高中数学第一章导数及其应用课件+教案（整章）新课标人教A版选修2【精品打包】
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3.6
积分
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高中数学
第一章
导数
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高中数学第一章导数及其应用课件+教案（整章）新课标人教A版选修2【精品打包】,高中数学,第一章,导数,及其,应用,利用,运用,课件,教案,整章,新课,标人教,选修,精品,打包
- 内容简介：
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化率与导数 一创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了 函数 ，随着对函数的研究，产生了 微积分 ，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数 ,求物体在任意时刻的速度与加速度等 ; 二、求曲线的切线 ; 三、求已知函数的最大值与最小值 ; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数 是微积分的 核心 概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数 研究的问题即 变化率问题 ： 研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度 姚明身高变化曲线图 (部分 ) 年龄 身高 4 7 10 13 16 19 22 气球膨胀率问题 1 ,):(:,334之间的函数关系是位单与半径单位气球的体积我们知道 .,343么的函数表示为体积如果把半径在吹气球的过程中 , 可发现 ,随着气球内空气容量的增加 , 气球的半径增加得越来越慢 . 从数学的角度 , 如何描述这种现象呢 ? ,.,气球半径增加了时增加到从当空气容积 ./. 气球的平均膨胀率为 ,.,增加了气球半径时增加到当空气容量从类似地 ./. 气球的平均膨胀率为.,胀率逐渐变小了它的平均膨随着气球体积逐渐变大可以看出?,均膨胀率是多少气球的平时增加到当空气的容量从思考 21 2121r V r V高台跳水问题 2 .:,1056942 v ;/., 这段时间里在 ./., 这段时间里在播放 暂停 停止 2121h t h t t 65049,:1?2?t探 究 计 算 运 动 员 在 这 段 时 间里 的 平 均 速 度 并 思 考 下 面 的 问 题运 动 员 在 这 段 时 间 里 是 静 止 的 吗你 认 为 用 平 均 速 度 描 述 运 动 员 运 动状 态 有 什 么 问 题 吗探究过程：如图是函数 h(t)= 0的图像，结合图形可知， ， 所以， )0()4965( )/(004965)0()4965(虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态 49650 t)/(0 h O 65496598t ,.,1212211212a n g a t ea v er a g 即表示用习惯上的到从数我们把这个式子称为函示表式子那么问题中变化率可用表示函数关系用如果上述两个问题中的平均变化率., 相乘与而不是是一个整体符号 112 2 1 ,; , .x x xx x y f x f x 可 把 看 作 是 相 对 于 的 一 个 增 量 可 用代 替 类 似 地,. 于 是 平 均 变 化 率 可 表 示 为 ?,O 12 12 12 1x 2直线 A B 例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间 3 , 1上的平均变化率 ； (2) 求函数 f (x) = 1的平均变化率。 (1)解： y=f ( f (4 x=2 422 (2)解： y=f (x+ x)- f (x) =2 x x+( x )2 22 ( )2y x x 练习 f(x)=(2)及临近一点 B(x,y),则 y/x=( ) A . 3 B . 3x)2 C . 3-(x)2 D . 3D 3.求 y=x= 2质 点 运 动 规 律 s = t + 3 , 则 在 时 间 ( 3 , 3 + t ) 中相 应 的 平 均 速 度 为 ( )9A . 6 + t B . 6 + t + C . 3 + t D . 9 + 结： (1)求函数的增量： y=f(f( (2)计算平均变化率： 1212 )()(y 1212 )()(y 定义 ：函数 y=f(x)在 x=0000( ) ( )m l x x f ,|)( 00 或 000 00( ) ( )( ) l im l x x f 即 ：我们称它为函数 y=f(x)在 x=记作 : 回顾 由导数的意义可知 ,求函数 y=f(x)在点 00( 1 ) ( ) ( ) ;y f x x f x 求 函 数 的 增 量00( ) ( )( 2 ) ;f x x f 求 平 均 变 化 率0 0( 3 ) ( ) l 取 极 限 ， 得 导 数)2(),1(),(,)(1 2 求：设例的值代入求得导数值。再将自变量义求思路：先根据导数的定 ),( ()(02200解：由导数的定义有422)()2(2)1(2)()1(21处的导数。