2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析（打包43套）
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2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析（打包43套）,年高,数学,一轮,复习,温习,热点,热门,难点,精讲精析,打包,43
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1 2014年高考一轮 复习热点难点精讲精析： 一、离散型随机变量及其分布列 （一）随机变量的概念 相关链接 1所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系。这与函数概念在本质上是相同的，不同的是函数的自变量是实数，而随机变量的自变量是试验结果。 2如果随机变量可能取的值为有限个，则我们能够把其结果一一列举出来。 3随机变量是随机试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件，在学习中，要注意随机变量与以前所学的变量的区别与联系。 例题解析 例 写出 下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果。 （ 1）一个口袋中装有 2个白球和 5个黑球，从中任取 3 个，其中所含白球的个数为。 （ 2）投掷两枚骰子，所得点数之和为 X，所得点数的最大值为 Y。 思路解析： （ 1） 3个球中，可能有 1个白球，也可能有两个，还可能没有。（ 2）投掷结果为(, )中1 6,1 6 且,i j N。利用投掷结果确定 X， Y。 解答： （ 1）可取 0， 1， 2。 =0表示所取 3个球中没有白球； =1表示所取 3个球中有一个白球， 2个黑球； =2表示所取 3个球鞋中有 2个白球， 1个黑球。 （ 1） 值 2， 3， 4， 5， 12。 ， 2， 3， 6。若以(, ) X=2表示（ 1， 1）， X=3表示（ 1， 2），（ 2， 1）， X=4表示（ 1， 3），（ 2， 2），（ 3， 1）， X=12表示（ 6， 6）； Y=1表示（ 1， 1）， Y=2表示（ 1， 2），（ 2， 1），（ 2， 2）， Y=3表示（ 1， 3），（ 2， 3），（ 3， 3），（ 3， 1），（ 3， 2）， Y=6表示（ 1， 6），（ 2， 6），（ 3， 6），（ 6， 6），（ 6， 5），（ 6， 1）。 （二）离散型随机变量的分布列 2 相关链接 1分布列可由三种形式，即表格、等式和图象表示。在分布列的表格表示中，结构为 2 行 n+1 列，第 1行表示随机变量的取植，第 2行是对应的变量的概率。 2求分布列分为以下几步：（ 1）明确随机变量的取值范围；（ 2）求出每一个随机变量取值的概率；（ 3）列成表格。 注： 分布的求解应注意以下几点：（ 1）搞清随机 变量每个取值对应的随机事件；（ 2）计算必须准确无误；（ 3）注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确。 例题解析 例 一袋装有 6 个同样大小的黑球，编号为 1， 2， 3， 4， 5， 6，现从中随机 取出 3 球鞋，以 思路解析： 确定 出随机变量 出随机变量 解答： 随机变量 X 的取值为 3， 4， 5， 6，从袋中随机地取 3 个球，包含的基本事件总数为36C，事件“ X=3”包含的基本事件总数为33C，事件“ X=4”包含的基本事件总数为1213件“ X=5”包含的基本事件总数为1214件“ X=6”包含的基本事件总数为15；从而有 随机变量 X 3 4 5 6 P 1203201012（三）离散型随机变量分布列的性质 例 设离散型随机变量 X 0 1 2 3 4 P 0 2 0 1 0 1 0 3 m 3 求：（ 1） 2X+1的分布列； （ 2） |分布列。 思路解析： 先由分布列的性质，求出 m，由函数对应关系求出 2X+1和 |值及概率。 解答： 由分布列的性质知： 0 2+.3+m=1, m=首先列表为 : X 0 1 2 3 4 2X+1 1 3 5 7 9 |1 0 1 2 3 从而由上表得两个分布列为 : （ 1） 2X+1的分布列： （ 2） |分布列： 注 ： 利用分布列的性质，可以求分布列中的参数值。对于随机变量的函数（仍是随机变量）的分布列，可以按分布的定义来求。 （四）利用随机变量分布解决概率分布问题 例 某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 5 名工人，其中有 3 名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取 3名工人进行技术考核 （ 1）求从甲、乙两组各抽取的人数； （ 从甲组抽取的工人中恰有 1名女工人的概率； （ 3）记表示抽取的 3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。 解析： （ 1）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意 此分层抽样与性别无关。 