2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析（打包43套）
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2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析（打包43套）,年高,数学,一轮,复习,温习,热点,热门,难点,精讲精析,打包,43
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1 2014年高考一轮复习热点难点精讲精析： 1、一次函数与 分段 函数模型 相关链接 （ 1）在现实生活中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升（自变量的系数大于 0）或直线下降（自变量的系数小于 0）； （ 2）很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数。如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数。 （ 3）分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到 一起。要注意各段变量的范围，特别是端点值。 例题解析 例 1 电信局为了配合客户不同需要，设有 A， B 两种优惠方案这两种方案应付话费 y(元 )与通话时间 x(分钟 )之间的关系如图所示，其中 (1)若通话时间为 2小时，按方案 A， (2)方案 00分钟以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围内，方案 优惠？ 思路解析： 本题是求在不同的条件下，两种方案所付话费以及话费的比较，但由于题设中以图象的形式给出两方案的付费函数，所以在解题方法上，可先求出函数的解 析式，然后再求其他解 解答： 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系为()图知 M（ 60， 98）， N（ 500，230）， C（ 500， 168）， 2 （ 1）通话 2小时的费用分别是 116元、 168元。 （ 2） 方案 00分钟以后，每分钟收费 （ 3）由图知，当 0 x 60 时，()； 当 600, f(x)g(x),即选乙家 ; 当 300, f(x)g(x),即选乙家 . 综上所述，当 15 x18时，选甲家，当 x=18时，可以选甲家，也可以 选乙家，当 18x 40时，选乙家 . 2、二次函数与分段函数模型 相关链接 二次函数的应用主要有以下方面： (1)利用二次函数 关系式或图象求最值 . (2)利用二次函数单调性求参数 取值或范围 . (3)二次函数如果是分段表示，则应注意分段区间端点值的应用 . (4)利用二次函数对应方程根的分布求参数范围 . 例 1 某飞机制造公司一年中最多可生产某种型号的飞机 100架。已知制造 (x)=3000(单位：万元），成本函数 C（ x)=500x+4000 (单位：万元）。利润是收入与成本之差，又在经济学中，函数 （ x)的边际利润函数 Mx)定义为： Mx)=(x+1)-(x). 求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x)；（利润 =产值 问该公司的利润函数 P(x)与边际利润函数 MP(x)是否具有相等的最大值？ 解 ： P(x)= R(x)- C（ x)= 500x N*,且 x 1,100)； MP(x)= P(x+1)- P(x)=480(x N*,且 x 1,100)； P(x)= 2+74125 (x N*,且 x 1,100)；则当 x=62或 63时， P（ x)4120（元）， 4 因为 MP(x) =480 为，则当 x=1 时， MP(x)2440 元，故利润函数与边际利润函数不具有相等的最大值。 例 2 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为 5 元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费 2 元，预计这种纪念章以每枚 20 元的价格销售时该店一年可销售2000 枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚 20 元的基础上每减少一元则增加销售 400 枚，而每增加一元则减少销售 100枚，现设每枚纪念章的销售价格为 （ 1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章 所获得的利润 y（元）与每枚纪念章的销售价格 x 的函数关系式（并写出这个函数的定义域）。 （ 2）当每纪念章销售价格 x 为多少元时，该特许专营店一年内利润 y（元）最大，并求出这个最大值。 思路解析： （ 1）利润 =（售价 管理费） （销售的纪念章数），注意价格取值是分段的； （ 2）分段函数求最值时，要分段求，然后比较大小。 解答： （ 1）依题意 2000 400( 20 ) ( 7 ) 0 20, 2000 100( 20) ( 7 ) 20 40400( 25 ) ( 7 ) 0 20,100( 40 ) ( 7 ) 20 40( 0 , 40) .x x x xx x x x 此 函 数 的 定 义 域 为些函数的定义域为（ 0， 40）。 （ 2） 22400 ( 16) 81 0 2047 1089100 ( ) 20 4024 当 0x20,则当 x=16时， 2400（元）； 当 20x40,则当 x=472时， 7225（元）。 综上可得当 x=16 时，该特许专营店获得的利润最大为 32400元。 注：分段函数是一类重要的函数，生活中很多实例都是分段函数模型，解决此类问题主要是构造分段函数，然后分步解决，构造分段函数时要力求准确、简捷，做到分段合理，不重不漏。 3、指数函数模型 相关链接 (1)指数函数模型，常与增长率相结合 进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等 5 增长问题可以利用指数函数模型来表示； (2)应用 指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关已知数据代入 验证，确定参数，从而确定函数模型 . (3)y=a(1+x) 例题解析 例 1 急剧增加的人口已经使我们赖以生存的地球不堪重负控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前 (1)世界人口在过去的 40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？ (2)我国人口在 2006年底达到 将人口平 均增长率控制在 1%以内，我国人口在 2016年底至多有多少亿？ 