在：求函数例 12 1111解法一：21111 1解法二：1121 1 100( ) ( )( ) l im l f x x f xf x 在不致发生混淆时， 导函数 也简称 导数 000( ) ( )( ) ( ) ( ).y f x x f xf x f x x函 数 在 点 处 的 导 数等 于函 数 的 导 函 数 在 点 处 的函 数 值什么是导函数 ? 由函数 f(x)在 x=当 x=f(是一个确定的数 当 f(是 我们叫它为 f(x)的导函数 下面来看导数的几何意义 : y=f(x) P Q M x y O x y 如图 ,曲线 y=f(x) 的图象 ,P(x0,曲线 任意一点 ,Q( x, y) 为 的割线 , 为 倾斜角 . .t a n,:请 问 ： 是 割 线 什 么 ?斜率 ! P Q o x y y=f(x) 割线 切线 T 请看当点 接近时 ,割线 逐渐转动的情况 . 我们发现 ,当点 即 x 0时 ,割线 处的 切线 . 设切线的倾斜角为 ,那么当 x0 时 ,割线 称为曲线在点 线的斜率 . 即 : 000 00( ) ( )( ) l im l x x f f 切 线这个概念 : 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 ; 切线斜率的本质 函数在 x= 导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 是曲线 y=f(x)在点 P(f(处的切线的斜率 . 即 : 0( )k f x切 线故 曲线 y=f(x)在点 P(f(处的切线方程是 : )()( 000 /0 0 0/0/01 y = f ( x ) P ( x , f ( x ) ) f ( x )y2 f ( x ) 0 , x ) 0 , （ ） 若 曲 线 在 点 处 的 导 数不 存 在 ， 就 是 切 线 与 轴 平 行 。（ ） 切 线 与 轴 正 方 向 夹 角 为 锐 角 ， 切 线的 斜 率 为 正 ， 切 线 与 轴 正 方 向 夹 角 为 钝 角 ，切 线 的 斜 率 为 负 。例 1:求曲线 y=f(x)=在点 P(1,2)处的切线方程 . Q P y = x 2 +1 x y - 1 1 1 O j M y x 21(1)1()(020000切线方程为 (即 y=2x. （ 1）求出函数在点 ， 得到曲线在点 (x0,f(的 切线的斜率 。 )( 0（ 2）根据直线方程的 点斜式写出切线方程 ， 即 ).)()( 000 求切线方程的步骤： 练 习 线 点点 处 线 点 处 线318： 已 知 曲 y = x 上 一 P ( 2 , ) ， 求 ：33( 1 ) P 的 切 的 斜 率 ； （ 2） 方 程.)(33)(33311)1(2220322033003解：22 . (2)在点 =4(即 12. .,.,较曲线请描据图象根图象的数时间变化的函示跳水运动中高度随它表如图例210210569431120t 1t 2的变化情况刻画曲线在动点附近利用曲线在动点的切线 .,变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解10 .,.,几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当00001 .,.,附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当11111102 .,.,单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当122222 03 .,t 1t 220. 30. 40. 60. 70. 90. 01. .,.,.,.,(, 它表示从图象上看在此时刻的导数药物浓度就是度的瞬时变化率血管中某一时刻药物浓解,., ,11 .,.,. 41804180以它的斜率约为处的切线作.,这些值是否正确一下验证时变化率的估计值下表给出了药物浓度瞬 417004080604020. 1）求出函数在点 ，得到曲线 在点 (x0,f(的切线的斜率。 )( 0（ 2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 ).)()( 000 求切线方程的步骤： 小结 : 无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。 作业 : 23 4 2y x x M 2. 求 曲 线 在 点 （ 1 ， 1 ） 处 的切 线 方 程 。处的导数。在求函数 求 双 曲 线 过 点 （ ， ） 的 切 线 方 程 3 求 双 曲 线 过 点 （ ， ） 的 切 线 方 程 (故所求切线方程为）的切线斜率为，（所以，这条双曲线过点，）（）（）（解：因为练习 1 . 1 . 2 导 数 的 概 念一创设情景 （一）平均变化率 （二） 探究： 在高台跳水运动中 ,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为 瞬时速度 . 又如何求 瞬时速度呢 ? ?,?,.).t a n(.,时的瞬时速度是多少比如度呢如何求运动员的瞬时速那么度在某时刻的瞬时速她他度不一定能反映运动员的平均速的速度称为我们把物体在某一时刻是不同的度运动员在不同时刻的速在高台跳水运动中2tv e l oc i ye ou si .,.,;,.,22222202200222二新课讲授 1瞬时速度 在 2, 2 + t 这段时间内 1v 当 t = 1 3 9v 当 t = 0 9 5 t = 1 0 4 t = 1 3 . 