2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析（打包43套）
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2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析（打包43套）,年高,数学,一轮,复习,温习,热点,热门,难点,精讲精析,打包,43
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1 2014年高考一轮复习热点难点精讲精析： 选修系列（第 5 部分：矩阵与变换） 一、 线性变换与二阶矩阵 （一）矩阵相等的应用 例 已知 A=32ad b c， B=542若 A=B，求a，, 思路解析： 由矩阵相等的定义，知矩阵 A， 出方程组后求解。 解答： 由矩阵相等的定义知 53422a d ，解得15 , 10 , 7, 4.a b c d （二）二阶矩阵与平面向量乘法的应用 例 在平面直角坐标系 椭圆2241在矩阵2001对应的变换作用下得到曲线 F，求 思路解析： 由已知矩阵可得坐标变换公式，从而得到椭圆上点与曲线上 代入椭圆方程即可得 解答： 设0 0 0( , )P x =的作用下的像为00( , )P x y。 A=2001，坐标变换公式00002 ,00,2点 22 2 2( ) ( ) 1，曲线 。 （三）线性变换性质的应用 例 二阶矩阵 1， （ 1） 分别变成点（ （ 0， （ 1）求矩阵 M； （ 2）设直线作用下得到了直线: 4.m x y求直线 思路解析： 由已知条件下可利用待定系数法求矩阵 M，再通过矩阵 直线可求直线 解答： 1 1 2 0( 1 ) , 1 21 2 0,1 2 21 2 0, 212 1 2,34a b a b a d c d c da b a bc d c da b a bc d c 设 则 有 ，也 就 是所 以 且解 得 所 以 1 2 2( 2) , ,3 4 3 4( , ) : 4( 2 ) ( 3 4 ) 4 ,2 0 ,2 0.x x x yx y m x yx y x x y 坐 标 变 换 公 式 为是 直 线 上 的 点 的 方 程 为二、变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵 （一）与矩阵乘法的相关问题 例 顶点为 A（ 0， 0）， B（ 0， 0）， C（ 0， 1）。如果将三角形先后经过1011和1101两次变换变成 ，求 的面积。 思路解析： 先将两次变换转化成矩阵的乘法，再利用矩阵与向量的乘法求出变换后的点的坐标，最后用三角形的知识求面积。 解答 ： 3 1 1 1 0 2 1,0 1 1 1 1 12 1 0 1,1 1 0 1( 0 , 0) , ( 4 , 2) , ( 1 , 1 )| | 20 , | | 2 , | | 10 ,20 10 2 7c 2 20 10 5 249 1si n 1 ,50 521120 10 2 A C B （二）与逆矩阵（变换相关的问题） 例 已知矩阵 A=1237。 （ 1）求逆矩阵 （ 2）若二阶矩阵 X=3015，试求矩阵 X。 思路解析： 利用|可以求出 利用 A 2， 可求出二阶矩阵 X。 解答： （ 1） =0。矩阵 27211 3 111 （ 2） 015， X= X=72313015=19 1085。 （三）用矩阵知识解二元一次方程组 例用矩阵知识解二元一次方程组 2 3 1 0 1 0 思路解析： 用二阶行列式可以表示二元一次方程组的一般解，计算出相应量后代入即可。用逆矩阵从几何变换的角度也可求解二元一次方程组。 解答： 二 元一次方程组可化为 4 2 3 1 ,3 2 1 其系数矩阵为 A=23,32该方程组的矩阵形式为 =11， 23| | 5 0 , ,32 矩 阵 可 逆方程组有唯一解 3 23| | | | 55,3 2 3 2| | | | 5 5 代入上式得= 2355325511=1， 原方程组的解为11。 三、变换的不变量与矩阵的特征向量 （一）二阶矩阵的特征值、特征向量的 求法 例 设 A=3452，求 思路解析： 求特征向量要先求出特征多项式及特征方程的根（特征值），再将特征值代入方程（组），求出一组非零解，即得对于相应特征值的特征向量。 解答： 矩阵 212111234( ) 5 14 ( 2) ( 7 ) ) 0 , 2 , 7,25 4 0 4,5 4 0 542,574 4 0 15 5 0y xx y y xx y y 令 得 矩 阵 的 特 征 值对 于 特 征 值 ， 解 相 应 的 线 性 方 程 组得 一 个 非 零 解因 此 是 矩 阵 的 属 于 特 征 值 的 一 个 特 征 向 量对 于 特 征 值 ， 解 相 应 的 线 性 方 程 组得 一 个 非 零 ，因 此 是 矩 阵 的 属 于 特 征 值 的 一 个 特 征 向 量（二）简单表示 5 例 已知矩阵3652M，38，试计算100M。 思路解析： 利用特 征值 和特 征向 量， 可以方 便地 计算 多次 变换的 结果 ，应 用公 式 1 1 2 2( ) ( )n n nM m n 时要熟悉各个系数的意义，并分别求 出代入。 解答 ： 设矩阵 的特征多项式为 2121 2 1 212100 100 100 1001 2 1 236( ) ( 3 ) ( 2) 30 5 ) 0 , 8 , 3 ,6 1 6 1 3.,5 1 5 1 81 , 3 , 3 ,( 3 ) 3n m M M 令 得 的 特 征 值 为它 们 对 应 的 一 个 特 征 向 量 分 别 为， 令即100 1001 1 2 2100 100100 100100 10036 1 8 6 3 38 3 ( 3 ) 5 3 3 （三） 矩阵的简单应用 例 工业发展时常伴有环境污染，怎样减少甚至消除环境污染是很重要的问题。某研究机构提出了有关污染和工业发展的工业增长模型。设 以后的污染程度和工业发展水平。在许多发展中国家，工业 发展模型实际上是：1=P+2D，1=2P+D。 （ 1）设1年以后的污染程度和工业发展水平，试求2P、2与 P、 （ 2）某发展中国家目前的污染程度和工业发展水平都是 1，设第 年 以后，污染程度和工业发展水平分别为求nP、说明污染程度和工业发展的趋势。 思路解析： 由1、1表达式可以得相应的变换矩阵1221，再将实际问题转化成矩阵的运算。 解答： （ 1）1P= P+2D，1=2P+D，1112 设 A= ， 21 2225 4 5 4 4 55 4 , 4 5 P P D D P D D P D （ 2） 6 121 2 1 11,1311 1 1n 矩 阵 的 特 征
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