4 （ 2）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。 从甲组抽取的工人中恰有 1名女工人的概率1146210815（ 3）的可能取值为 0， 1， 2， 3 12 342110 56( 0)75 ，1 1 1 214 6 3 422 1 2 110 5 10 528( 1 )75C C C C C ， 2 16 210 510( 3 )75 ，31( 2) 1 ( 0) ( 1 ) ( 3 ) 75P P P P 分布列及期望略 . 二、二项分布及其应用 （一）条件概率 相关链接 条件概率的求法 （ 1）利用定义，分别求 P（ A）和 P（ 得 P（ B|A） =P（ （ A）。 （ 2）借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再在事件 A 发 生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即 n(得 P(B|A)= n( n(A). 例题解析 例 1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球 ,2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球 ,现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2号箱 ,然后从 2号箱随机取出一球 ,问从 2号箱取出红球的概率是多 少 ? 思路解析 :本题可分为两种互斥的情况 :一是从 1号箱取出红球 ;二是 1号箱取出白球 解答 :记事件 A:最后从 2号箱中取出的是红球 ;事件 B:从 1号箱中取出的是红球 . 则 P(B)=4/(2+4)=2/3,1( ) 1 ( ) 3B P B |B)=(3+1)/(8+1)=4/|B)=3/(8+1)=1/)=P(P( P(A|B) P(B)+ P(A|B)P( )=4/9 2/3+13 =1127. (二 )事件的相互独立性 相关链接 是否相互独立的方法 (1)利用定义 : 事件 A、 (P(A) P(B). 5 (2)利用性质 :相互独立 ,则 与 B, (3)具体背景下 : 有放回地摸球 ,每次摸球结果是相互独立的 . 当产品数量很大时 ,不放回抽样也可近似看 作独立重复试验 . 要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生 ”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义 、 B，它们的概 率分别为 P（ A）、 P（ B），则 A、 B； A、 B； A、 A、 B B； A、 BA。 注 :两事件互斥是指两个事件不可能同时发生 ;两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响 中要注意两者的区别 ,以免出现计算错误 . 例题解析 例 甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空 局时停止 各局胜负相互独立 （） 打满 3局比赛还未停止的概率； （）比赛停止时已打局数的分别列与期望 E. 解析： 令,k k 、丙在第 （）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公 式知，打满 3局比 赛还未停止的概率为 1 2 3 1 2 3 331 1 1( ) ( ) 4P A C B P B C A （）的所 有可能值为 2， 3， 4， 5， 6，且 1 2 1 2 221 1 1( 2) ( ) ( ) ,2 2 2P P A A P B B 1 2 3 1 2 3 331 1 1( 3 ) ( ) ( ) 4P A C C P B C C 6 1 2 3 4 1 2 3 4 441 1 1( 4) ( ) ( ) 8P P A C B B P B C A A 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 55 1 1( 5 ) ( ) ( ) ,2 2 16P A C B A A P B C A B B 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 1 1( 6) ( ) ( ) ,2 2 16P A C P B C A B C 故有分布列 从而1 1 1 1 1 472 3 4 5 62 4 8 16 16 16E （局） . (三 )二项分布 相关链接 (1)每次试验中 ,事件发生的概率是相同的 . (2)各次试验中的事件是相互独立的 . (3)每次试验只有两种结果 :事件要么发生 ,要 么不发生 . (4)随机变量是这 (1)记“事件”或设“事件” . (2)确定事件的性质 斥事件、独立事件、独立重复试验 (3)判断事件的运算是和事件还是积事件 ,即事件是至少有一个发生 ,还是同时发生 ,然后分别运用相加或相乘公式 . (4)运用公式进行计算 . (5)简明写出答案 . 