2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析（打包43套）
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2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析（打包43套）,年高,数学,一轮,复习,温习,热点,热门,难点,精讲精析,打包,43
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1 2014年高考一轮复习热点难点精讲精析： 一、变化率与导数、导数的运算 （一）利用导数的定义求函数的导数 1、相关链接 （ 1）根据导数的定义求函数()y f x在点0 求函数的增量00( ) ( )y f x x f x ； 求平均变化率( ) ( )f x x f ； 得导数0 0( ) x ，简记 作：一差、二比、三极限。 （ 2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数。 2、例题解析 例 1 求函数 y=1x=1处的 导数。 解析：1 1 1 1 x 1 1 x x 0 x 0 x 1 1 x 1 1 1l i m l i m x 1 1 ，例 2 一质点运动的方程为283。 （ 1） 求质点在 1， 1+ t这段时间内的平均速度； （ 2） 求质点在 t=1时 的瞬时速度（用定义及求求导两种方法） 2 分析（ 1）平均速度为； （ 2） t=1时的瞬 时速度即283在 t=1处的导数值。 解答：（ 1）2 s=8+ t)2-(812)= t)2, 63 . （ 3） 定义法：质点在 t=1时的瞬时速度00l i m l i m ( 6 3 ) 6 （ 4） 求 导法：质点在 t 时刻的瞬时速度 2( ) (8 3 ) 6v s t t t ，当 t=1时， v=1=注： 导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。对位移 据导数的定义求导数是求导数的基本方法，请按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求。 （二）导数的运算 1、相关链接 （ 1）运用可导函数求导法则和导数公式，求函数()y f x在开区间（ a,b）内的导数的基本步骤： 分析函数()y f x的结构和特征； 选择恰当的求导法则和导数公式求导； 整理得结果。 （ 2）对较复杂的函数求导数时，诮先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便。 （ 3）复合函数的求导方法 求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决。 分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量； 分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量； 根据基本函数的 导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数； 复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的 复合过程。 2、例题解析 3 例 求下列函数的导数。 222x x y 2x 1 ( 3x 1)x x 12yx x 13 y 3 e 2 y 3 2x 思路分析： 本题考查导数的有关计算，借助于导数的计算公式及常见的初等函数的导数，可以容易求得 . 解答： (1)方法一：由题可以先展开解析式然后 再求导： y=(23x+1)=6 y =(6 =(6 +(2 -(3x) =18方法二：由题可以利用乘积的求导法则进行求导： y =(2 (3x+1)+(23x+1) =4x(3x+1)+3(212x+618(2)根据题意把函数的解析式整理变形可得： 222 2 22 22222x x 1 x x 1 2x 2 ,x x 1 x x 1 x x 12 x x 1 2x 2x 1 2x 2yx x 1 x x 1 (3)根据求导法则进行求导可得： y =(3 -(2x) +e =(3x) x( -(2x) =33e)4)根据题意利用除法的求导法则进行求导可得： 2222222222( l x 1 l nx x 1 l x x 1 2l x x x 1 4 (5)设 =3 y=(3是由 y= 5与 =3以 y =f x=(5) (3 =5 4 (=. 规律总结： 一般说来，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化 为和或差的形式 每次求导都针对最外层，直到求到最里层为止 （三）导数的几何意义 【例】已知曲线31433， （ 1） 求曲线在点 P(2,4)处的切线方程； （ 2） 求曲线过点 P(2,4)的切线方程； （ 3） 求斜率为 4的曲线的切线方程。 思路分析： “该曲线过点 P(2， 4)的切线方程”与“该曲线在点 P(2， 4)处的切线方程”是有区别的：过点 P(2， 4)的切线中，点 P(2， 4)不一定是切点；在点 P(2， 4)处的切线，点 P(2， 4)是切点 . 解答： （ 1）(2, 4)在 曲 线3上，且2在点 P(2,4)处的切线的斜率 k=2|=4; 曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 (即 4. （ 2）设曲线31433与过点 P(2,4)的切线相切于点 A（ 0x ），则切线的斜率 020|y x，切线方程为y（301433） =20x（ 即23002433y x x x 点 P(2,4)在切线上， 4=2032003 4 0 ，3 2 20 0 04 4 0x x x ， （ ） (=0 解得 1或 故所求的切线方程为 4或 =0. （ 3）设切点为（ x0, 则切 线的斜率为 k=, 2， 4），（ ） 切线方程为 ( y+4/3=4(x+2) 即 4和 120=0 注： (1)求函数 f(x)图象上点 P(x0,f(处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率 k，由导数 5 的几何意义知 k=f (故当 f (在时，切线方程为 f ( (2)要深入体会切线定义中的运动变化思想：两个不同的公共点两公共点无限接近两公共点重合 (切点 )；割线切线 . （ 3） 可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数 y=f(x)在 x=的导数表示曲线在点 P(x0,f(处切线的斜率，因此，曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(处的切线方程，可按如下方式求得： 第一，求出函数 y=f(x)在 x=曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(处切线的斜率； 第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程 y=y0+f (如果曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(处的切线平行于 此时导数不存在 )时，由切线的定义 可知，切线的 方程为 x=二、导数在函数中的应用与生活中的优化问题举例 （一） 利用导数研究函数的单调性 1、 相关链接 （ 1）求可导函数单调区间的一般步骤和方法，如下图： 即： 确定函数 f(x)的定义域 ; 求 f (x) ，令 f (x)=0，求出它们在定义域内的一切实根； 把函数 f(x)的间断点（即 f(x)无定义点）的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间。 