 ( ) A. 2 B 2 11 C 3 2 D 4 2 答案 B 解析 设 A、 B 在 x 轴上的射影分别为 C、 D，则 3， 2， 5，又 ， ， 所夹的角为 60 易求得 | ( )2 2 11. 3如右图所示， 在棱长为 2 的正方体 O 是底面 中心， E、 F 分别是 中点，那么异面直线 ) A. 105 B. 155 案 B - 2 - 解析 本题考查空间向量的运算设正方体的边长为 2，建立如右图所示的坐标系，O(1,1,0)， E(0,2,1)， F(1,0,0)， ,0,2)， ( 1,0,2)， ( 1,1,1)， | | 1 0 25 3 155 . 4已知二面角 l 的大小为 60 ， m、 n 为异面直线，且 m ， n ，由 m、 ) A 30 B 60 C 90 D 120 答案 B 解析 画出图形可得 B 正确 5. 如图所示，平面 平面 ， A ， B ， 两平面 、 所成的角分别为 4 和 、 B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 A 、 B ，则 B 等于 ( ) A 2:1 B 3:1 C 3:2 D 4:3 答案 A 解析 在 中， AB 4 22 在 中， AB 6 12在 B 中， A B 2 2 12 B 2:1. 6. 如图所示，正方体 ，若 E、 F 分别是 ，则 距离为 ( ) A. 33 B. 55 - 3 - C. 53 5 答案 D 解析 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(1,0,1)， ,1,0)， 设 F(0,0， 12)， E(12， 1,1)， B(1,1,1) (0,1,0)， ( 12， 0,1)， ( 1,0， 12) ( 1,0， 12)( 12， 0,1) 0， ，又 ， 平面 平面 法向量为 ( 12， 0,1)， (0,1， 1) 距离为 | 2 55 . 7等腰 ， 1， M 为 点，沿 它折成二面角，折后 A 与 C 的距离为 1，则二面角 C A 的大小为 ( ) A 30 B 60 C 90 D 120 答案 C 解析 如图，由 1， 90 ，得 2. M 为 点， 22 ， 且 二面角 C A 的平面角 1， 22 ， 90. 8已知长方体 4， 2，则直线 ) A. 32 B. 52 C. 105 D. 1010 - 4 - 答案 C 解析 连结 1 点，由已知条件得 平面 平面 以 平面 O，则 为所求， 12122 2， 42 22 2 5. 通过计算得 105 . 9正方体 ) A. 23 B. 33 D. 63 答案 D 解析 三棱锥 D 三条侧棱两两垂直得点 D 在底面 ，连接 正方体棱长为 a，则 3 63 ，故选 D 二、填空题 10正四棱锥 S 侧棱长为 2，底面的边长为 3， E 是 中点，则异面直线 成的角等于 _ 答案 60 解析 建立如图所示空间直角坐标系，由于 3， 2，可以求得 22 . B( 32 ， 32 ， 0)， A( 32 ， 32 ， 0)， C( 32 ， 32 ， 0)， S(0,0， 22 ) 由于 E 为 中点， E( 34 ， 34 ， 24 )， ( 34 ， 3 34 ， 24 )， ( 32 ， 32 ， 22 )， 1， | 2， | 2. ， 12 2 12， ， 120. 异面直线 成的角为 60. 三、解答题 11已知：正四棱柱 面边长为 2 2，侧棱长为 4， E、 F 分别为棱 C 的中点 - 5 - (1)求证：平面 平面 (2)求点 1距离 (1)证明 建立如右图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0)， B(2 2， 2 2， 0)， E(2 2， 2， 0)， F( 2， 2 2， 0)， ,0,4)， 2， 2 2， 4) ( 2， 2， 0)， (2 2， 2 2， 0)， (0,0,4)， 0， 0. D， 平面 又 面 平面 平面 (2)解析 由 (1)知 (2 2， 2 2， 0)， ( 2， 2， 0)， (0， 2， 4) 设平面 法向量为 n，且 n (x， y， z) 则 n ， n 即 n (x， y， z)( 2， 2， 0) 2x 2y 0， n (x， y， z)(0 ， 2， 4) 2y 4z 0， 令 x 1，则 y 1， z 24 ， n (1,1， 24 )， 1距离 d | n|n| |2 2 2 2|12 12 ( 24 )2 16 1717 . 