例题解析 例 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训 ,以提高下岗人员的再就业能力 加 两项培训或不参加培训 0%,参加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的 ,且各人的选择相互之间没有影响 . 2 3 4 5 6 P 118116 7 (1)任选 1名下岗人员 ,求该人参加过培训的概率 ; (2)任选 3名下岗人员 ,记为 3人中参加过培训的人数 ,求的分布列 . 思路解析 :(1)利用相互独立事件的概率乘法公式 ;(2)应用二项分布求解 . 解答 :(1)任选 1名下岗人员 ,记“该人参加过财会培训”为事件 A，“该人参加计算机培训”为事件 B，由题意知， 相互独立，且 P（ A） =(B)=该下岗人员没有参加过培训的概率为 P( )=P( ) P( )=(该人参加过培训的概率为 (2)因为每个人的选择是相互独立的 ,所以 3 保参加过培训的人数服从二项分布 ,即B(3,P(=k)=33 0 , 1 , 2 , 3 ,k k 的分布列为 0 1 2 3 P 四 )独立重复试验 例 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分布是23和34。假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响。 (1)求甲射击 4次 ,至少有 1次未击中目标的概率 ; (2)求两人各射击 4次 ,甲恰好击中目标 2次且乙恰好击中目标 3次的概率 ; (3)假设某人连续 2次未击中目标 ,则中止其射击 . 问 :乙恰好射击 5次后 ,补中止射击的概率是多少 ? 思路解析 :(1)至少一次未击中 ,包含情况多 ,可求其对立事件的概率 ; (2)甲恰好击中目标 2次与乙恰好击中目标 3次相互独立 ; (3)乙恰好射击 5次被中止 ,相当于前 2次射击至少有一次击中 ,第 3次击中 ,第 4次、第 5次未击中 . 解答 :(1)记“甲连续射击 4 次至少有 1次未击中目标”射击 4次相当于作 4次独立重复试验 (1A)=1)=1-(23)4=6581, 所以甲连续射击 4次至少有一次未击中目标的概率为6581(2)记“甲射击 4次，恰有 2次击目标”为事件2A， “乙射击 4次，恰有 3次击中目标”为事件2B， 8 则2 2 4 2243 3 4 3242 2 8( ) ( ) (1 ) ,3 3 273 3 27( ) ( ) (1 ) ,4 4 64P A C 由于甲、乙射击相互独立， 故2 2 2 2 8 17 1( ) ( ) ( ) 27 64 8P A B P A P B 。 所以两人各射击 4次，甲恰有 2次击中目标且乙恰有 3 次击中目标的概率为18。 （ 3）记“乙恰好射击 5次后被中止射击”为事件A，“乙第事件( 1, 2, 3, 4, 5),3 5 4 3 2 1 2 1 2 1 1( ) , ( ) D D D D D D D D P D 且由 于各事件相互独立，故 3 5 4 3 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 3 1 1 45( 1 ) 4 4 4 1024P A P D P D P D P D D D D D D 所以乙恰好射击 5次后被中止射击的概率为451024。 注： （ 1）独立重复试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。（ 2）在 件 （ X=k） =(1 ) , 0 , 1 , 2 , , .k k n p p k n在利用该公式时一定要审清公式中的 n, 三、离散型随机变量的均值与方差的计算 （一）离散型随机变量均值与方差的计算 相关链接 求离散型随机变量均值与方差的方法： （ 1）理解 的意义，写出 可能取的全部值； （ 2）求取每个值的概率； （ 3）写出 的分布列； （ 4）由均值的定义求 E； （ 5）由方差的定义求 D。 9 注： （ 1）随机变量的均值等于该随机变量的每一个取值与取该值时对应的概率乘积的和。 （ 2）均值（数学期望）是随机变量的一个重复特征数，它反映或刻画的是随机变量值的平均水平，均值（数学期望）是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均。 （ 3） 一个实数，即 X 作为随机变量是可变的，而 不变的。 