以下对数值可供计算时使用 : 思路解析： (1)本题求每年人口增长率 ,但已知 40年内翻一番 ,所以在解题方法上 ,可用方程的思想来解； (2)本题是计算 10年后我国人口的数量，由于题设中已知 10年前以及每年的增长率，所以在解题方法上，可先找到函数关系，直接计算求解 解答： (1)设每年人口平均增长 率为 x,a,y，则 y=a(1+x)n, 依题意得： 2a=a(1+x)40,即 2=(1+x)40, 两边取对数得， 0+x), 则 +x)=25, 所以 1+x x 故每年的人口平均增长率约是 (2)依题意得 y +1%)10, 两边取对数得， 0+1%) ,y 2 016年至多有人口 例 2 某城市现有人口总数为 100万人，如果年自然增长率为 试解答下面的问题： 6 （ 1）写出该城市人口总数 y（万人）与年份 x（年）的函数关系式； （ 2）计算 10年以后该城市人口总数（精确到 （ 3）计算大约多少年以后该城市人口将达到 120万人（精确到 1年）。 （ 1 01210=1 127， 思路解析： 列出前几年该城市人口总数 察规律，总结出 y与 要求求解（ 2）、（ 3）两小题 解答 ： （ 1） 1年后该城市人口总数为 y=100+100 100 (1+, 2年后该城市人口总数为 y=100 (1+100 (1+2 100 (1+2 同理， 3年后该城市人口总数为： y=100 (1+3 y=100 (1+x(x N) （ 2） 10 年后人口总数为 100（ 1+10 ) （ 3）设 20万人，即 100（ 1+ x=120,x=16（年）。 因此，大约 16年以后城市人口将达到 120万人。 注： 高考数学试题中联系生活实际和生产实际的应用问题，其创意新颖，设问角度独特，解题方法灵活，一般文字叙述长，数量关系分散且难以把握。解决此类问题关键要认真审题，确切理解题意，进行科学的抽象概括，将实际问题纳为相应的数学问题，然后利用函数、方程、不等式等有关知识解答。 4、 利用函数刻画实际问题 相关链接 用函数图象刻画实际问题的解题思路 将实际问题中两个变量间变化的规律 (如增长的快慢、最大、最小等 )与函数的性质 (如单调性 、最值等 )、图象 (增加、减少的缓急等 )相吻合即可 . 例题解析 【例】如图所示，向高为 H 的容器 A， B， C， 满为止： (1)若水深 a)，则容器的形状是 _; (2)若水量 b)，则容器的形状是 _; 7 (3)若水深 c)，则容器的形状是 _; (4)若注水时间 d)，则容器的形状是 _. 【方法诠释】 根据实际问题中水深 h,水量 合图象使之吻合即可 . 解析： (1)该题图中的 (a)说明了注入水的高度是匀速上升的，只有 以应填 C； (2)该题图中的 (b)说明了水量 v 增长的速度随着水深 h 的增长越来越快，在已知的四个容器中，只有A 中的容器能做到，所以应填 A； (3)该题图中的 (c)说明水深 反映出来的是升高的速度是 由快到慢再到快，在已知的四个容器中，只有 以应填 D； (4)该题图中的 (d)说明水深 h 与注水时间 t 之间的对应关系，且反映出来的是 水深升高的速度是先慢后快，在已知的四个容器中，只有 以应填 B 答案： (1)C (2)A (3)D (4)B 注： 用函数刻画实际问题的关键是分析所给实际问题中两个变量间的关系，从中发现其变化的规律，并与函数的图象、性质联系起来，从而使问题解决 . 5、 利用已知函数模型解决实际问题 相关链接 利用已知函数模型解决实际问题的步骤 若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象 ,求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值 ,再用求得的函数解析式解决实际问题 . 例题解析 【例】 (1)某产品的总成本 y(万元 )与产量 x(台 )之间的函数关系式是 y=3 000+x240,x N)，若每台产品的售价为 25万元，则生产者不亏本时 (销售收入不小于总成本 )的最低产量是 ( ) (A)100台 (B)120台 (C)150台 (D)180台 (2)为了预防流感 ,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒 内每立方米空气中 的含药量 y(毫克 )与时间 t(小时 )成正比 ;药物释放完毕后， y 与 t 的函数关系式为 (a 为常数 )，如图所示， 根据图中提供的信息，求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y(毫克 )与时间 t(小时 )之间的函数关系式为 _. 【方法诠释】 (1)结合二次函数的性质及实际意义解题即可 . (2)结合图象通过特殊点用待定系数法求出关系式 . 解析： (1)选 C.要使生产者不亏本， 8 则有 3 000+25x, 解上式得： x x 150, 又 0x240,x N， 50. (2)药物释放过程中 ,室内每立方米空气中的含药量 y(毫克 )与 时间 t(小时 )成正比 ,则设函数 y=kt(k 0),将点 ()代入可 得 k=10,则 y=10t;将点 ()代入( ) , 0则所求关系式为,.( ) , 1 0答案 :,( ) , 1 06、 自建模型解决实际问题 相关链接 建立函数模型解决实际问题的步骤 (1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质； (2)建模：由题 设中 的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题； (3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题； (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论 例题解析 【例 3】 (2012北京模拟 )某特许专营店销售上海世博会纪念章，每枚进价为 5 元，同时每销售一枚这种纪念章还需要向上海世博局交特许经营管理费 2 元，预计这种纪念章以每枚 20 元的价格销售时，该店一年可销售 2 000 枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚 20 元的基础上每减少一元，则增加销售 400枚；而每增加一元则减少销售 100枚，现设每枚纪念章的销 售价格为 (1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润 y(元 )与每枚纪念章的销售价格 并写出这个函数的定义域 ); (2)当每枚纪念章销售价格 特许专营店一年内利润 y(元 )最大，并求出这个最大值 . 【方法诠释】 (1)首先应根据题意确定出销售价格 再分别求出减少 ,增加一元时的销售利润 ,从而得到一年所得利润 y(元 )的函数关系式 . (2)根据函数关系式的结构特征，选择适当的求最值方法求解 . 解析： (1)依题意销售价格 x (7,40)，即定义域为 (7,40)，而当 7 x 20， x N+时，则增加销售400(20 , 故其一年内销售所获得利润为 y= 2 000+400(20 ( 当 20 x 40， x N+时，则减少销售 100( . 9 故其一年内销售所获得利润为 y= 2 000 ( 综上得 : ( , )( , )( , ).( ) ,y 222 000 400 20 x x 7 7 x 20 x 00 100 x 20 x 7 20 x 40 x x 16
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