2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析（打包43套）
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2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析（打包43套）,年高,数学,一轮,复习,温习,热点,热门,难点,精讲精析,打包,43
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1 2014年高考一轮复习热点难点精讲精析： 一、任意角和弧度制及任意角的三角函数 1、三角函数的定义 相关链接 （ 1）已知角终边上上点 P 的坐标，则可先求出点 r，然后用三角函数的定义求解； （ 2）已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的值。 注：若角的终边落在某条直线上，一般要分类讨论。 例题解析 例 已知角的终边落在直线 3x+4y=0上，求 思路解析： 本题求的三角函数值，依据三角函数的定义，可在角的终边上任意一点 P（ 4t,t 0)，求出 r，由定义得出结论。 解答：角的终边在直线 3x+4y=0 上，在角的终边上任取一点 P（ 4t,(t 0)，则x=4t,y= r=2222(4 ) ( 3 )=5|t|, 当 t0时， r=5t,355,445 ，33ta n 44 ； 当 0, 75, 由1si n 得4 43（ 2）222 2 2 21 si n c os si n c os si n 222222 22si n c a n 1c t a nc 43222 2 224( ) 11 t a n 1 253 os si n 1 t a n 71 ( )3 注：（ 1）对于 知其中一个式子的值，其余二式的值可求。转化的公式为 (2=1 2 （ 2）关于 往 5 化为关于 5、扇形的弧长、面积公式的应用 例 已知一扇形的圆心角是，所在圆半径是 R。 （ 1） 若 =600， R=10扇形的弧长及该弧所在的弓形面积。 （ 2） 若扇形的周长是一定值 C（ C0），当是多少弧度时，该扇形有最大面积？ 思路分析： （ 1）利用弧长、面积公式求解；（ 2）把扇形面积用表示出来，或用弧长表示出来，然后求出函数的最值。 解答： （ 1）设弧长为l，弓形面积为 020260 , 10 ,310( ) ,31 10 110 10 si n 60 ,2 3 2350( ) ( ) c 弓 扇（ 2）方法一： 扇形周长 C=2R+l=2R+ R, R=2C222 2 2211()2 2 4 2 1644 C 扇当且仅当4 ，即 =2（ =，扇形面积有最大值216C。 方法二：由已知 2R+l=C, 2( ) ,21 1 1 ()2 2 2 4l l l C l l 221 ()4 2 16 当2，26， 6 此时2 当 =2弧度时，扇形面积有最大值216C。 注：合理选择变量，把扇形面积表示出来，体现了函数的思想，针对不同的函数类型，采用不同的方法求最值，这是解决问题的关键。 二、三角函数的诱导公式 1、三角函数式的化简 相关链接 （ 1）2 ( )k k Z，2 的三角函数值是化简的主要工具。使用诱导公式前，要正确分析角的结构特点，然后确定使用的诱导公式； （ 2）不能直接使用诱导公式的角通过适当的角的变换化为能使用诱导公式的角，如：5 2 ( )22 等。 注： 若k 出现时，要分 （ 3）诱导公式的应用原则是：负化正，大化小，化到锐角为终了。特殊角能求值则求值； （ 4）化简是一种不能指定答案的恒等变形，化简结果要尽可能使项数少、函数的种类少、次数低、能求出值的要求出值、无根式、无分式等。 例题解析 例 化简：si n( ) c ( 1 ) ()si n ( 1 ) c )kk 思路分析： 化简时注意观 察题设中的角出现了k，需讨论 解答： 当2 ( )k n n Z时， si n( 2 ) c ( 2 1 ) si n( ) c )si n ( 2 1 ) c 2 ) si n( ) c n ( c 1si n c 原 式当2 1( )k n n Z 时 7 si n ( 2 1 ) c ( 2 1 1 ) si n( ) c n ( 2 1 1 ) c ( 2 1 ) si n c )si n c si n ( c 原 式综上，原式 =、三角函数的求值 相关链接 （ 1）六个诱导公式和同角三角函数的关系是求值的基础； （ 2）已知一个角的三角函数值，求其他角三角函数值时，要注意对角化简，一般是把已知和所求同时化简，化为同一个角的三角函数 ，然后求值。 例题解析 例 已知c ) 2 si n( )22 ，求3si n ( ) c )575 c ) 3 si n( )22 的值。 思路解析： 化简已知条件化简所求三角函数式，用已知表示代入已知求解 解答：c ) 2 si n( ) ，si n 2 ( ) ,2si n si n 2 c ta n 2. 