例题解析 例 甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队 3人，每人回 答一个问题，答对者为本队赢得一分， 答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为2，乙队中 3人答 对的概率分别为21,32,32且各人正确与否相互之间没有影响 （）求随机变量分布列和数学期望； ( )用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件，用 B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求 P( 解答： ( )解法一：由题意知，的可能取值为 0， 1， 2， 3,且 0 3 1 2332 2 3 3 32 1 2 2 2( 0) ( 1 ) , ( 1 ) ( 1 ) ,3 27 3 3 92 2 4 2 8( 2) ( ) ( 1 ) , ( 3 ) ( ) 9 3 27P C P P C 所以的分布列为 0 1 2 3 P 2719294278的数学期望为 解法二：根据题设可知)32,3(B因此的分布列为 2323),32,3(,1,0,32)321()32()(3323 为（）解法一：用 得 2分乙得 1分”这一事件，用 得 3分乙得 0分”这一事件，所以 D,且 C、 10 ,34)213131()32()(,310213132213231213132)321()32()(5232423224334334354310)()()(54 队得 k 分 ” 这一事件，用 队得 k 分”这一事件， k=0,1,2,3 由于事件2事 P(P(P(P( =2213121(32)2131()32(2212323223 求离散型随机变量分布列时要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率。求随机变量 的分布列，关键是概率类型的确定与转化，如古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、 （二）均值与方差的实际应用 相关链接 1 对 平均偏离程度， 大表明平均偏离程度越大，说明 之， X 附近，统计中常用的分散程度。 2随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比 较均值，若均值相同，再用方差来决定。 例题解析 例 现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是 元、 元、 元的概率分别为16、2、3；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是 p(0p1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整。记乙项目产品价格在一年内的下降次数为 X，对乙项目每投资十万元， X 取 0、 1、 2 时。随机变量1X，2分别表示对甲、乙两项目各投资十万 11 元一年后的利润。 （ 1）求1X，2的概率分布列和均值1； （ 2）当1时，求 思路解析： （ 1）求分布列，应先确定2求2 （ 2）由1，找出关于 可 求出 解答： （ 1）方法一：111 2 1 18 1 17 P 16231 26+1 182+1 173=1 18。 由题设得 X B（ 2， p），即 X 0 1 2 p (1 2p(1223 1 25 0 2 P (1 2p(1以22 3 (1+1 25 2p(1 0 2 法二 : 112 1 18 1 17 P 1612131 216+1 1812+1 173=1 18。 设格下降”（i=1， 2），则 P(X=0)=P(1A)P(2)=(1, P(X=1)=P(1)P(2A)+P(1)P(2A)=2p(1 12 P(X=2)=P(1A)P(2)=故223 1 25 0 2 P (1 2p(1以22 3 (1+1 25 2p(1 0 2 2)由1 - 理得 (p+ 0, 解得 p 因为 0 p 1,所以当1时 , p (三 )均值与方差性质的应用 例 设随机变量具有分布 P(=k)=5,k=1,2,3,4,5,求 E(+2)2,D(2( 思路解析 :利用性质()E a b aE b ,2D a a D. 解答 : 2 2 2 2 22 2 2 2 22 2 21 1 1 1 1 151 2 3 4 5 3 ,5 5 5 5 5 51 1 1 1 11 2 3 4 5 11 ,5 5 5 5 51 1 1 1 1 1( 1 3 ) ( 2 3 ) ( 3 3 ) ( 4 3 ) ( 5 3 ) ( 4 1 0 1 4) 2 ,5 5 5 5 5 5( 2) ( 4 4) 4 4 11 12 4 27.( 2 1 ) 4 8( 1 ) E ( 1 ) 2 注 : 是随机变量 ,则()f一般是随机变量 ,在求的均值和方差时 ,熟练应用均值和方差的性质 ,可以避免再求的分布列带来的繁琐运算 . 四、正态分布 （一）正态分布下的概率计算 相关链接 关于正态总体在某个区间内取值的概率求法 （ 1）熟记( ) , ( 2 2 ) , ( 3 3 )P X P X P X 的值。 13 （ 2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与 。 注： 在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x ，而不是0( 0)x 。 例题解析 例 设 X N（ 5， 1），求 P（ 6 X 7）。 思路解析： 根据() ，求 P（ 4 X 6）根据( 2 2 ) ，求 P（ 3 X 7）根据正态 曲线对称性，求 P（ 6 X 7） 解答： 由已知5, 1. P（ 4
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