12 如图，在五 面体 ，四边形 正方形， 平面 1， 2 2， 45. (1)求异面直线 成角的余弦值； (2)证明： 平面 (3)求二面角 B A 的正切值 解析 (1) - 6 - 因为四边形 正方形，所以 异面直线 成的角 因为 平面 以 在 ， 1， 2 2， 3，故 2 23 . 所以异面直线 成角的余弦值为 2 23 . (2)过点 B 作 点 G，则 45. 由 45 ，可得 D D A，所以 平面 (3)由 (2)及已知，可得 为 中点取 中点 N，连接 N C 以 作 M，则 二面角 B A 的平面角 连接 得 平面 C 得 22 G A 在 ， 14. 所以二面角 B A 的正切值为 14. 13. 如图 ，在三棱锥 P ， 底面 60 ， 90 ，点 D，E 分别在棱 ，且 () 求证： 平面 () 当 D 为 中点时，求 平面 成的角的余弦值； () 是否存在点 E 使得二面角 A P 为直二面角？并说明理由 解析 解法一 () 底面 90 ， 平面 () D 为 中点， 12 - 7 - 又由 () 知， 平面 平面 足为点 E， 平面 成的角 底面 又 等腰直角三角形， 12在 ， 60. 12 ， 24 ， 144 . () 又由 () 知， 平面 平面 又 面 面 二面角 A P 的平面角 底面 90 ， 在棱 存在一点 E，使得 这时， 90. 故存在点 E 使得二面角 A P 是直二面角 解法二 如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 A 设 a，由已知可得 A(0,0,0)， B( 12a， 32 a,0)， C(0， 32 a,0)， P(0,0， a) () (0,0， a)， (12a,0,0)， 0， 又 90 ， 平面 () D 为 中点， E 为 中点， D( 14a， 34 a， 12a)， E(0， 34 a， 12a) 又由 () 知， 平面 平面 足为点 E， 平面 成的角 ( 14a， 34 a， 12a)， (0， 34 a， 12a)， - 8 - | | 144 . () 同解法一 14. 已知等腰直角三角形 中 90 ， 、 D 分别是 中点，现将 着边 起到 置 (1)求证： (2)求二面角 A P 的余弦值 解析 (1) 点 A、 D 分别是 中点， 12 90 ， A 面 A， 平面 面 (2)法一：取 中点 F，连结 1， 又由 (1)知 面 面 A， 平面 二面角 A P 的平面角 在 ， 1212 22 ， 在 ， 62 ， 262 33 . 二面角 A P 的余弦值是 33 . 法二：建立如图所示的空间直角坐标系 A D( 1,0,0)， C( 2,1,0)， P(0,0,1) - 9 - ( 1,1,0)， (1,0,1)，设平面 法向量为 n (x， y， z)，则 n x yn x z 0，令 x 1，得 y 1， z 1， n (1,1， 1) 显然， 是平面 一个法向量 (0,0， 1) n， |n |n| | 131 33 二面角 A P 的余弦值是 33 . 15. 如图，在五棱锥 P ， 平面 45 ，2 2， 24，三角形 等腰三角形 (1)求证：平面 平面 (2)求直线 平面 成角的大小； (3)求四棱锥 P 体积 解析 (1)证明：在 ，因为 45 ， 4， 2 2，所以 2BC5 8， 因此 2 2，故 以 90. 又 平面 所以 又 面 A， 所以 平面 面 所以平面 平面 (2)解法一： 因为 等腰三角形， 所以 2 2， 因此 4. 又 所以点 B 到平面 距离等于点 A 到平面 距离， 由于 平面 ， 2 2， 2 2， 所以 4， 故 上的高为 2，此即为点 A 到平面 距离 设直线 平面 成的角为 ， 则 24 12， - 10 - 又 0 ， 2，所以 6. 解法二：由 (1)知 两相互垂直，分别以 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于 等腰三角形， 所以 2 2， 又 2 2， 因此 A(0,0,0)， B(2 2， 0,0)， C(0,2 2， 0)， P(0,0,2 2)， 因 为 所以四边形 直角梯形， 因为 2， 45 ， 以 135 ， 因此 45 ， 故 AE5 2 22 2， 所以 D( 2， 2 2， 0) 因此 (0， 2 2， 2 2)， ( 2， 0,0)， 设 m (x， y， z)是平面 一个法向量， 则 m 0， m 0，解得 x 0， y z， 取 y 1，得 m (0,1,1)， 又 ( 2 2， 0,2 2)， 设 表示向量 平面 法向量 则 m m| 12， 所以 3 ， 因此直线 平面 成的角为 6. (3)因为 所以四边形 直角梯形， 因为 2， 45 ， 所以 135 ，因此 45 ， 故 AE5 2 22 2， AE5 2 2 2 22 2， 所以 S 四边形 2 2 22 2 3. 