0 9 9 5 1v 当 t = 1 3 . 1 0 0 4 9v 当 t = 0 9 9 9 5 v t = 1 0 0 0 4 v t = 1 3 . 0 9 9 9 9 5 1v t = 1 3 . 1 0 0 0 0 4 9v t = 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 . 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢 ? 2 时 ,平均速度有什么变化趋势 ? .,1132220个确定的值平均速度都趋近于一时一边趋近于还是从大于的一边从小于即无论时趋近于当我们发现 ,.,|,时的瞬时速度是员在运动因此时的瞬时速度就无限趋近于速度平均无限变小时时间间隔从物理的角度看 .,1302113220定值趋近于确平均速度时趋势近于当表示我们用为了表述方便 . 时的极限趋近于当是我们称确定值 022113 定义 : 函数 y = f (x) 在 x = 的瞬时变化率是 )(称为函数 y = f (x) 在 x = 的 导数 , 记作 000 0( ) ( ) ( ) l i m x x f )( 0或 , 即 0| 。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与 000 )(.1 的具体取值无关。与 )(一概念的两个名称。 求函数 y = f (x)的导数的一般方法 : 2. 求平均变化率 3. 求值 );()( 00 00 ;)()( 00一差、二比、三极限 例 1. (1)求函数 y=3x=1处的导数 . (2)求函数 f(x)=x在 x=求出在该点处的导数 (3)质点运动规律为 s=，求质点在 t=3的瞬时速度 . 三典例分析 .,62)57:,.,220并说明它们的意义的瞬时变化率原油温度时和第计算第为单位的温度原油时如果在和加热行冷却油进对原需要品产柴油、塑胶等各种不同将原油精炼为汽油、例,根据导数的定义 22 . 6262 , 是原油温度的瞬时变化率时和第在第解 1527215272 22 ,374 2 ,330 . 56 ,;/,.,的速率上升原油温度大约以附近在率下降的速原油温度大约以附近它说明在第与分别为原油温度的瞬时变化率时与第在第 ., 情况附近的变化反映了原油温度在时刻一般地 00 物体作自由落体运动 ,运动方程为： 其中位移单位是 m,时间单位是 s,g=10m/ (1) 物体在时间区间 2,的平均速度； (2) 物体在时间区间 2,的平均速度； (3) 物体在 t=2(s)时的瞬时速度 . 221分析 : _00( ) ( ) 12 ( )2s t t s g g 2001( ) ( ) 2 ( )2s s t t s t g t g t 解 : )(212_s + t )(1)将 t= : ./(2)将 t= : ./ 的极限为：从而平均速度当_,22,0)3(./202小结： 1求物体运动的瞬时速度： （ 1）求位移增量 s=s(t+ t)-s(t) (2)求平均速度 （ 3）求极限 ;00( ) ( ) .l i m l i s t t s 2由导数的定义可得求导数的一般步骤： （ 1）求函数的增量 y=f(t)-f(2) 求平均变化率 （ 3）求极限 00() l i 化率问题 教学目标： 1理解平均变化率的概念； 2 了解平均变化率的几何意义 ； 3会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点： 平均变化率的概念 、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点： 平均变化率的概念 教学过程： 一 创设情景 为了描述 现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数 ,求物体在任意时刻的速度与加速度等 ; 二、求曲线的切线 ; 三、求已知函数的最大 值与最小值 ; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数 研究的问题 即 变化率问题 ： 研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度 二 新课讲授 （一）问题提出 问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 ,可以发现 ,随着气球内空气容量的增加 ,气球的半径增加越来越慢 如何描述这种现象呢 ? 气球的体积 V(单位 :L)与半径 r(单位 :间的函数关系是 334)( 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数 ,那么3 43)( 分析 : 3 43)( ， 当 V 从 0 增加到 1 时 ,气球半径增加了 )()1( 气球的平均 膨胀率 为 )/(0()1( 当 V 从 1 增加到 2 时 ,气球半径增加了 )()2( 气球的平均 膨胀率 为 )/(1()2( 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了 思考： 当 空气容量从 加到 ,气球的平均膨胀率是多少 ? 