2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析（打包43套）
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2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析（打包43套）,年高,数学,一轮,复习,温习,热点,热门,难点,精讲精析,打包,43
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1 2014年高考一轮复习热点难点精讲精析： 一、正弦定理和余弦定理 （一）正弦定理、余弦定理的简单应用 相 关链接 1、已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断； 2、应熟练掌握余弦定理及其推论。解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷； 3、三角形中常见的结论 （ 1） A+B+C=； （ 2）在三角形中大边对大角，反之亦然； （ 3）任意两边之和大于第三边，任意两边之 差小于第三边； （ 4）三角形内的诱导公式 si n( ) si n ; c ) c ta n( ) ta n ; si n c c os si n 2 2A B C A B C A B C A B C （ 5）在 例题解析 例 1 在 知 a=7,b=3,c=5,求最大角和 答： 由已知得 acb, A 为最大角。由余弦定理得：2 2 2 2 2 23 5 7 1c 3 5 2b c aA 。又30 180 , 120 , si n si n 120 2A A A 。 方法一：由正弦定理得35si n 5 32si 4 ，因此最大角 314。 方法二：2 2 2 2 2 27 3 5 11c 7 3 14a b cC 。 C 为三角形的内角， C 为锐角。211 5 31 c ( )14 14C ,所以最大角为120， 314。 例 2 在 1）若 b=2,c=1,B=450o,求 的值；（ 2）若 A=600， a=7,b=5,求边 C。 思路解析： （ 1）可直接使用正弦定理求解，注意解的个数的判断，也可利用余弦定理求解；（ 2）题目条件是已知两边及一边的对角，这种情况一般用正弦定理理解，但本题不求 B，并且求出 非特殊角，故用正弦定理不是最佳选择，而应直接用余弦定理列出关于 2 解答： （ 1）方法一：由由正弦定理得215 所以 cb,所以 CB,故 以 C=30，所以 A=105，所以10 05a，所以622 si n 105 2a 方法二：根据2 2 2 2 c a c 得22 1 2 ，解得622a 。解角 （ 2）因为2 2 2 c b c ，所以249 25 10 c 0 ，解得 c=8. （二）三角形形状的判定 相关链接 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法： （ 1）利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； （ 2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的 关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 A+B+C=这个结论。 注：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解。 例题解析 例 在 , 22思路解析： 三角形形状的判断方法是首先边化角或角化边，再整理化简即可判断 解答： 方法一： 由, 22 , 22si n A c si n A c si n Ac si n B si n B c si n B ,si n A c si n B c si n 2A si n 2A+2B= ,即 A= 方法二 ： 由已知得 ， 22 b ,即 22ac a c a ac b c c b c b, , , 2 2 2 2 2 2b c a a c c 2a2(b2+b2(a2+ c2(a2+ 3 (a2+0， a=b或 a2+b2= （三）正、余弦定理在几何中的应用 相关链接 正、余弦定理在几何中的应用 （ 1）首先根据已知量和未知量确定未知量所在的三角形； （ 2）其次确定与未知量相关联的量； （ 3）最后把要求解的问题转化到由已知条件可直接求解的量上来。 例题解析 例 1 如图， ，在四边形 ，已知 0， 4， 00， 350，求 解答： 在 余弦定理，得2 2 2B A B D A D 2 B D A D c D A ， 2 2 2 0 21200B D , 14 10 2 10 c 0 , 10 96 0 ,16 , 16( ) B D 16. B D B D 16, B C si n 30 8 2 , B D 16 , 8 2si n si n si n 135x x x x B 设 则 所 以所 以 舍 去 ， 所 以 在 中 ， 由 正 弦 定 理 ， 得所 以 所 以 例 2 如图所示， 在梯形 ， ， 00， 50，求 长。 思路解析： 由于 ， 50，因此要求 在 正弦定理求解，关键是确定 ， ， 00，因此可用正弦定理求出 依据 解答： 在 ， ， 00，由正弦定理，得 4 0si n 9 si n 30 9, si n si n 5 109/ / , 180 , si n si 2, 45 ,10 292C C C 于 是 。同 理 ， 在 中 , 得故 的 长 为注： （ 1）正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替 使用； （ 2）条件中如果出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理； （ 3）在三角形中求角，往往选择先求该角的余弦值，然后利用余弦函数在（ 0，）上的单调性求角； （ 4）正、余弦定理能实现边角转化，在解题时 一定要重视。 