2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析（打包43套）
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2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析（打包43套）,年高,数学,一轮,复习,温习,热点,热门,难点,精讲精析,打包,43
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1 2014年高考一轮复习热点难点精讲精析： 性与周期性 一、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个，都有 f(f(x)，那么函数 f(x)是偶函数。 关于 奇函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个，都有 f(-f(x)，那么函数 f(x)是奇函数。 关于原点对称 注： 1、奇偶函数的定义域的特点：由于定义中对任意一个 说明奇偶函数的定义域 必关于原点对称； 2、存在既是奇函 数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零。 二、奇偶函数的性质 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 相反 （填 “相同”、“ 相反”）。 2、在公共定义域内， 亦即： （ 1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； （ 2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数； （ 3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。 注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题需先证明再利用。 3、若是奇函数 f(x)且在 x=0 处有定义，则 f(0)=0. 2 4、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称，且这是函数 具有奇偶性的必要不充分条件； 5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个 6、可逆性： )()( )( )()( )( 7、等价性：)()( 0)()( )( )()( 函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、 偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 三、周期性 1、 周期函数：对于函数 y=f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数， 2、最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期。 【热点难点全析】 一、函数奇偶性的判定 1、相关链接 利用定义判断函数奇偶性的一般步骤 ，即： （ 1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。 （ 2）若定义域关于原点对称，再判定 f( f(x)之间的关系 3 若 f(-f(x)（或 f(+f(x)=0），则为奇函数； 若 f(f(x)(或 f(-f(x)=0)，则 f(x)为偶函数； 若 f(-f(x)且 f(f(x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数 ; 若 f( f(x)且 f( - f(x)，则 f(x)既不是奇函数也不是偶函数。 图象法： 性质法： 一些重要类型的奇偶函数 （ 1） 函数 f(x)=ax+ 函数 f(x)= （ 2） 函数 f(x)=( ( ax+( ( )其中（ a0且 a 1）为奇函数； （ 3） 函数 f(x)=1x)为奇函数（ a0且 a 1） ; （ 4） 函数 f(x)= 1)为奇函数（ a0且 a 1） 2、例题解析 例 1 讨论下述函数的奇偶性： );111(1)()3(;)0)(1(1)0(0)0)(1(1)()2(;22116)()1(222 0(|)()4( 22 数 4 解： （ 1）函数定义域为 R， )(2 211614 16121116 122 2116)( x ， f(x)为偶函数； （另解）先化简：14414 116)( 然)(这可以看出，化简后再解决要容易得多。 （ 2）须要分两段讨论： 设 );()1(1111)1(1)(,0,0设 )()1(11 11)1(1)(,0,0当 x=0时 f(x)=0，也满足 f( x)= f(x)； 由、知，对 x R 有 f( x) = f(x)， f(x)为奇函数； （ 3）101 01 22 2 xx x，函数的定义域为1， f(x)=(x= 1) ，即 f(x)的图象由两个点 （ 1， 0）与 （ 1， 0）组 成，这两点既关于y 轴对称，又关于原点对称， f(x)既是奇函数，又是偶函数； （ 4） 要分 a 0与 a 0时，),0()0,(| 函数的定义域为2)(,0| ，当 a 0时， f(x)为奇函数； ,2,2,2)(,0| 2122 称的两点取定义域内关于原点对)(,0,03 35 3)2()2( 当 既不是奇函数，也不是偶函数 例 2 f（ x）是定义在（， 5 5，）上的奇函数，且 f（ x）在 5，）上单调递减， 5 试判断 f（ x）在（， 5上的单调性，并用定义给予证明 解析： 任取 5，则 5 因 f（ x）在 5， 上单调递减，所以 f（ f（ f（ f（ f（ f（ 即 f（ x）在（， 5上单调减函数 二、分段函数的奇偶性 1、分段函数奇偶性的判定步骤 （ 1） 分析定义域是否关于原点对称； （ 2） 对 求 f(X)与 f(各段上的关系； （ 3） 综合（ 2）在定义域内 f(X)与 f(关系，从而判断 f(X)的奇偶 性。 