即333 3 22 2 2 2 2si n ( ) c ) si n c c ) 3 si n( ) 5 c 2 ) 3 si n( 4 )2 2 2 2si n c os si n c os si n t a n 15 si n 3 c t a n 35 c ) 3 si n( )222 si n 1 2 si n 1 2 si n ( si n c 10 3 7 7 ( s 222 2 22 2 2i n c si n c os t a n 1 4 1 37 ( si n c 7 ( t a n 1 ) 7 ( 4 1 ) 35 3、诱导公式在三角形中的应用 例 1 在 2 ，3 求 思路分析： 本题首先利用诱导公式把所给两个等式化简，然后利用 ，求出 利用 A+B+C=进行计算。 解答： 由已知得si n 2 si n3 c c ，化简得22,A即2A 8 （ 1）当2A时，3B，又 A、 A=4， B=6， C=712（ 2）当2，3，又 A、 A=34， B=6，不合题意。 综上知， A=4， B=6， C=712注：在 A+B+C=， 2A+2B+2C=2，2 2 2 2A B C ， +B)= +B)= +B)= A+2B)= A+2B)= A+2B)= 2=)=)=)= 以上结论应在熟练应用的基础上加强记忆。 例 2 是否存在 （2， ）， （ 0， ）， 使等式 =2, 3 )= 2 + )同时成立 ？ 若存在 ， 求出 ， 的值 ； 若不存在 ， 请说明理由。 思路分析： 要想求出，的值，必须知道，的某一个三角函数值，因此，解决本题的关键是由两个等式消去或的同名三角函数值。 解答： 假设存在，使得等式成立，即有si n( 3 ) 2 c )23 c ) 2 c ) 化简得si n 2 si n3 c ) 2 c ，继续化简可得22si n 3 ，2 1。又( , ),22 =4或 =4。将 = 代入3 得 0，）， =6，代入 可知符合。 9 将 =4代入3 得 0，）， =6代入 知不 符合。 综上可知，存在 =4， =6满足条件。 注： 已知角的三角函数值求角的一般步骤是： （ 1）由三角函数值的符号确定角所丰的象限； （ 2）据角所在的象限求出角的最小正角； （ 3）最后利用终边相同的角写出角的一般表达式。 三、三角函数的图象与性质 1、与三角函数有关的函数的定义域 相关链接 （ 1）与三角函数有关的函数的定义域 与三角函数有关的函数的定义域仍然是使函数解析式有意义的自变量 的取值范围； 求此类函数的定义域最终归结为用三角函数线或三角函数的图象解三角不等式。 （ 2）用三角函数线解 a(a)的方法 找出使 a(a)的两个 根据变化趋势，确定不等式的解集。 （ 3）用三角函数的图象解 a(a， a)的方法 作直线 y=a，在三角函数的图象了找出一个周期内（不一定是 0， 2 ）在直线 y= 确定 a(a， a)的 出解集。 注：关于正切函数的不等式 a（ 用图象或三角函数线解决；（ 2）第（ 2）小题实际就是求使2 01 2成立的 用图象或三角函数线解决。 解答： （ 1）要使函数有意义，必须使 10 方法一：利用图象。 在同一坐标系中画出 0， 2 上 y= y=图象，如图所示：在 0， 2 内，满足 x 为4，54，再结合正弦、余弦函数的周期是 2，所以定义域为5 | 2 2 , 44k x k k Z 方法二、利用三角函数线，如图， ， 使 M，则5 ()44x 在 0,2 内。定义域为 5 | 2 2 , x k x k k Z 方法三： 0,将 为一个整体，由正弦函数 y=, 0)的函数的单调区间，基本思路是把 x+看作一个整体，由2 2 ( )22k x k k Z 求得函数的增区间，由32 k x 求得函数的减区间。 （ 3）形如 y= x+ )(A0, 0)的函数，可先利用诱导公式把 x 的系数变为正数，得到 11 y= ) ，由2 2 ( )22k x k k Z 得 到 函 数 的 减 区 间 ， 由32 2 ( )k x k k Z 得到函数的增区间。 注： 对于函数 y= x+ ),y= x+ )产单调区间的求法与 y= x+ )的单调区间的求法相同。 例题解析 例 （ 1）求函数2 ),3 , x 的单调递减区间； （ 2）求3 )64的周期及单调区间。 思路解析： 题目所给解析式中 相应不等式求单调区间。 解答： （ 1 ）由2 ),3得2 )3 ，由2 2 22 3 2k x k 得5 ,12 12k x k k Z 又 x , x712,512 12x ,1112 x .函数2 ),3x 的单调递减区间为 ， ，5， 11， 。 （ 2）函数3 )64的周期 T=414 。由3 )64得3 ),46 由2 4 6 2 得484 4 ,33k x k k Z ，函数3 )的单调递减区间为, 4k k k Z 。 3、三角函数的值域与最值 例 1 已知函数( ) 2 si n( 2 )3f x a x b 的定义域为0,2，函数的最大值为 1，最小值为 a和 思路解析： 求出2 3x 的范围a0时，利用最值求 a、 b2135 ，解得6 323 12 3 ；若 原来的1倍（纵坐标 ; 沿 坐标 A1）或缩短（ 00, 0,00)为偶函数，且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为2。 （ 1）求 f(8)的值；（ 2）将函数 y=f(x)的图象向右平移6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4倍，纵坐标不变，得到函数 y=g(x)的图象，求 g(x)的单调递减区间。 思路解析： （ 1）化简 f(x)由奇偶性和周期性求和 求 f(8)；（ 2）变换 f(x)的图象得到g(x)的解析式 求 g(x)的单调减区间。 