二、应用举例 （一）与距离有关的问题 相关链接 1、一般步骤： （ 1）分析： 理解题意，分清已知与未知，画出示意图； （ 2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； （ 3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角 形，求得数学模型的解； （ 4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。 2、解斜三角形应用题常有以下几种情形： （ 1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之； （ 2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺 序逐步在几个三角形中求出问题的解； （ 3）实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理。 例题解析 例 1 如图所示， A、 B、 C、 B、 测量船于水面 点和 5， 30，于水面 点和 0，.1 （ 1）求证： D. （ 2）求 思路解析： （ 1）由已知角度不难求得 易得 用三角形全等可得 D. 5 （ 2）求 解答： （ 1）在 0， 0 - 0， 所以 C=0.1 又 80 =60， 以 A. （ 2）在 A B A n B C A si n A B A C si n 60 3 2 6A B k n 15 20 ， . 3 2 6B D 2 如图， 公路 处交汇，且 00，在 60米，假设拖拉机行驶时，周围 100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路 沿 校是否会受影响？请说明理由。如果受影响，已知拖拉机的速度为 18千米 /小时，那么学校受影响的时间为多少？ 解答： 作 00， 00， 60， P 802 。点 00米，所以这所中学会受到噪声的影响。 如图所示，若以 100米为半径画圆，那么圆 N 有两个交点，设交点分别为 C、 D，连接 D=100米，根据勾股定理和垂径定理得： B=22100 80 60米， 20米，学校受噪声影响的时间为 t=12018000 3600=24秒 （二）与高度有关的问题 相关链接 1、在测量高度时 ，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与 水平线的夹角； 2、准确理解题意，分清已知与所求，画出示意图； 3、运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用。 例题解析 例 1 测量河对岸的塔高 ，可选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，现测得5， 0， CD=s，并在点 的仰角为 30，求塔高 6 思路解析： 在 B，在 出 解答： 在 80 =45， 由正弦定理得,B C C n B D C si n C B D. C D si n B D C s si n 60 6B C n C B D si n 45 2所 以 在 C . 62s 0 2 某人在山顶观察地面上相距 2500、 得 70，俯角为 300，同时测得 80，俯角是 450，求山高（设 A、 算结果精确到 . 解答 :画出示意图 (如图所示 ): 设山高 PQ=h,则 为直角三角形，在图（ 1）中， 00， 50。h 。在图（ 2）中， 70+780=1350， 500m，所以由余弦定理得：2 2 2 2 c Q Q Q B 即 2 2 2 22500 ( 3 ) 2 3 c 35 ( 4 6 ) ,h h h h h 2500 )46所以山高约 （三）与角度有关的问题 相关链接 1、测量角度，首 先应明确方位角、方向角 的含义； 2、在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际 7 问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点。 例题解析 例 在海岸 A 处，发现北偏东 450方向，距 A 处( 3 1)n 50的方向，距离 A 处 2n 03n 时，走私船正以 10n 处向北偏东 300方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上 走私船？ 思路解析： 本例考查正 弦、余弦定理的建模应用。如图所示： 注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在 D 处相遇，则可先在 求出 在 解答： 设缉私船用 D 处追上走私船，则有 03t， 0t，在 ， 1， 200，由余弦定理，得 2 2 2 2 22 c 3 1 ) 2 2 ( 3 1 ) 2 c 20 6B B A C ， ，且 3 2si n 50, 正北方向垂直。 00+300=1200，在 正弦定理，得si n 10 si n 120 1si n ,210 3 BD t 00。 即缉私船沿东偏北 300方向最快追上走私船。 （四）与三角形面积有关的问题 例 在 角 A、 B、 C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C=3。 （ 1）若 a,b; (2)若 2 思路解析： （ 1）利用余弦定理与已知条件确定 a,b 的一个关系式利用三角形的面积确定 a,b 的另一个关系式联立方程组求 a,b； （ 2）化简已知条件 求 a,b求答： （ 1）由余弦定理及已知条件得 22 14 , A B C 3. si n 3 , 42a b ab 又 的 面 积 等 于 即 ，联立方程组得： 22 24 ,24aa b 解 得 8 （ 2） si n si n( ) 2 si n 2 , si n( ) si n( ) 4 si n c si n c s i n c c 2 si n si n ) 0c , ,262 4 3 2 3, t a n 2 t a n ,si n 3 6 3si 3si n si n 2 si n
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