1212 )()( 问题 2 高台跳水 在高台跳水运动中 ,运动员相对于水面的高度 h(单位： m)与起跳后的时间 t（单位： s）存在函数关系 h(t)= v 度粗略地描述其运动状态 ? h t o 思考计算： t 和 21 t 的平均速度 v 在 t 这段时间里， )/(0()； 在 21 t 这段时间里， )/(1()2( 探究： 计算运动员在49650 思考以下问题： 运动员在这段时间内使静止的吗？ 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程： 如图是函数 h(t)= 0 的图像， 结合图形可知， )0()4965( ， 所以 )/(004965)0()4965( ， 虽然运动员在49650 (0 但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态 （二） 平均变化率 概念 : 1 上述问题中的变化率可用式子 1212 )()( xx 表示 , 称为函数 f(x)从 2 若设 12 , )()( 12 (这里 x 看作是对于 一个 “增量 ”可用x 代替 样 )()( 12 ) 3 则平均变化率为 x )()()()( 1112 12思考： 观察函数 f(x)的图象 平均变化率 2 12 )()( xx 表示什么 ? 直线 斜率 x1 y y=f(x) f(f( x= y =f(f(x 三 典例分析 例 1 已知函数 f(x)= 2 的 图 象 上 的 一 点 )2,1( A 及 临 近 一 点)2,1( ,则 解： )1()1(2 2 ， xx 32)1()1(2 例 2 求 2在0近的平均 变化率 。 解： 2020 )( ，所以2020 )( 0202020 22 所以 2在0近的平均 变化率为 02四课堂练习 1 质点运动规律为 32 则在时间 )3,3( t 中相应的平均速度为 s(t)=3t2+t+4 的规律作直线运动 ,求在 4s 附近的平均变化率 . y=f(x)=（ 1， 1）和 Q (1+ x,1+ y)作曲线的割线，求出当 x=割线的斜率 . 五 回顾总结 1平均变化率的概念 2函数在某点处附近的平均变化率 六布置作业 25 3 t 数的概念 教学目标： 1 了 解 瞬时速度、瞬时变化率 的概念； 2 理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵 ； 3会求函数在某点 的 导数 教学重点： 瞬时速度、瞬时变化率的概念 、 导数的概念 ； 教学难点： 导数的概念 教学过程： 一 创设情景 （一）平均变化率 （二） 探究： 计算运动员在49650 思考以下问题： 运动员在这段时间内使静止的吗？ 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程： 如图是函数 h(t)= 0 的图像，结合图形可知， )0()4965( ， 所以 )/(004965)0()4965( ， 虽然运动员在49650 (0 但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态 二 新课讲授 1 瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为 瞬时速度 。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么， 如何求 运动员的瞬时速度呢？比如， 2t 时的瞬时速度是多少？考察 2t 附近的情况： 思考： 当 t 趋近于 0 时， 平均速度 v 有什么样的变化趋势？ 结论：当 t 趋近于 0 时，即无论 t 从小于 2 的一边，还是从大于 2 的一边趋近于 2 时，h t o 平 均速度 v 都趋近于一个确定的值 从物理的角度看，时间 t 间隔无限变小时，平均速度 v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在 2t 时的瞬时速度是 为了表述方便，我们用0( 2 ) ( 2 )l i m 1 3 . 1th t 表示“当 2t ， t 趋近于 0 时，平均速度 v 趋近于定值 ” 小结： 局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 2 导数的概念 从函数 y=f(x)在 x=的瞬时变化率是 : 0000( ) ( )l i m l i x x f x 我们 称它为函数 ()y f x 在0的 导数 ，记作 0()|，即 000 0 ( ) ( )( ) l i mx f x x f x 说明：（ 1）导数即为 函数 y=f(x)在 x=（ 2）0x x x ，当 0x 时，0所以000 0( ) ( )( ) l i x f 三 典例分析 例 1 （ 1） 求函数 y=3 x=1处的导数 . 