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大学 高等数学 何春江 课件 ppt

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第三节 二重积分的应用一、求平面图形的面积二、求空间立体的体积三、求平面薄片的质量由二重积分的几何解释可以知道：以曲面z=f(x,y)为顶，以D为底的直曲顶柱体的体积为： 例1 求由抛物线x=y2和直线xy=2所围成图形的面积.作平行于x轴的直线与y轴相交，沿x轴正方向看，入口曲线为x=y2，出口曲线为x=2+y.因此区域D在y轴上的投影区间为1,2.故由二重积分的几何意义，若 在D上连续，则以D为底，以 为顶的曲顶柱体的体积为 例2 设平面x=1，x= 1，y=1和y= 1围成的柱体被坐标平面z=0和平面x+y+z=3所截，求截下部分立体的体积.因此，由二重积分的几何应用得到例3 设平面薄片D是由x+y=2，y=x和x轴所围成的区域，它的密度 ，求该薄片的质量.先解方程组例4 设平面薄片D为介于圆 之外，而在圆 内的区域，且D内点(x,y)处的密度 ,求该平面薄片质量.解 平面薄片D.注意到 ，则解 由二重积分的物理意义可知