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大学 高等数学 何春江 课件 ppt

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第二节一阶微分方程与可降阶的 高阶微分方程二、齐次型微分方程一、可分离变量的微分方程三、一阶线性微分方程四、可降阶的高阶微分方程则方程(2)可以表示为的形式，则称此一阶微分方程为变量可分离的微分方程.例1例2例3形如 求解这类方程的方法是：利用适当的变换，化成可分离变量的微分方程.设则故有的一阶微分方程 称为齐次微分方程.将（2）代入（1）得即分离变量，得两端积分便可求出通解， 再以代入便可求出原方程的通解.例4 求微分方程的通解.解令代入方程得或分离变量，得 或再把回代，即得原方程的通解为两端积分，得例5 求下列微分方程的通解解原方程可变形为 令代入方程得分离变量得两端积分得 即故即得原方程的通解为再把回代形如的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)，Q(x)是连续函数，且方程关于y及 是一次的，Q(x)是自由项.为一阶线性非齐次方程，例如，方程是一阶线性微分方程；一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下:1.先求的通解：2.利用“常数变易法”求线性非齐次方程(1)的通解：设是方程(1)的解，其中C(x)为待定常数,化简后，得这是一阶线性非齐次微分方程.例1 通过把对应的线性齐次方程的通解中的任意常数变易为待定函数，然后求出线性非齐次方程的通解，这种方法称为常数变易法.故得原线性非齐次微分方程的通解为解法2 直接用通解公式(6).例2得所求线性非齐次方程的通解为例3对于未知函数x(y为自变量)来说，所给方程就是一阶线性非齐次方程，对未知函数x的一阶线性非齐次方程例4（一）y(n)=f(x)型的微分方程方程依次积分n次，得方程(1)的含有n个任意常数的通解.四、可降阶的高阶微分方程例1微分方程这是一阶线