分析： 先求 f= y=f( x) )=6 x+( x)2 再求6f 再求 0x 解： 法一（略） 法二： 2 2 2 21 1 1 13 3 1 3 ( 1 )| l i m l i m l i m 3 ( 1 ) 611x x x （ 2） 求 函数 f(x)= 2 在 1x 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 解： xx 32)1()1(2 200( 1 ) ( 1 ) 2( 1 ) l i m l i m ( 3 ) 3x 例 2（课本例 1） 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第 ，原油的温度（单位： C ） 为 2( ) 7 1 5 ( 0 8 )f x x x x ，计算第 2h 时和第 6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义 解：在第 2h 时和第 6h 时，原油温度的瞬时变化率就是 (2)f 和 (6)f 根据导数定义， 0( 2 ) ( )f x f 22( 2 ) 7 ( 2 ) 1 5 ( 2 7 2 1 5 ) 3xx 所以00( 2 ) l i m l i m ( 3 ) 3 同理可得 : (6) 5f 在第 2h 时和第 6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为 3 和 5，说明在 2h 附近，原油温度大约以 3/第 6h 附近，原油温度大约以 5/ 注：一般地， 0() 四课堂练习 1 质点运动规律为 32 求质点 在 3t 的 瞬时 速度为 2求 曲线 y=f(x)= 1x 时的导数 3例 2 中，计算第 3h 时和第 5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义 五 回顾总结 1 瞬时速度、瞬时变化率的概念 2 导数的概念 六布置作业 数的几何意义 教学目标： 1 了 解 平均 变化率 与割线斜率之间的关系 ； 2 理解 曲线的切线的概念 ； 3 通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 教学重点： 曲线的切线的概念 、 切线的斜率 、 导数的 几何意义 ； 教学难点： 导数的 几何意义 教学过程： 一创设情景 （一） 平均变化率 、 割线的斜率 （二） 瞬时速度、 导数 我们知道，导数表示 函数 y=f(x)在 x=映了函数 y=f(x)在 x=数0()几何意义是什么呢？ 二新课讲授 （一）曲线的切线 及切线的斜率 ：如图 ( , ( ) ( 1, 2 ,3, 4 )n n nP x f x n 沿着曲线 (), ( )P x f 线 我们发现 ,当点 即 x 0 时 ,割线个确定位置的 直线 为曲线在点 P 处的 切线 . 问题： 割线T 的斜率 k 有什么关系？ 切线 斜率 k 为多少？ 容易知道，割线) ( )nn nf x f xk ,当点 着曲线无限接近点 P 时， 限趋近于切线 斜率 k ，即 0000 ( ) ( )l i m ( )x f x x f xk f 说明： （ 1） 设切线的倾斜角为 ,那么当 x 0 时 ,割线 斜率 ,称为曲线在点 P 处的切图 的斜率 . 这个概念 : 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 ; 切线斜率的本质 函数在0的导数 . （ 2） 曲线在某点处的切线 :1)与该点的位置有关 ;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解 则在此点有切线 ,且切线是唯一的 ;如不存在 ,则在此点处无切线 ;3)曲线的切线 ,并不一定与曲线只有一个交点 ,可以有多个 ,甚至可以无穷多个 . （二）导数的几何意义 ： 函数 y=f(x)在 x=导数等于在该点00( , ( )x f 即 000 0 ( ) ( )( ) l i mx f x x f xf x 说明： 求曲线在某点处的切 线方程的基本步骤 : 求出 P 点的坐标 ; 求出函数在点000 0 ( ) ( )( ) l i mx f x x f xf x ，得到曲线在点00( , ( )x f 利用点斜式求切线方程 . （二）导函数 ： 由函数 f(x)在 x=求导数的过程可以看到 ,当时 ,0()一个确定的数 ， 那么 ,当 便是 x 的一个函数 ,我们叫它为 f(x)的导函数 ()或 y ， 即 : 0( ) ( )( ) l i x x f xf x y x 注： 在不致发生混淆时，导函数也简称导数 （三） 函数 ()导函数 ()、导数 之间的区别与联系。 1）函数在一点处的导数0()就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。 2）函数的导数，是指某一区间内任意点 x 而言的 ， 就是函数 f(x)的导函数 3） 函数 ()0()在0的 函数值， 这也是 求函数在点0 三 典例分析 例 1:（ 1） 求曲线 y=f(x)= 在点 P(1,2)处的切线方程 . （ 2） 求函数 y=3 点 (1,3) 处的导数 . 解： （ 1） 2 2 21 00 ( 1 ) 1 ( 1 1 ) 2| l i m l i m 2x x xy , 所以，所求切线的斜率为 2，因此，所求的切线方程为 2 2 ( 1) 即 20 （ 2） 因为 2 2 2 21 1 1 13 3 1 3 ( 1 )| l i m l i m l i m 3 ( 1 ) 611x x x 所以，所求切线的斜率为 6，因此，所求的切线方程为 3 6 ( 1) 即 6 3 0 （ 2） 求 函数 f(x)= 2 在 1x 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 解： xx 32)1()1(2 200( 1 ) ( 1 ) 2( 1 ) l i m l i m ( 3 ) 3x 例 2（课本例 2） 如图 表示跳水运动中高度随时间变化的函数 2( ) 4 . 9 6 . 