解答： （ 1） f(x)= 3 x+ ) x+ )=232 x+ )- 12 x+ )=2x+ f(x)为偶函数，所以对 x R,f(f(x)恒成立，因此， x+ = x+ ,即 + = + - ),整理得 =0,因为 0.且 x R,所以 - )=0,又因为 00, 0, 0,2的形式； （ 2）求函数 g(x)的值域。 思路解析 ： （ 1）利用平方关系 的变形将根式化为有理式； （ 2）利用三角函数的单调性及借助于三角函数的图象确定值域。 解答： 24 22221 si n 1 c 1 si n ) ( 1 c ( 1 ) ( ) c os si n c os si n1 si n 1 c os c os si n1 si n 1 c os si n .c os si , c os c si n si n ,121 si n 1 c ) c os si n si nc os si nx x x xg x x x x xx x x x x x x x x c 2 si n( ) 17 5 5 5 5( 2) , . , ,12 4 4 3 4 4 35 3 3 5si n ,4 2 2 3x x x 由 得 令 则在 ， 上 为 减 函 数 ， 在 上 为 增 函 数 ，5 5 3 5 17si n si n , si n si n( ) si n ( , )3 4 2 4 4 1221 si n( ) , 2 2 2 si n( ) 2 4( ) 2 2 3 又 当 时 ，即故 的 值 域 为 ， 。2、三角函数的证明 相关链接 （ 1）证明三角恒等式的方法 观察等式两边的差异（角、函数、运算的差异），从解决某一差异入手（同时消除其他差异），确定人该等式的哪边证明（也可两边同时化简），当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等。 （ 2）证明三角条件等式的方法 首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始，通过变换 ，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出引进结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比 的式子，可采用换元法等。 例题解析 例 （ 1）求证：2 21 2( 3 c )t a n ;t a n 1 c xx （ 2）1ta n ta n1 已 知 + )(m 1), 求 证 ： ( + )=思路解析： （ 1）观察本题（ 1）左、右两边式子间的差异，若选择“从左证到右”，则“切化弦”的方法可用；若选择“从右证到左”，则倍角公式应是必用公式； （ 2）本题（ 2）一个条件等式的证明，应仔细观察条件与结论的差异，从解决差异入手，结论中为 25 +与的函数，而已知是与 2 +的函数，将、 2 +用 +、表示解决本题的正确方向。 解 答：（ 1）方法一： 22 2 4 4 2 2 2 2 22 2 2 222222211 si n 2si n c os si n c si n c 2 si n c 11c os si n si n c n 2 si n 24411 si n 24 4 c 4 2( 1 c ) 2( 3 c )21 1 c 1 c 1 c ( 1 c )81 2( 3 c ot a n x+t a n x x x x x x xx x x x xx x 左 边右 边s 4 )1 c 法二： 222 2 2 2442 2 2 2 2 22 2 2 222222( 2 1 c ) 2( 2 2 c ) 2( 1 c )2 si n 2 2 si n 2 4 si n c si n c si n c ( c os si n )2 si n c si n c a nt a ( 3 c )t a nt a n 1 c x x xx x x x x xx x x 右 边 =左 边 ( 2) , 2si n si n , si n c os c os si n si n c os c os si n si n c os c os si n .c os c os t a n t a n ( 1 ) , 由 得即即 (1(1+m)(1+m)两 边 同 除 以 (1得 即 等 式 成 立 。(1、三角函数式的化简及求值 相关链接 （ 1）三角函数式的化简 、化简的要求 能求出值的应求出值； 尽量使函数种数最少； 尽量使项数最少； 尽量使分母不含三角函数； 尽量使被开方数不含三角函数。 、化简的方法 26 弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂，和差化积、积化和差等。 （ 2）已知三角函数 式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： 、先化简所求式子； 观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）； 将已知条件代入所求式子，化简求值。 例题解析 例 已知3 1 10, t a n .4 t a n 3 ，求225 si n 8 si n c 1 c 2 2 2 22 si n( )2 的值 思路解析： 化简已知条件化简所
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