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大学 高等数学 何春江 课件 ppt

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内容简介：

第三节 函数的连续性 一、函数的连续性概念 二、初等函数的连续性 三、闭区间上连续函数的性质 处有增量称为函数处连续，1函数的连续性概念定义1 设函数时,相应地函数有增量.如果当自变量增量也趋于零,即在点在的某邻域内有定义,当自变量在点趋于零时,函数增量,则称函数的连续点处的函数值,即的某邻域内有定义,如果若记,则,且当,故定义1又可叙述为时,处连续定义2 设函数在极限存在,且等于函数在,则称函数在点例1 讨论函数 在的连续性.证又,由定义可知,函数在处连续.在开区间（）内连续有定义.在点注意 是否存在或值为多少与无关,而处连续,首先必须在点2.如果函数在（）内每一点都连续,则称1.3.在处左(右)连续:函数处连续,必须同时满足以下三个条件：的某邻域内有定义；2函数的间断点及其类型在点在上述三个条件中只要有一条不满足,则称函数在点处间断,称为函数的间断点 (1)(2)存在；(3)如果是函数的间断点,可将其分成两类:在点在点第一类间断点处的左右极限至少有处的左右极限存在;第二类间断点一个不存在.可去间断点无穷间断点振荡间断点其它其它例2 考察函数在处的连续性.解为函数的第一类间断点,且为可去间断点.、处连续处连续,那么定理1（连续函数的四则运算） 如果在点,均也在 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是连续函数基本初等函数在其定义域内连续定理2（反函数的连续性） 连续函数的反函数在其对应区间上也是连续函数例如在内连续,故在其定义域内连续.由以上三个定理可知：一切初等函数在其有定义的区间内是连续的计算初等函数在其定义区间内某点只要计算在点处的函数值即可 处的极限,也没最小值;函数如函数三、闭区间上连续函数的性质定理4（最值定理） 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值在在闭区间上有间断点最大值和最小值内既没有最大值，,它在此区间上没有定理5（介值定理） 设函数在闭区间续,且,为介于数,则至少存在一点,使得 上连与之间的任一实,若推论 如果上连续,且,则至少存在一点使得推论表明，对于方程条件,则方程在内至少存在一个根，又称为函的零点,此时推论又称为零点定理或根的存在满足推论中的数定理例5 证明方