注： 奇偶性是函数的一个整体性质，不能说函数在定义域的某一段上是奇函数或偶函数。 2、例题解析 例 1 已知函数224 ( 0)()4 ( 0)xx 。试判断()分析： 确定定义域判断每一段上与 的关系判断整个定义域上与()论。 解答： 由题设可知函数的定义域关于原点对称。 当0x时，0x2222224( ) ,( ) ( ) 4 4( ) ,( ) ( ) 0 ,4( ) ,( ) ( ) 4 4( ) ,( ) ( ) ) ( )()x x x f x x x f xf x f 则当则综 上 所 述 ， 对 于 x 都 有 成 立 ，为 偶 函 数 。注： 分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内 分段讨论，讨论时可依据 断 f(x)与 f(关系，得出结论，也可以利用图象作判断 6 例 2 判断函数 的奇偶性 解析： 显然函数 f(x)的定义域为： (-， 0) (0,+ )，关于原点对称， 当 f(-(f(x)； 当 x0时 ,|1,因此结合图 象及数据特点 y=f(x)与 y=|图象交点共有 10个 . 例 2 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x+2)=-f(x).当 x 0,2时， 10 f(x)=2(1)求证： f(x)是周期函数 ; (2)当 x 2,4时，求 f(x)的解析式 ; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+ +f(2 013). 【解析】 (1) f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x). f(x)是周期为 4的周期函数 . (2)当 x 时， 0,2，由已知得 f(2(=又 f(x)是奇函数， f(-f(x)= f(x)=x. 又当 x 2,4时， , f(+2( 又 f(x)是周期为 4的周期函数， f(x)=f(+2(. 从而求得 x 2,4时， f(x)=. (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=又 f(x)是周期为 4的周期函数 , f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) = =f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0. f(0)+f(1)+f(2)+ +f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1. 五、函数奇偶性与周期性的综合应用 例 已知函数 f(x)在 f(2f(2+x)， f(7=f(7+x)且在闭区间 0,7上，只有 f(1)=f(3)=0， (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性； (2)试求方程 f(x)=0在闭区间 11,2 011上根的个数，并证明你的结论 思路分析： (1)判断函数奇偶性的一般思路是利用定义，看 f( f(x)的关系，但本题不易出现 f( f(x)，但可先假设该函数是奇函数或偶函数，看能否得出不正确的结论，进而得出结论 (即举反例来判断函数的奇偶性 ).(2)先求函数的周期， 然后在它的一个周期内求解，再由其周期性求出定义域内的全部解 解析： (1)若 y=f(x)为偶函数， 则 f(f(2-(x+2)=f(2+(x+2)=f(4+x)=f(x)， 11 f(7)=f(3)=0，这与 f(x)在闭区间 0,7上，只有 f(1)=f(3)=0矛盾；因此 f(x)不是偶函数 . 若 y=f(x)为奇函数， 则 f(0)=f()， f(0)=0,这与 f(x)在闭区间 0,7上，只有 f(1)=f(3)=0矛盾；因此 f(x)不是奇函数 综上可知：函数 f(x)既不是奇函数也不是 偶函数 . (2) f(x)=f(2+(=f(2-(=f(4 f(x)=f(7+(=f(7-(=f(14 f(14f(4即 f(10+(4=f(4 f(x+10)=f(x),即函数 f(x)的周期为 10. 又 f(1)=f(3)=0， f(1)=f(1+10n)=0(n Z)， f(3)=f(3+10n)=0(n Z)， 即 x=1+10n和 x=3+10n(n Z)均是方程 f(x)=0的根 . 由 11 1+10n 2 011及 n n=0， 1， 2， 3， ， 201，共 403个； 由 11 3+10n 2 011及 n n=0， 1， 2， 3， ， 200， 402个； 所以方程 f(x)=0在闭区间 11,2 011上的根共有 805个 . 【方法提示】 (1)如何判断函数不具有某性质 判断函数不具有某性质只需举出一个反例即可； (2)奇偶函数 根的个数问题 由于奇偶函数的定义域关于原点对称，且 f(f(x)或 f(-f(x)，所以，除去根为零外，如果有解，则解的个数为 偶数个 . 注 :方程 f(x)=A(其中 的解的个数，如果函数 f(x)为偶函数时解的个数为偶数个，如果函数 f(x)为奇函数时解的个数不一定为偶数个 六、函数的奇偶性与单调性的综合应用 例 定义在 恒有)()()( ，且)(。 （ 1）求)1( （ 2）试判断)(加以证明； （ 3）若0满足不等式0)2()1( 12 解析： （ 1）令1)1()1()1( 0)1，
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