确定 f (x)在各个开区间内的 符号，根据 f (x)的符号判定函数 f(x)在每个相应小开区间内的增减性。 注：当 f(x)不含参数时，也可通过解不等式 f (x)0（或 f (x)0时为增函数； f (x)0时为减函数。 （ 3）已知函数的单调性，求参数 的取值范围，应注意函数 f(x)在（ a,b）上递增（或递减）的充要条件应是 f (x) 0（或 f (x) 0）， x（ a,b）恒成立， 且 f (x) 在（ a,b）的任意子区间内都不恒等于 0，这就是说，函数 f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有 f (x) =0，甚至可以在无穷多个点处 f (=0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间。 2、例题解析 例 】 (2011北京模拟 )若函数 f(x)=求实数 a 的取值范围 . 思路解析： 函数 f(x)存在单调减区间 ,就是不等式 f (x) 0 有实数解 ,考虑到函数的定义域为 (0,+ ),所以 本题就是要求 f (x) 0在 (0,+ )上有实数解 . 解答： f (x)= 1x 1xf(x)存在单调递 减区间 ,所以 f (x) 0有解 0,+ ),则 0在 x (0,+ )内有解 . (1)当 a 0时 ,y=0,总可以找到 x 0的解 ; (2)当 a 0时 ,y=要使 0总有大于 0的解 ,则 =4+4a 0且方程至少有一个正根 ,此时 a 0. (3)当 a=0时 ,显然符合题意 . 综上所述 ,实数 ). （二） 利用导数研究函数的极值与最值 1、相关链接 （ 1）求函数 f(x)极值的步骤 7 即： 确定函数 f(x)的定义域； 求导数 f (x); 求方程 f (x)=0的根。 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点（最好通过列表法）。如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根 处取得极小值；如果 f (x)在点 f(是函数极值。 （ 2）可导函数极值存在的条件 可导函数的极值点 定满足 f (0,但当 f (0 时， 一定是极值点。如f(x)=x3,f (0)=0,但 x=0不是极值点。 可导函数 y=f(x)在点 f (x)=0，且在 f (符号不同。 （ 3） 设函数 f(x)在 a,b上连续，在（ a,b）内可导，求 f(x)在 a,b上的最大值和最小值的步骤 求函数 y=f(x)在（ a,b）内的极值； 将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 根据最值的定义，求在闭区间 a,b上连续，开区间（ a,b） ,内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断使 f (x)=0成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大（小）值。 定义在开区间（ a,b）上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点。 2、例题解析 例 1 已知函数 f(x)=x3+,记 f(x)的导数为 f (x). 8 (1)若曲线 f(x)在点 (1,f(1)处的切线斜率为 3，且 x=2时 ， y=f(x)有极值 ,求函数 f(x)的解析式 . (2)在 (1)的条件下，求函数 f(x)在 上的最大值和最小值 . 思路解析： 在求解 (1)时，可以通过切线斜率和极值点求得 a,b 的值，从而求得函数的解析式 2)时只需要列出极值变化表，对比区间端点值求得最值即可 . 解答： （ 1）由题意，得 解得 ，所以 （ 2）由（ 1）知， 令 ，得 当的变化情况如表： 在 上的最大值为 13，最小值为 例 2已知函数 2f x x | x a |,a R . （ 1）当0a时，求证函数 f x , 在上是增函数； （ 2）当 a=3时，求函数0， b上的最大值。 解答： (1)， 2 3 230f x x x a x f x x a 因故上是增函数。 (4 分 ) (2)3a时， 3233333 0 3x x xf x x | x |x x x 9 若03b时， 323 3 3 0f x x x , f x x 由得：1x( )若01时， 0f x , f x 在 0， b上单增，故 33m f b b b , ( )若13 0 1 0 1 0x , f x ; x b , f x . 故 12x f. 若3b时，由知上的最大值为 2，下求b上的最大值，因 23 3 0f x x ，故 3 3m x f b b b . 又 323 323 2 1 2 2 0 2b b bb b b b b 综合、 知： 33322 1 23 0 1m b bf x bb b b (12 分 ) （四） 利用导数解决实际生活中的优化问题 1、相关链接 利用导数解决生活中的优化问题时： (1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函 数关系表示，还要注意确定函数关系式中自变量的定义区间 . (2)一定要注意求得函数结果的实际意义，不符合实际的值应舍去 . (3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点 . 2、例题解析 例 某地政府为科技兴市 ,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地建成一个矩形的高科技工业区 B A C=2 线段 为顶点且开口向右的抛物线的一段 ,如果要使矩形的相邻两边分别落在 C 上 ,且一个顶点落在曲线段 ,问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大 ?并求出最大的用地面积 (精确到 0.1 思路解析： 矩形工业园的用地面积与它落在抛物线段 的具体位置有关，因此应设法将落在 后用这一变量表示矩形工业园的用地面积，而要设出相应的变量，则应首 10 先建立直角坐标系 . 解答： 以 如图所示 )， 依题意 可设抛物线为 px(p 0)且 C(4,2). 22=2p 4, p=1,故所设抛物线方程为 y2=x(0 x 4). 设 P(x, x)(0 x 4)是曲线段 的任意一点，则在矩形 ， |2+x， |4以工业区的面积为 S=| |(2+ )(4=321+8， S =1232+212， 令 S =0，得 3x+412,( 12+2)(30, x=49. 故当 x 0, 49)时， S 0,S 是关于 当
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