又 平面 - 11 - 所以 1332 2 2 2. 拓展练习 自助餐 1. 以等腰 斜 边 的高 折痕，将 起 (如图 )，使折起后的 好为等边三角形 M 为高 中点，则直线 成 角的余弦值为 ( ) A. 22 B. 66 C. 1010 D 1010 答案 C 解析 设直角边 2，则 2 2. 取 点 N，连结 则 以 为所求 121， 102 在 ，由余弦定理可得 1010 . 2在三棱柱 棱长相等，侧棱垂直于底面，点 D 是侧面 中心，则 平面 成角的大小是 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 答案 C 解析 如图是三棱柱 妨设各棱长为 1. 取 中点 E，连接 底面 侧面 底面 又 E 为 中点，且 正三角形， 两平面垂直的性质定理知， 面 大小就是 平面 成角的大小容易计算 60. - 12 - 3如图，在正方体 P 为棱 一点，过 P 点在空间作直线 l，使 0 角，则这样的直线的条数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 由于二面角 C 的大小为 45 ，所以可在二面角内过棱上一点 P 作两条直线均能与平面 0 角 4 P 是二面角 棱上的一点，分别在 、 平面上引射线 果 45 ， 60 ，那么二面角 的大小为 _ 答案 90 解析 不妨设 a， b，作 E， F，如图： 45 ， 22 a， 22 b， ( )( ) a 22 22 22 a 22 b 0， ， 二面角 的大小为 90. 另外，本题也可不用向量法，由二面角的定义求解 5. 如右图所示， 直角梯形， 90 ， 底面 1， 面 成二面角的余弦值 解 析 以 A 为坐标原点， 在直线分别为 x、 y、 z 建立如图所示的空间直角坐标系，则 S(0,0,1)， C( 1,1,0)， D(0， 12， 0) ( 1,1， 1)， 0， 12， 1 . 设平面 法向量为 n (x， y， z) n ， n ， n 0， n 0. - 13 - 即 x y z 0，z x z， y 2z. 令 z 1，则 n (1,2,1) 又 平面 法向量为 0， 12， 0 ， n， n n| | 0 1 06 12 63 . 由题意知，二面角为锐角，所以二面角的大小等于两法向量的夹角 所求二面角的大小为 3 . 6. 如图，在平行四边形 ， 2 120 ， E 为线段 中点，将 E 翻折成 A 平面 A 平面 F 为线段 A C 的中点 (1)求证： 平面 A (2)设 M 为线段 中点，求直线 平面 A 成角的余弦值 解析 (1)取 A D 的中点 G，连结 条件易知 1212 所以 四边形 平行四边形， 所以 因为 面 A 面 A 所以 平面 A (2)在平行四边形 ，设 a，则 2a， a，连 为 120 ， 在 ，可得 3a，在 ，可得 a， 在 ，因为 以 在正三角形 A ， M 为 点，所以 A M 由平面 A 平面 可知 A M 平面 A M 取 A E 的中点 N，连结 以 A M. 因为 A M 于 M，所以 平面 A 则 直线 平面 A 成角 在 ， 32 a， 12a， a， 则 12，所以直线 平面 A 成角的余弦值为 12. - 14 - 7. 如图，在长方体 E， F 分别是棱 2124. (1)求 异面直线 成角的余弦值； (2)证明 平面 (3)求二面角 F 的正弦值 解析 如图所示，建立空间直角坐标系，点 A 为坐标原点，设 1，依题意得 D(0,2,0)，F(1,2,1)， ,0,4)， E(1， 32， 0) (1)易得 (0， 12， 1)， (0,2， 4) 于是 c ， | 35. 所以异面直线 成角的余弦值为 35. (2)连接 知 (1,2,1)， ( 1， 32， 4)， ( 1， 12， 0)， 于是 0， E， 所以 平面 (3)设平面 一个法向量为 u (x， y， z)，则 u
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