5 1 0h x x x ， 根据图像，请描述、比较曲线 () 0t 、 1t 、 2t 附近的变化情况 解：我们用曲线 ()0t、1t、2画曲线 ()上述三个时刻附近的变化情况 （ 1） 当0，曲线 ()0， 所以 ，在 0附近曲线比较平坦，几乎没有升降 （ 2） 当1，曲线 ()1) 0，所以，在1近曲线下降，即函数 2( ) 4 . 9 6 . 5 1 0h x x x 在1近单调递减 （ 3） 当2，曲线 ()2) 0，所以，在2近曲线下降，即函数 2( ) 4 . 9 6 . 5 1 0h x x x 在2近单调递减 从 图 以看出，直线1说明曲线在1 例 3（课本例 3） 如图 表示人体血管中药物浓度 ()c f t (单位： /mg 随时间 t （单位： 变化的图象根据图像，估计 0 . 2 , 0 . 4 , 0 . 6 , 0 . 8t 时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到 解： 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度 ()此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线 () 此点处的切线的斜率 如图 出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值 作 处的切线，并在切线上去两点，如 (， (，则它的斜率为：0 . 4 8 0 . 9 1 1 . 41 . 0 0 . 7k 所以 (0 1 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值： t 物浓度瞬时变化率 () 课堂练习 1 求曲线 y=f(x)= 点 (1,1) 处 的 切线； 2 求曲线 在点 (4,2) 处的切线 五回顾总结 1 曲线 的切线及切线的斜率； 2 导数 的几何意义 六布置作业 几个常用函数的导数 一、复习 过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值 ;物理学中 ,物体运动过程中 ,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等 ,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式 ,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式 导数 ,导数源于实践 ,又服务于实践 . ( 1 ) ( ) ( ) ;y f x x f x 求 函 数 的 增 量( 2 ) :( ) ( );y f x x f 求 函 数 的 增 量 与 自 变 量 的 增 量 的 比 值0( 3 ) ( ) l f 求 极 限 ， 得 导 函 数说明 :上面的方法中把 x换 导数 . 说明 :上面的方法中把 x换 导数 . f(x)在点 就是导函数 在 x= 即 处的导数的方法之一。 )( 0 )( 0|)()( 0 y=f(x)在点 就是曲线 y= f(x)在点 P(f(处的切线的斜率 . （ 1）求出函数在点 ，得到曲线 在点 (x0,f(的切线的斜率。 )( 0（ 2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 ).)()( 000 二、新课 几种常见函数的导数 根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式 . 公式 1: . 0 ( ) 为 常 数0: ( ) , ( ) ( ) , 0 ,( ) l i m 0 f x C y f x x f x C x 解1) 函数 y=f(x)= 请同学们求下列函数的导数 : 22 ) ( ) ,3 ) ( ) ,14 ) ( ) ,y f x xy f x xy f 1y 212示 y= 这又说明什么 ? 公式 2: . )()( 1 看几个例子 : 例 （ 1）， Q（ 2， 4）是曲线y=与直线 y= ;( 2 ) 1 1 .y x y 例 2. 已 知 ， (1) 求求 曲 线 在 点 （ ， ） 处 的 切 线 方 程练习 y=1,1)处的切线与 线 x=2所围城的三角形的面积。 四、小结与作业 线斜率有关的较为综合性问题 . 的导数 2 1, , , ,y c y x y x 公式 1: . 0 ( ) 为 常 数(本初等函数的导数公式 及导数的运算法则 我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式 11 . ( ) , ( ) 0 ;2 . ( ) , ( ) ;3 . ( ) s i n , ( ) c o s ;4 . ( ) c o s , ( ) s i n ;5 . ( ) , ( ) l n ( 0 ) ;6 . ( ) , ( ) ;17 . ( ) l o g , ( ) ( 0 , 1 ) ;x c f xf x x f x n xf x x f x xf x x f x xf x a f x a a af x e f x ef x x f x a 公 式 若 则公 式 若 则公 式 若 则公 式 若 则公 式 若 则公 式 若 则公 式 若 则 且公 式 若1( ) l n , ( ) ;f x x f 则导数的运算法则 : 法则 1:两个函数的和 (差 )的导数 ,等于这两个函数的导数的和 (差 ),即 : ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x 法则 2:两个函数的积的导数 ,等于第一个函数的导数乘第二个函数 ,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x 法则 3:两个函数的商的导数 ,等于第一个函数的导数乘第二个函数 ,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) 0 )() ()f x f x g x f x g 例 y=的导数 . 4:1(1 ) . ; ( 2 ) . .y y x 练 习 .%982;%901:,1., ?2导数呢如何求函数思考 .,2的函数表示为自变量可以通过中间变量即的得到复合经过和看成是由可以从而则若设 ,.,3232,22等等而成复合和由函数例如得到的复合经过可以看成是由两个函数我们遇到的许多函数都 .),(,i o nf u m p o s i t 记作的和那么称这个函数为函数的函数可以表示成如果通过变量和对于两个函数一般地复合函数 ., 3x .,s ; 2的复合函数和可以看作函数函数解 2 32 1284 2 xe xu .s i ns i s .c s= 6(1)此物体什么时刻在始点 ? (2)什么时刻它的速度为零 ? 441 (1)令 s=0,即 1/46,所以 t2(=0,解得 : ,t=0或 t=8秒末的时刻运动物体在 始点 . (2) 即 2t=0, 解得 :, ,0)(,3212)(23 故在 t=0,t=4和 t=8秒时物体运动的速度为零 . 练习 :已知曲线 在点 P(1,1)处的切线与直线 行且距离等于 ,求直线 3110;3)()1(,1 4333 043),1(31,3|)1,1( 1 x+y+b=0,由平行线间的距离公式得 : ;146,10|4|1013|)4(|2x+y+6=0或 3x+. 练习 :已知曲线 在点 P(1,1)处的切线与直线 行且距离等于 ,求直线 3110 个 常 用 函数的导数 教学目标： 1 使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数 、 、 2、 1导数公式 ； 2 掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数 教学重点： 四种常见函数 、 、 2、 1导数公式 及应用 教学难点： 四种常见函数 、 、 2、 1导数公式 教学过程： 一创设情景 我们知道 ，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度那么， 对于函数 ()y f x ，如何求它的导数呢？ 由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法， 下面我们求几个常用的函数的导数 二新课讲授 1函数 ()y f x c的导数 根据导数定义，因为 ( ) ( ) 0y f x x f x c cx x x 所以00l i m l i m 0 0x 函数 导数 0y 0y 表示函数 图像（图 每一点处的切线的斜率都为 0若 表示路程关于时间的函数，则 0y 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0，即物体一直处 于静止状态 2函数 ()y f x x的导数 因为 ( ) ( ) 1y f x x f x x x xx x x 所以00l i m l i m 1 1x 函数 导数 1y 1y 表示函数 图像（图 每一点处的切线的斜率都为 1若 表示路程关于时间的函数，则 1y 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动 3函数 2()y f x x的导数 因为 22( ) ( ) ( )y f x x f x x x xx x x 2 2 22 ( ) 2x x x x x 所以00l i m l i m ( 2 ) 2x x 函数 导数 2 2 2 表示函数 2图像（图 点 ( , )的切线的斜率都为 2x ，说明随着 线的斜率也在变化另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当 0x 时，随着 x 的增加，函数 2减少得越来越慢；当 0x 时，随着 x 的增加，函数 2增加得越来越快若 2表示路程关于时间的函数，则 2 可以解释为某物体做 变速运动，它在时刻 x 的瞬时速度为 2x 4函数 1()y f 的导数 因为 11( ) ( )y f x x f x x x xx x x 2( ) 1()x x xx x x x x x x 所以220011l i m l i m ( )x x x x x 函数 导数 1y x 21y x （ 2） 推广 ：若 *( ) ( )ny f x x n Q ，则 1() nf x 三课堂练习 1 课本 2课本 4求函数 的导数 四 回顾总结 函数 导数 0y 1y 2 2 1y x 21y x *( ) ( )ny f x x n Q 1ny 五 布置作业 本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学目标： 1 熟练掌握基本初等函数 的导数公式 ； 2 掌握 导数的四则运算法则； 3能利用给出的基本初等函数 的导数公式 和导数的四则运算法则求简单函数的导
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